IAE Plaques. Saber EL AREM. Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS

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1 IAE Plaques Saber EL AREM Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS

2 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai 006 / 41

3 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

4 Introduction : solides et structures minces Introduction : solides et structures minces Les solides minces sont des solides tridimensionnels ayant des caractéristiques particulières au niveau géométrique, cinématique et mécanique. Un solide 3D est un objet massif dont les trois dimensions sont du même ordre de grandeur. Les structures minces ou corps orientés ont au moins une dimension, appelée épaisseur, petite par rapport aux autres dimensions. On distingue : plaque : solide défini par une surface plane et une épaisseur h ; coque : solide défini par une surface courbe et une épaisseur h faible devant longueur, largeur et rayon de courbure ; poutre droite : solide défini par une ligne droite et par une section ; arc ou poutre courbe : solide défini par une ligne courbe et par une section. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

5 Introduction : solides et structures minces Introduction : solides et structures minces Les structures minces de type poutre, arc, plaque et coque sont très répandues dans le milieu naturel (feuilles d arbres, mollusques, cellules vivantes, etc.) et dans les réalisations humaines les plus diverses (charpentes, voûtes, réservoirs, caissons, tabliers de ponts, carrosseries automobiles, coques de bateaux, ailes d avions, etc.). L analyse du comportement et la conception des ces structures sont des activités importantes sur les plans techniques et économiques. Une enquête récente auprès d utilisateurs d un grand code de calcul de structures a révélé que 75% des modélisations impliquaient des éléments finis de type coque. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

6 Introduction : solides et structures minces Introduction : solides et structures minces Suivant l ordre de grandeur de l épaisseur h par rapport aux autres dimensions, on introduit parfois l adjectif mince ou épais. Cette qualification n implique pas seulement une caractéristique géométrique mais sous-entend également un rôle particulier des déformations dites de cisaillement transversal. La géométrie d une structure mince favorise le choix d une cinématique particulière par rapport à la cinématique générale d un solide. Les théories linéaires souvent adoptées pour les poutres, les plaques et coques sont des théorie dites du premier ordre où le champs de déplacement varie linéairement en x 3, sans variation d épaisseur, en incluant l influence des déformations de cisaillement transversal. Ces théories sont basées sur l hypothèse des section droites. Elles sont généralement associée au nom de Timoshenko pour les poutres et à ceux de Reissner et Mindlin pour les plaques. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

7 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

8 Introduction : définition d une plaque Définition d une plaque Une plaque est un solide défini par une surface de référence plane (x 1 x ) et une épaisseur, petite par rapport aux autres dimensions (longueur et largeur). X3 A B X D h C X1 ABCD : plan moyen. C est également le plan neutre si les propriétés matérielles sont symétriques par rapport au plan (x 1 x ). h : épaisseur de la plaque Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

9 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

10 Efforts extérieurs et résultants Définitions des efforts extérieurs Dans la suite on désigne par : S f : la partie du contour de la plaque où des efforts sont imposés S u : la partie du contour de la plaque où des déplacements (et rotations) sont imposés f ν1, f ν1 et f ν1 : les forces par unité de volume suivant x 1, x 1 et x 3 f 1, f, f 3, m 1 et m : les forces par unité de surface, avec : Z h f 1 (x 1,x ) = f ν1 dx 3 f (x 1,x ) = h Z h m 1 (x 1,x ) = x 3 f ν1 dx 3 h Z h h Z h f ν dx 3 f 3 (x 1,x ) = f ν3 dx 3 h Z h m (x 1,x ) = x 3 f ν dx 3 h Sur S f agissent les efforts m s et f s par unité de longueur. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

11 Efforts extérieurs et résultants Définitions des efforts résultants On désigne par N 1, N, N 3 : les efforts résultants de membrane (en N/m) : Z h N 1 = σ 11 dx 3 N = h Z h h Z h σ dx 3 N 1 = σ 1 dx 3 h M 1, M, M 1 : les efforts résultants de flexion ou moments (en Nm/m) : Z h M 1 = x 3 σ 11 dx 3 h Z h M = x 3 σ dx 3 M 1 = h Z h h x 3 σ 1 dx 3 T 1, T : les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en N/m) : Z h T 1 = σ 13 dx 3 T = h Z h h σ 3 dx 3 On remarque que les moments M 1, M, M 1 sont associés aux contraintes σ 11, σ, σ 1, ainsi M 1 ne représente pas un moment autour de x 1. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

12 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

13 Plaques élastiques linéaires isotropes Plaques élastiques linéaires isotropes Grâce aux hypothèses simplificatrices : Pas de variation d épaisseur de la plaque : ε 3 = 0. La contrainte σ 33 est négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur des contraintes. La loi de Hooke peut être exprimée par : σ 11 = σ = E 1 ν (ε 11 + νε ) E 1 ν (ε + νε 11 ) σ 1 = E 1 + ν ε 1 E module d Young et ν coefficient de Poisson. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

14 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

15 Equations d équilibre Equations d équilibre d une plaque Les équations d équilibre en un point de coordonnées x 1, x, x 3 s écrivent : σ 11,1 + σ 1, + σ 13,3 + f ν1 = 0 σ 1,1 + σ, + σ 3,3 + f ν = 0 σ 31,1 + σ 3, + σ 33,3 + f ν3 = 0 (A1) (A) (A3) L équilibre global sur l épaisseur de la plaque s écrit : Soit Z h h {équations(a)}dx 3 = 0 N 1,1 + N 1, + f 1 = 0 N 1,1 + N,1 + f = 0 T 1,1 + T, + f 3 = 0 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

16 Equations d équilibre Equations d équilibre d une plaque Les équations d équilibre en un point de coordonnées x 1, x, x 3 s écrivent : σ 11,1 + σ 1, + σ 13,3 + f ν1 = 0 σ 1,1 + σ, + σ 3,3 + f ν = 0 σ 31,1 + σ 3, + σ 33,3 + f ν3 = 0 (A1) (A) (A3) L équilibre des moments par rapport aux axes x 1 et x s écrit : Z h h x 3 {équations(a1eta)}dx 3 = 0 et conduit, en considérant σ 13 = σ 3 = 0 pour x 3 = ± h à : M 1,1 + M 1, T 1 + m 1 = 0 M 1,1 M, T m = 0 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

17 Equations d équilibre Equations d équilibre d une plaque : récaputilatif L équilibre global sur l épaisseur de la plaque s écrit : N 1,1 + N 1, + f 1 = 0 N 1,1 + N,1 + f = 0 T 1,1 + T, + f 3 = 0 L équilibre des moments par rapport aux axes x 1 et x s écrit : M 1,1 + M 1, T 1 + m 1 = 0 M 1,1 M, T m = 0 En combinant ces équations, on obtient : M 1,11 + M 1,1 M, + f 3 + m 1,1 m, = 0 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

18 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

19 Cinématique : Hypothèse des sections planes Cinématique d une plaque de Reissner-Mindlin Les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une droite dans la configuration déformée. Les déplacements U et V (suivant x 1 et x ) d un point quelconque (x 1,x,x 3 ) varient linéairement en x 3 et le déplacement transversal W (suivant x 3 ) n est fonction que de x 1 et x. Cette hypothèse permet de prendre en compte l influence des déformations de CT. L hypothèse d une déformation transversale nulle : ε 3 = 0. L hypothèse des contraintes plane : σ 3 est négligeable devant les autres contraintes. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

20 Cinématique : Hypothèse des sections planes Cinématique d une plaquede Reissner-Mindlin Plaque définie dans le plan (x 1 x ) ; normale à la plaque x 3, épaisseur h. Déplacement défini par 3 translations, U, V, W, et deux angles, θ 1 et θ, qui sont fonctions de x 1 x uniquement. x 3 θ 1 x θ u 1 (x 1,x,x 3 ) = U + θ x 3 u (x 1,x,x 3 ) = V θ 1 x 3 u 3 (x 1,x,x 3 ) = W x 1 ε 11 = U,1 + θ,1 x 3 ε = V, θ 1, x 3 ε 33 = 0 ε 1 = U, + θ, x 3 + V,1 θ 1,1 x 3 ε 3 = θ 1 + W, ε 31 = θ + W,1 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

21 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

22 Relations efforts résultants-déformations Lois de comportement Considérons l exemple de l effort N 1. Nous avons or Ainsi N 1 = E 1 ν σ 11 = Z h h Z h N 1 = σ 11 dx 3 h E 1 ν (ε 11 + νε ) (U,1 + θ,1 x 3 + ν(v, θ 1, x 3 ))dx 3 La plaque étant symétrique par rapport au plan moyen (x 1 x ), on obtient : N 1 = Eh 1 ν (U,1 + νv, ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai 006 / 41

23 Relations efforts résultants-déformations Lois de comportement Considérons maintenant l exemple du moment M 1. Nous avons or Ainsi M 1 = E 1 ν Z h M 1 = x 3 σ 11 dx 3 h σ 11 = Z h h E 1 ν (ε 11 + νε ) x 3 (U,1 + θ,1 x 3 + ν(v, θ 1, x 3 ))dx 3 La plaque étant symétrique par rapport au plan moyen (x 1 x ), on obtient : M 1 = D(θ,1 νθ 1, ) Eh 3 Avec D = 1(1 ν : Rigidité à la flexion de la plaque. ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

24 Relations efforts résultants-déformations Remarque concernant la rigidité à la flexion Si l on avait considéré une bande isolée de largeur unitaire (selon x ), et appliqué à cette bande la formule classique de la flexion des poutres, on aurait trouvé : M 1 = EIθ,1 = Eh3 1 θ,1 En comparant les deux résultats, on constate que la plaque est plus rigide que ne l indique la théorie des poutres ; cette 1 augmentation de rigidité vaut, dans le cas de l acier, 1 ν 1 = 1.10 ; elle est due au fait que, dans une plaque, la dilatation 0.91 transversale ε peut s effectuer librement tandis que dans le cas d une plaque, elle est empêchée par suite de la continuité dans le sens des x. Il naît de ce fait des contraintes σ. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

25 Relations efforts résultants-déformations Lois de comportement En suivant la même démarche, on obtient : Avec G = N 1 = N = N 1 = Eh 1 ν (U,1 + νv, ) Eh 1 ν (νu,1 + V, ) Eh 1 ν (U,1 + V, ) M 1 = D(θ,1 νθ 1, ) M = D(νθ,1 θ 1, ) M 1 = D (1 ν)(θ, θ 1,1 ) T 1 = kgh(w,1 + θ ) T = kgh(w, θ 1 ) E (1+ν) et k = 5 : facteur de correction de CT. 6 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

26 Relations efforts résultants-déformations Cinématique d une plaque de Kirchhoff : conservation des normales La théorie de kirchhoff peut être interprétée comme un cas particulier de la théorie de Reissner-Mindlin. Les points matériels situés sur une normale à la surface moyenne non déformée restent sur une normale dans la configuration déformée. Cette hypothèse néglige l influence des déformations de CT. On admet ainsi que la rigidité de cisaillement est très grande par rapport à la rigidité de flexion. Ainsi : ε 13 = ε 3 = 0 ou θ 1 = W, et θ = W,1 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

27 Relations efforts résultants-déformations Equations d équilibre d une plaque de Kirchhoff L équilibre global sur l épaisseur de la plaque s écrit : N 1,1 + N 1, + f 1 = 0 N 1,1 + N,1 + f = 0 T 1,1 + T, + f 3 = 0 L équilibre des moments par rapport aux axes x 1 et x s écrit : M 1,1 + M 1, T 1 + m 1 = 0 M 1,1 M, T m = 0 En combinant ces équations, on obtient : M 1,11 + M 1,1 M, + f 3 + m 1,1 m, = 0 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

28 Relations efforts résultants-déformations Lois de comportement pour une plaque de Kirchhoff Les lois de comportement deviennet : N 1 = N = N 1 = Eh 1 ν (U,1 + νv, ) Eh 1 ν (νu,1 + V, ) Eh 1 ν (U,1 + V, ) M 1 = D(W,11 + νw, ) M = D(νW,11 + W, ) M 1 = D(1 ν)w,1 En remplaçant dans M 1,11 + M 1,1 M, + f 3 + m 1,1 m, = 0 on obtient l équation de Lagrange : W, W,11 + W, = f 3 D Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

29 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

30 Conditions aux limites Moments de flexion et de torsion dans une section quelconque Pour trouver le moment de flexion M(θ) et le couple de torsion C(θ) supportés par unité de longueur d une section de la plaque dont la normale fait l angle θ avec Ox 1, il suffit d écrire l équilibre des moments appliqués à un élément triangulaire ABC (BC = ds, AB = ds sinθ, AC = ds cosθ). Nous obtenons : M(θ) = M sin θ M 1 sinθcosθ M 1 cos θ C(θ) = (M 1 + M )sinθcosθ M 1 (sin θ cos θ) T (θ) = T 1 cosθ + T sinθ Ainsi : C(0) = M 1 = C( π ) = C(π) = C( 3π ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

31 Conditions aux limites Conditions aux limites Les conditions aux limites sur le contour d une plaque le plus souvent rencontrées sont : Bord encastré : Bord simplement appuyé : W = 0 W n = 0 Bord libre : W = 0 M(θ) = 0 R(θ) = 0 M(θ) = 0 n étant la normale intérieure au contour au point considéré faisant un angle θ avec l axe x 1. W n = W x 1 cosθ + W x sinθ Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

32 Conditions aux limites Conditions aux limites La densité de réaction d appui R(θ), composée positivement selon x 3, se décompose en une densité de réaction T (θ) due à l effort tranchant et une densité de réaction d appui due au moment de torsion. Soit s l abscisse curviligne du contour de la plaque compté positivement dans le sens trigonométrique. Le couple de torsion C(θ)ds appliqué à un élément PP = ds du contour est équivalent à une réaction C(θ) en P et une réaction C(θ) en P. la densité de réaction R(θ) est donc donnée par la formule de Kirchhoff : R(θ) = T (θ) + C(θ) s Le raisonnement précédent montre qu en un point anguleux Q du contour il existe une réaction concentrée R Q : R Q = C(θ ) C(θ 1 ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

33 Conditions aux limites Conditions aux limites X i i1 j i Q X1 R(θ) = T (θ) + C(θ) s R Q = C(θ ) C(θ 1 ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

34 Conditions aux limites Conditions aux limites : exemple X D C j A B X1 i Donner les valeurs de M(θ) et R(θ) en tout point du contour. Le long de AD(θ = 0) Le long de AB(θ = π ) W n = W x 1 M(θ) = M 1 R(θ) = T 1 M 1 x W n = W x M(θ) = M R(θ) = T + M 1 x 1 et on vérifie que R A = C(π/) C(0) = M 1 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

35 Plan Introduction : solides et structures minces Introduction : définition d une plaque Efforts extérieurs et résultants Plaques élastiques linéaires isotropes Equations d équilibre Cinématique : Hypothèse des sections planes Relations efforts résultants-déformations Conditions aux limites Excercices

36 Excercices Plaque rectangulaire simplement appuyée soumise à une charge sinusoidale Soit une plaque rectangulaire de côtés a et b selon x 1 et x respectivement. Elle est soumise à une charge répartie q = q 0 sin πx 1 a sin πx b. q 0 représente l intensié de la charge au centre de la plaque. Ecrire la flèche W. La flèche de la plaque vérifie l équation W, W,11 + W, = q D (1) Ecrire les conditions aux limites pour des bords simplement appuyés. Dans ce cadres, les conditions aux limites s écrivent : W = 0 M 1 = 0 pour x 1 = 0 et x 1 = a W = 0 M = 0 pour x = 0 et x = b or (lois de comportement des plaques de Kirchhoff) M 1 = D(W,11 + νw, ) M = D(νW,11 + W, ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

37 Excercices Suite Ainsi W = 0 W,11 = 0 pour x 1 = 0 et x 1 = a W = 0 W, = 0 pour x = 0 et x = b Forme générale de la solution. On constate que toutes les conditions aux limites sont satisfaites si l on exprime les flèches par : W = C sin πx 1 a sin πx b () Déterminer la constante C. En remplaçant () dans (1), on obtient : π 4 ( ) C = q a b 0 D Ecrire l équation de la surface fléchie : On conclut que la surface fléchie, satisfaisant à (1) et aux conditions aux limites est : q 0 W = π 4 D( ) sin πx 1 a sin πx (3) b a b Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

38 Excercices Suite Déduire les expressions des moments M 1, M et M 1. A l aide de l expression de la flèche (3) on trouve : M 1 = D(W,11 + νw, ) = M = D(νW,11 + W, ) = q 0 π ( ) ( 1 a + ν b )sin πx 1 a sin πx b a b q 0 π ( ) ( ν a + 1 b )sin πx 1 a sin πx b a b M 1 = D(1 ν)w,1 = q 0(1 ν) π ( ) ab cos πx 1 a cos πx b a b Déduire la flèche maximum et les moments de flexion maximum. On voit que la flèche et les moments maxi se situent au centre de la plaque. Remplaçons x 1 par a et x par b, on trouve : W max = q 0 q 0 π 4 D( (M ) 1 ) max = π ( ) ( 1 a + ν b ) a b a b (M ) max = q 0 π ( 1 a + 1 b ) ( ν a + 1 b ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

39 Excercices Suite Déduire ces valeurs pour le cas d une plaque carrée. Dans le cas d une plaque carrée, a = b, on obtient : W max = q 0a 4 4π 4 D q 0 π ( 1 a + 1 b ) ( 1 a + ν b ) (M 1 ) max = (M ) max = q 0(1 + ν)a 4π Calculer les efforts tranchants. Les efforts tranchant sont donnés par les équations d équilibre : T 1 = M 1,1 + M 1, = T = M 1,1 M, = q 0 πa( ) cos πx 1 a sin πx b a b q 0 πb( ) sin πx 1 a cos πx b a b Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

40 Excercices Suite Donner les réactions aux bords appuyés de la plaque. Pour le bord x 1 = a : q 0 R 1 = (T 1 + M 1, ) x1 =a = πa( ) ( 1 a + ν b )sin πx b a b (h) Pour le bord x = b : q 0 R = (T + M 1,1 ) x =b = πb( ) ( 1 b + ν a )sin πx 1 a a b (i) Ainsi, la répartition de la pression suit une loi sinusoidale, le signe moins indiquant que les réactions sur la plaque agissent vers le haut. Par symétrie, on conclut que les expressions (h) et (i) représentent aussi les distributions de pression le long des côtés x 1 = 0 et x = 0. La résultante des pressions est : Z b 0 (h)dx + Z b 0 (i)dx 1 = 4q 0ab π 8q 0(1 ν) π ab( 1 a + 1 b ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41

41 Excercices Suite Comparer à la charge totale appliquée. On remarquant que 4q 0 ab π = Z a Z b 0 0 q 0 sin πx 1 a sin πx b dx 1dx on conclut que la somme des réactions réparties est plus grande que la charge totale appliquée sur la plaque. Déduire les réactions concentrées aux coins. Ces quatres réactions sont équivalentes (symétrie) et leur valeur est : R = q 0(1 ν) π ab( 1 a + 1 b ) = (M 1) x1 =a,x =b a x1 b R x R R Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques mai / 41