Agrégation externe de mathématiques, session 2005 Épreuve de modélisation, option calcul scientifique : méthodes numériques et symboliques

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1 Agrégatio extere de mathématiques, sessio 25 Épreuve de modélisatio, optio calcul scietifique : méthodes umériques symboliques (57) LA CORDE ÉLASTIQUE Résumé : O cosidère ue corde formé de ressorts echaîés les us aux autres Thème applicatif, mots clefs : propagatio d odes Il est rappelé que le jury exige pas ue compréhesio exhaustive du texte Vous êtes laissé(e) libre d orgaiser votre discussio comme vous l etedez Des suggestios de développemet, largemet idépedates les ues des autres, sot proposées e fi de texte Vous êtes pas teu(e) de les suivre Il vous est coseillé de mtre e lumière vos coaissaces à partir du fil coducteur costitué par le texte Le jury demade que la discussio soit accompagée d exemples traités sur ordiateur Il est souhaitable que vous orgaisiez votre présetatio comme si le jury avait pas coaissace du texte Le jury aura éamois le texte sous les yeux pedat votre exposé O s itéresse à la modélisatio du mouvemet d ue corde élastique de logueur fiie quad o la lâche à l istat t à partir d ue certaie forme iitiale avec ue certaie vitesse iitiale Les otios d élasticité de corde état relativemet délicates à défiir de faço correcte, o va adopter ue approche heuristique, qui est d ailleurs ue des premières historiquemet utilisées pour traiter ce gere de problèmes au milléaire précédet Naturellemet, la dispoibilité des ordiateurs perm aujourd hui de doer ue ouvelle jeuesse à cte approche L idée de la modélisatio, très simple, cosiste à remplacer la corde par u système discr formé d u ombre fii de masses poctuelles reliées e chaîe par des ressorts sas masse Pour simplifier, o se placera das le cas où la corde se déplace das le pla 2, représeté e coordoées cartésiees das la base caoique e 1 e 2 1 Équatios du mouvemet du système discr Comme tout u chacu peut le costater, u ressort est u système mécaique costitué d u fil d acier plus ou mois fi, eroulé e hélice à pas plus ou mois grad Ce ressort a ue logueur au repos l Si l o veut étirer ou compresser ce ressort, pour l ameer à ue logueur l, o doit e première approximatio (c est-à-dire quad l reste voisi de l ) appliquer à ses extrémités ue force f das so axe, dirigée vers l itérieur du ressort e compressio l extérieur e extesio, de orme égale à (1) f l l l La costate est appelée raideur du ressort Plus elle est grade, plus o doit tirer ou appuyer fort sur le ressort pour réaliser ue même déformatio O va faire l hypothèse idéale que la relatio (1) reste vraie pour toutes les valeurs de l Page 1/7

2 Soit doc u système de N masses poctuelles idetiques (pour simplifier) de masse m, echaîées par N 1 ressorts idetiques (ecore pour simplifier) À l istat t, la masse uméro i se trouve située au poit P i t O accroche le système à deux poits fixes P P N 1 e reliat la masse uméro 1 à P la masse uméro N à P N 1 par deux ressorts supplémetaires Pour fixer les idées, o predra P P N 1 1 O suppose que le système est e apesateur Masses ressorts À l istat t, la masse uméro i est doc soumise à l actio de deux forces, celle exercée par le ressort qui la joit à la masse uméro i 1 (ou au poit P si i 1) otée f i i 1 celle exercée par le ressort qui la joit à la masse uméro i 1 (ou au poit P N 1 si i N) otée f i i 1 Comme les ressorts sot supposés être sas masse, il suffit d écrire la loi de Newto pour chacue des masses pour décrire l évolutio du système Il viet (2) m d2 P i 2 f i i 1 f i i 1 pour i 1 N D après ce que l o a dit plus haut sur le comportemet des ressorts, o a (3) f i i 1 f i i 1 l 1 l 1 P i 1 t P i t P i 1 t P i t Le système (2) est doc u système d équatios différetielles ordiaires du secod ordre O le ramèe de faço stadard à u système du premier ordre e itroduisat ue matrice 4 N otée dot les élémets sot doés par (4) 1 i t P i t e 1 2 i t P i t e 2 dp 3 i t i dp t e 1 4 i t i e 2 Le système s écrit alors (5) d t F Page 2/7

3 où (6) avec F 1 i 3 i F 2 i 4 i F 3 i ml i l 1 i 1 1 i i i l 1 i 1 1 i F 4 i ml i l 2 i 1 2 i i i l 2 i 1 2 i (7) i 1 i 1 1 i 2 2 i 1 2 i 2 Il faut aturellemet compléter le système (5) (7) par ue coditio iitiale (8) ce qui reviet à se doer la positio iitiale la vitesse iitiale de chacue des N masses Il est alors pas très difficile de motrer que si la positio iitiale est telle que deux masses successives e sot pas situées e u même poit, alors il existe t tel que le problème de Cauchy (5) (8) adm ue solutio ue seule sur l itervalle t i i 2 Équilibre liéarisatio au voisiage de l équilibre Ituitivemet, o se red compte que si la modélisatio est correcte, le système devrait être e équilibre das la cofiguratio où toutes les masses sot aligées sur l axe qui joit P à P N 1 équidistates etre elles aisi que des extrémités Vérifios que c est bie le cas La cofiguratio décrite ci-dessus correspod à 3 i 4 i (vitesse ulle) i 1 i N 1 2 i (poit aligés équidistats) 1 O voit doc que i N i 1 1 i 1 i 1 1 i N 1 Par coséquet, o a bie F O peut teter d étudier la stabilité asymptotique de ce poit d équilibre Pour cela, il faut calculer la différetielle de l applicatio F au poit C est ue applicatio liéaire de M 4 N das M 4 N Il est relativemet malaisé d exprimer cte différetielle comme ue matrice 4N 4N des dérivées partielles des composates de F Il est plus simple de calculer F H d effectuer u développemet limité au premier ordre e H, qui fourit aussi bie cte différetielle E procédat de la sorte, o obtiet (9) avec la covetio DF H 1 i H 3 i DF H 2 i H 4 i DF H 3 i DF H 4 i 1 N 1 l H 1 H 2 H 1 N 1 H 2 N 1 Page 3/7

4 Soit λ ue valeur propre de DF Cte valeur propre doit satisfaire (1) H 3 i λh 1 i H 4 i λh 2 i λh 3 i 1 N 1 l λh 4 i pour u certai H o ul O costate que ce problème de valeurs propres se découple e deux systèmes : (11) H 3 i λh 1 i λ 2 H 1 i (12) H 4 i λh 2 i 1 N 1 l λ 2 H 2 i La matrice tridiagoale A est symétrique égative Les valeurs propres de (11) sot doc imagiaires pures celles de (12) imagiaires pures si 1 N 1 l réelles strictemet positives strictemet égatives si 1 N 1 l Pour ce qui cocere la stabilité asymptotique du système o liéaire, o e peut doc pas coclure de la sorte quad 1 N 1 l Par cotre, quad 1 N 1 l, l équilibre est istable Remarquat que N 1 l est autre que la logueur totale des ressorts mis bout à bout, o voit que cte coditio équivaut à ce que les ressorts soiet tous e compressio stricte à l équilibre L istabilité das la directio trasverse das ce cas correspod bie à l ituitio physique de la situatio Plaços-ous das le cas où l équilibre est e extesio, c est-à-dire 1 N 1 l cosidéros le système liéarisé (13) avec ue coditio iitiale dh t DF H t (14) H H La solutio de ce problème de Cauchy est autre que H t e tdf H d après la discussio sur les valeurs propres précédetes, compte teu du fait que les valeurs propres µ j de A sot distictes, o voit que la solutio géérale est ue combiaiso liéaire Page 4/7

5 d oscillatios harmoiques das l axe aux fréqueces µ j d oscillatios harmoiques trasverses aux fréqueces 1 N 1 l µ j Cte derière formule motre que les fréqueces propres de vibratio trasverse sot d autat plus élevées que les ressorts sot tedus à l équilibre 3 Passage du discr au cotiu Pour obteir u véritable modèle de corde, o fait maiteat tedre le ombre de masses vers l ifii e les reliat par des ressorts dot la logueur ted vers Pour que l obj «limite» aisi obteu ait ue desité liéique à l équilibre ρ doée, il faut que m N 1 ρ quad N O predra doc m ρ N 1 De même, o suppose que le système à l équilibre est étiré de faço costate, c est-à-dire que sa logueur totale si o e fixait pas les extrémités serait u ombre e 1 idépedat de N Ceci coduit à poser l e N 1 Efi, comme la raideur des ressorts e déped pas de leur logueur, o la predra idépedate de N O traite seulemet le cas du système liéarisé Comme pour le cas des valeurs propres, celui se découple e (15) d 2 H 1 i N ρe (16) d 2 H 2 i 1 e N ρe Les masses à l équilibre sot situées aux poits équidistats x i avec x i i N 1 Soit Δx 1 N 1 Comme H 1 i représete le déplacemet axial de la masse uméro i H 2 i so déplacemet trasverse, o recoaît das (15) (16) la semi-discrétisatio e espace par différeces fiies de deux équatios des odes (17) 2 h 1 t 2 2 h 1 ρe x 2 2 h 2 1 e t 2 ρe 2 h 2 x 2 O obtiet doc exactemet les mêmes résultats de covergece des vecteurs H 1 H 2 vers les foctios h 1 h 2 que pour les méthodes de différeces fiies pour l équatio des odes La foctio h 1 représete doc le déplacemet axial de la corde la foctio h 2 so déplacemet trasverse O observe ue vitesse de propagatio des odes axiales égale à odes trasverses se propaget à la vitesse 1 e ρe ρe alors que les Page 5/7

6 4 Étude umérique Le système d équatios différetielles ordiaires o liéaires (5) (8) se prête facilemet à la simulatio umérique Il suffit d implémeter ue méthode classique d approximatio comme par exemple la méthode d Euler ou la méthode de Ruge-Kutta explicite d ordre 4 O présete plusieurs résultats de calcul O a pris ue raideur 1 u étiremet e 5, soit a) N 1 masses poctuelles de masse m 2, soit b) N 2 masses de m 8 O teste esuite plusieurs cofiguratios iitiales Les doées iitiales sot sous la forme P i x 1 i N 1 x 2 i N 1 T, dp i v 1 i N 1 v 2 i N 1 T o se doe les foctios x 1, x 2, v 1 v 2 Remarque importate Les courbes qui sot doées plus loi, le sot uiquemet à titre idicatif, afi de doer u idée du type d évolutio auquel o doit s attedre das chaque cas O e demade pas de les reproduire exactemet Cas 1 Vibratios de faible amplitude Doées iitiales : x 1 x x, x 2 x, v 1 x v 2 x x 2 si x 5, v 2 x sio Méthode de Ruge-Kutta, pas de temps Δt 1s, 16 itératios, graphes toutes les 16s A gauche a), à droite b) Cas 2 Doées iitiales x 1 x 2x 2 x 2 x x 2 si x 5, x 1 x x x 2 x sio ; v 1 x v 2 x Même discrétisatio avec 128 itératios A gauche a), à droite b) Suggestios pour le développemet Souligos qu il s agit d u meu à la carte que vous pouvez choisir d étudier certais poits, pas tous, pas écessairemet das l ordre, de faço plus ou mois fouillée Vous pouvez aussi vous poser d autres questios que celles idiquées plus bas Il est très vivemet souhaité que vos ivestigatios comportet ue partie traitée sur ordiateur, si possible, des représetatios graphiques de vos résultats Page 6/7

7 Préseter u modèle aalogue pour u système masses/ressorts soumis à la pesateur fixé seulemet à ue extrémité Préseter u modèle aalogue pour u système masses/ressorts où les masses sot e outre soumises à u frottemet visqueux, c est-à-dire ue force proportioelle opposée à leur vitesse Étudier la stabilité asymptotique de l équilibre Effectuer des expérieces umériques avec d autres doées iitiales O pourra évetuellemet préseter l évolutio e direct sous la forme d ue aimatio Tester la liéarisatio du 2 à l aide du schéma umérique Tester l istabilité e compressio du 2 à l aide du schéma umérique Page 7/7