LIVRET MATHÉMATIQUES REMISE A NIVEAU

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1 LIVRET MATHÉMATIQUES REMISE A NIVEAU FORMATIA

2 SOMMAIRE A. LES TYPES DE NOMBRES... 2 B. LA PRIORITE DES SIGNES... 2 A. COMMENT POSER LES 4 OPERATIONS DE BASE :... 2 ) Addition et soustraction ) Multiplication ) Division... 3 B. LES POURCENTAGES... 4 ) Calcul de pourcentage ) Augmentation de x% : ) Réduction de X% :... 5 C. LA REGLE N A. AVANT TOUTE CHOSE... 7 B. LA BASE... 7 C. S AIDER D UN SCHEMA... 7 D. FONCTIONNER PAR HYPOTHÈSES... 7 E. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION... 7 F. LES UNITES... 7 G. A LA FIN... 7 A. A LA BASE... 8 B. LA MULTIPLICATION DES FRACTIONS... 8 C. LA DIVISION DES FRACTIONS... 9 D. L ADDITION ET LA SOUSTRACTION DES FRACTIONS...0 E. LE PRINCIPE DE BASE : L ASSOCIATION DE DEUX PRINCIPES... F. SIMPLIFICATION DE FRACTIONS...3

3 A. LES TYPES DE NOMBRES l ensemble N des entiers naturels, qui peuvent s écrire à l aide des dix chiffres arabes ; l ensemble Z des entiers relatifs, qui sont munis d un signe positif ou négatif ; l ensemble D des nombres décimaux, qui admettent une partie entière et une partie décimale de longueur finie, en général notées de part et d'autre d'une virgule 8 ; l ensemble Q des nombres rationnels, qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ; B. LA PRIORITE DES SIGNES 2 En mathématiques, la priorité des opérations ou ordre des opérations précise l'ordre dans lequel les calculs doivent être effectués dans une expression complexe. Les règles de priorité sont :. les calculs contenus entre parenthèses (ou crochets) sont prioritaires sur les calculs situés en dehors de ces parenthèses. La barre d'une fraction ou d'une racine carrée joue le rôle d'une parenthèse ; 2. les exposants sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et soustractions ; 3. les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions. A. COMMENT POSER LES 4 OPERATIONS DE BASE : ) Addition et soustraction Pour poser les additions et les soustractions, il est IMPERATIF de poser les chiffres de ces nombres en veillant à ce que leurs unités soient posées dans la même colonne, les unités sur les unités, les dizaines sur les dizaines, les milliers sur les milliers, etc Il faudra donc repérer quand elles existent les virgules. N oubliez pas vos retenues!!! Ex : 3 2 5, , 2 0 = 3 9, 3 3 Quand on effectue une soustraction le résultat a le signe du nombre ayant la valeur absolue la plus grande. Ex : 2-4= - (4-2) = -2

4 2) Multiplication Pour la multiplication, la place des chiffres n a pas d importance, c est le nombre de chiffres après la virgule qui va compter.. On va mettre le nombre avec le moins de chiffre en bas. 2. On enlève les 0 placés à droite des nombres. 3. On effectue la multiplication en calculant le produit du er chiffre sur la droite et de tous les chiffres du nombre placés au-dessus, successivement en partant de la gauche vers la droite. 4. On saute une ligne ET on pose un point sous le er nombre ; attention : à partir de ce moment, il faudra bien veiller à poser les chiffres les uns sous les autres sans laisser 3 d espace. 5. On calcule avec le chiffre suivant sur la gauche. 6. On passe à la ligne et on abaisse le er point et on met un point supplémentaire à gauche, puis on calcule. 7. On recommence ainsi de suite pour chaque chiffre. 8. Quand tous les produits ont été calculés, on les additionne. 9. On compte le nombre de chiffres après la virgule dans les deux nombres de base. 0. On place la virgule après le nombre de chiffres trouvés précédemment , 3 0 x 6, = 2 0 9, ) Division Pour poser une division, je regarde les chiffres au diviseur et au dividende : Je ne vais les modifier QUE s il y a une virgule au diviseur. Dans ce cas, je multiplie le diviseur ET le dividende par 0, 00, 000 ou un autre multiple de 0 en fonction du nombre de chiffres après la virgule. Alors je peux débuter mon opération. Dividende 5 5, ,

5 . Je regarde le nombre de chiffres qu il y a au diviseur 2. Je prends le nombre au dividende composé du même nombre de chiffre (en partant de la gauche) 3. Puis, je cherche «combien de fois il y a le diviseur dans ce nombre», (ex : «en 5 combien de fois 25, cela ne se peut») s il est inférieur, je rajoute un chiffre supplémentaire sur la gauche et de nouveau je cherche (ex : «en 55 combien de fois 25 ; il y a 6 fois 25)» 4. Je pose mon résultat (ex : 6) et je soustrais de ce nombre le produit de mon résultat et du diviseur (ex : 6x25 =50). 5. S il y a une virgule au dividende, je pose ma virgule au diviseur. 6. J abaisse le chiffre suivant du dividende je cherche «combien de fois il y a le diviseur dans ce nombre» 8. Je continue le même procédé. A chaque fois, j abaisse le chiffre suivant du dividende. Lorsqu il n y en a plus, je mets un 0 à la place. 9. Soit je m arrête quand le reste est nul, soit je m arrête à l unité demandée dans la consigne (ex : tant de chiffres après la virgule) Quand le dividende est inférieur au diviseur, c est le même procédé. Le er nombre trouvé au quotient sera 0 suivi d une virgule, puis l opération se poursuit de manière identique. B. LES POURCENTAGES % de x= x sur cent = x 00 ) Calcul de pourcentage Quand on cherche un pourcentage de quelque chose (ex : a), on procède en 2 étapes :. Je cherche combien vaut %, donc je divise le nombre par 00(soit a 00 ) 2. Je cherche combien vaut x %, je multiplie % (soit a x a ) de ce nombre par x (soit ) Ex : Une salle compte 600 personnes, 40% d entre elles sont assises. Combien de personnes sont assises?. Je cherche à combien correspond % de personnes : = 6 2. Je multiplie % par = 40 6 = 240 Il y a 240 personnes assises.

6 2) Augmentation de x% : Quand on applique un pourcentage à un nombre (ex : la TVA), on doit procéder en deux étapes :. Calculer le pourcentage 2. Additionner ce pourcentage au nombre d origine Ex : J achète un réfrigérateur à 450. On y applique2% de taxe écologique. Combien me coûte au final le réfrigérateur? Je calcule le montant de la taxe soit 2% : = 9 5 J additionne le montant de la taxe au prix initial du réfrigérateur : Le prix final du réfrigérateur est = 459 3) Réduction de X% : Quand on déduit un pourcentage d un nombre (ex : une promotion), on doit procéder en deux étapes :. Calculer le pourcentage 2. Soustraire ce pourcentage du nombre d origine Ex : J achète un four à 50. On y applique une réduction de0%. Combien me coûte au final le four? Je calcule le montant de la réduction, soit 0% : 0X50 00 = 5 Je soustrais le montant de la réduction du prix initial du four : Le prix final du four est = 35

7 C. LA REGLE N 3 Effectuer la règle 3 consiste à rechercher une proportionnalité à partir de données initiales sur de nouvelles données. Elle s utilise pour résoudre des problèmes de proportionnalité. Ex : Pour faire un gâteau au chocolat pour 4 personnes, on utilise 60g de chocolat noir. Quelle quantité de chocolat sera nécessaire pour faire un gâteau pour 0 personnes. Un tableau aide à résoudre ce problème et à utiliser la règle de 3. Nombre de personnes (en unité) Quantité de chocolat (en g) x 6. Je cherche la colonne où je n ai pas d inconnu. C est cette dernière qui va m indiquer «ce que Je vais chercher pour la quantité. (ex : je cherche à quelle quantité de chocolat correspond personnes, soit 60 4 ) 2. Connaissant la valeur pour, je trouve la valeur correspondant pour la nouvelle donnée en la multipliant par la nouvelle donnée (ex : connaissant la quantité de chocolat nécessaire pour personne, pour connaître celle nécessaire à 0 personnes, je la multiplie par 0, soit 0x60 4 = 400) Pour vérifier que l on ne s est pas trompé, on peut contrôler avec la technique du tableau en croix : Nombre de personnes (en unité) Quantité de chocolat (en g) x x = 0X60 4. On cherche d abord le nombre à l opposé de l inconnu ; ce sera toujours lui qui sera au dénominateur. 2. On met ensuite en produit les deux autres nombres On retrouve ainsi la même fraction que précédemment, le raisonnement est donc bon. Il faut alors calculer la fraction.

8 A. AVANT TOUTE CHOSE Ce n est pas un «problème»! C est juste une énigme, un jeu Bien lire le texte Noter les données en faisant attention aux unités, pas que les nombres mais «à quoi cela correspond» B. LA BASE 7 Rechercher l objectif final : «qu est-ce que je recherche, qu est-ce qu on ma demandé, quelle est l inconnue?» Quelles sont les étapes intermédiaires? Quels types de raisonnement mathématiques utiliser : règle de 3 (proportionnalité), équations, tableaux de conversion d unités, observation géométrique Quelles opérations correspondent à chaque étape? C. S AIDER D UN SCHEMA Faire un schéma SIMPLE mais représentatif Nommer les différents éléments D. FONCTIONNER PAR HYPOTHÈSES Lorsque les résultats ne sont pas évidents, afin de gagner du temps : fonctionner à partir des hypothèses Rester logique et tester les résultats les plus probables E. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION NE JAMAIS OUBLIER : l égalité doit toujours persister des deux côtés du signe égal quand on ajoute un nombre d un côté, on le fait de l autre côté, quand on le soustrait d un côté, on le fait de l autre côté, quand on multiplie d un côté par un nombre, on le fait de l autre côté et quand on divise d un côté on le fait aussi de l autre côté NE JAMAIS PERDRE DE VUE L OBJECTIF : effectuer les différentes opérations pour isoler l inconnue. F. LES UNITES Il y a des unités à connaître par cœur!!! litre, ml, cc ou c 3, km, m, tonne, heure, kg G. A LA FIN Evaluer le réalisme du résultat trouvé Vérifier avec le résultat trouvé Soyez attentif à l unité choisie : attention aux conversions types

9 Les fractions ne sont que des nombres comme les autres elles ne sont pas méchantes! Il faut juste connaître quelques bases A. A LA BASE Une fraction est un nombre, plus précisément : la fraction est le nombre qui résulte de la division du numérateur par le dénominateur : 2 2 = 2 2= = 2 4 2=2 2 =2 2 =2 2 =0,5 2=0,5 Parfois, on ne peut pas l écrire en nombre décimal : 3 0, , Comme avec tous les autres nombres, on peut les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser Après il faut juste connaître les règles de calcul pour éviter les erreurs B. LA MULTIPLICATION DES FRACTIONS exemple : a b d c = ad bc = 48 6 = 8 en effet : 2 = 4 et 4 = 2 et 4 2=8 3 2

10 C. LA DIVISION DES FRACTIONS a b d c = a b c d = ac bd exemple : = = 24 2 = 2 en effet : 2 = 4 et 4 = 2 et 4 2= Jusque là, tout est simple. Attention, ça se complique!

11 D. L ADDITION ET LA SOUSTRACTION DES FRACTIONS Pour additionner et soustraire on va être vigilant et on devra TOUJOURS s assurer que les fractions soient au MEME dénominateur. En effet, si vous additionnez ces parts de pizza : 0 + =??? Quelle quantité de pizza avez-vous? en parts de pizza? (fractions) et en pizza?(nombre décimal)

12 Et là??? + =??? en parts de pizza? (fractions) et en pizza?(nombre décimal) et oui!!!!! quand on additionne ou soustrait des fractions il faut ABSOLUMENT qu elles aient le même dénominateur. Donc on va MAQUILLER nos fractions pour qu elles se «ressemblent» (dénominateur commun) sans pour autant les changer. Concrètement, on fait ça comment??? En appliquant le principe de base, évidemment!!! E. LE PRINCIPE DE BASE : L ASSOCIATION DE DEUX PRINCIPES er principe («maquiller») On peut multiplier n importe quel nombre par et il restera le même Exemple : 2 = 2 2 ème principe («sans le changer»): Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à. Conclusion : Exemple : 4 = de même 428 = et = =2 4 4 = 2

13 Vous êtes maintenant doté des outils pour additionner et soustraire les fractions allons y = On va les mettre au même dénominateur. Lequel avez-vous choisi? 4, en effet on va «maquiller notre 2 afin qu il ait le chiffre 4 au dénominateur = alors on peut effectuer l addition : = = 3 4 passons à un exemple un peu plus compliqué Quel dénominateur commun avez-vous choisi? Vous n en trouvez aucun d évident??? = Dans ce cas on va les maquiller tous les deux et le maquillage parfait, ce serait : de transformer le 5 en 5 7 soit 35 et le 7 en 7 5 soit 35. Autrement dit : = ( ) + ( ) = = 7 35 Pour la soustraction, on fait la même chose : on cherche avant tout le dénominateur commun, puis on effectue l opération. A RETENIR : quand on additionne ou on soustrait des fractions, une fois qu elles ont le même dénominateur, seuls les numérateurs changent. C est ainsi que l on a les règles suivantes : a b + c d = ad bd + cb db a b c d = ad bd cb db Et maintenant, on refait la même chose dans l autre sens.

14 F. SIMPLIFICATION DE FRACTIONS Puisque 35=7 5 alors je peux dire que 0 35 = et puisque 0=2 5 alors 0 = 0 = or nous avons vu que 5/5= donc = = 2 7 = 2 7 On a donc simplifié la fraction en enlevant le même facteur en haut et en bas = = 2 7 Et maintenant à l entrainement!!!! Un facteur car cela ne fonctionne pas s il s agit d addition!!! exemple : on ne peut pas simplifier par 5!