Feuille n. 1 : Graphes

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1 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 Feuille n. : Grphes. Trouver les grphes isomorphes et les grphes identiques prmi les grphes G, G, G et G définis pr V(G ) = {,,,}, E(G ) = {e,f,g,h}, ψ G (e) = {,},ψ G (f) = {,},ψ G (g) = {,},ψ G (h) = {,}, V(G ) = {,,,}, E(G ) = {e,f,g,h}, ψ G (e) = {,},ψ G (f) = {,},ψ G (g) = {,},ψ G (h) = {,}, G est le grphe complet K et G est le grphe complet K.. Trouver les grphes isomorphes et les grphes identiques prmi les grphes suivnts.. Représenter pr un digrmme le grphe G vec mtrice d djcence Déterminer les mtrices d djcence et d incidence du premier et deuxième grphe de l exercice.. Montrer les inéglités suivntes : E mind(v) mx v V V d(v). v V. Montrer que dns un grphe simple vec u moins deux sommets il y deux sommets de même degré. 7. Le complement G c de G est le grphe vec sommets V(G) dont deux sont liés pr une rête si et seulement s ils ne sont ps liés pr une réte dns G. Trouver une déscription simple de K c m,n. 8. Un grphe est uto-complementire, si G = G c. () Montrer que dns un grphe uto-complementire on V 0, mod. () Trouver deux grphes tels que G c = G. 9. Soit n N et V = {0,} n, c.à.d. V soit l ensemle des 0- suites de longueur n. Deux sommets forment une rête ssi les suites diffèrent dns exctement une coordonnée. Ce grphe s ppelle cue de dimension n. Déterminer

2 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 () le nomre des rêtes () les degrés des sommets (c) l distnce mximle des deux sommets dns ce grphe. 0. Un isomorphisme de G dns G est un utomorphisme de G. () Montrer que : Les utomorphismes d un grphe G forment un groupe vec l opértion de composition de fonctions. () Trouver les groupes d utomorphismes des grphes suivnts. (c) Trouver les groupes d utomorphismes de K n. (d) Montrer que G et G c ont les mêmes utomorphismes.. Soit S l ensemle des grphes dmettnt V = {,,,} comme ensemle des sommets. () Clculer le crdinl de S. () Dessiner le grphes qui représentent les clsses d équivlences des grphes à sommets. (c) Donner les ensemles des grphes dns S (étiquetés) qui sont représentés respectivement pr G et H : G H (d) Clculer Aut(G) et Aut(H).. Soit G un grphe iprti vec iprtition V = X Y de sommets. En plus, le grphe G soit régulier de degré d > 0, c.à.d. chque sommet le même degré d > 0. Montrer que : Les ensemles X et Y ont l même crdinlité.. Quels grphes des exercices et sont iprtis?. Trouver une crctéristion des mtrices d incidence et djcence des grphes iprtis.. Montrer que si G est simple, lors ( ) V(G) E(G).

3 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 Feuille n. : Grphes. On considère le grphe G ci-dessous. Dessiner : () les grphes G {}, G {} et G {,}; () un grphe prtiel de G vec rêtes; un clique et un stle de G. 7. Les séquences de degrés suivntes sont-elles rélisles? () (,,,,,,7) () (,,,,,,) (c) (,,,,,,,,) Dns le cs positif, exhier un grphe qui les rélise. 8. Soit G un grphe connexe vec u moins deux sommets. Montrer qu il existe u moins un sommet v tel que le sous-grpheg v otenu en supprimnt v et les rêtes incidentes à v est connexe. 9. Soit G un grphe simple à n sommets, p rètes et k composntes connexes. Montrer que (n k)(n k +) n k p. 0. Montrer que un grphe ou son complémentire sont connexes. Est-il possile que tous les deux soient connexes?. () Trouver les mtrices d djcence des grphes d exercice. () Trouver les nomres des chînes de longueur de sommet à sommet dns chque grphe. (c) Trouver les nomres de toutes les chînes fermeés de longueur dns chque grphe.. Soit G = (V,E) un grphe. Montrer que si E V lors G contient un cycle; pr suite si G ne contient ps de cycle lors E V.. Montrer que s il existe une chîne de u à v dns G, il existe ussi une chîne élémentire de u à v dns G.. Montrer qu une rête e qui pprtient à une chîne fermée simple, pprtient toujours à un cycle.

4 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 Feuille n. : Arres. Trouver dns le grphe suivnt les chemins de longueur minimle de u à tous les utres sommets. u Choisir un sommet u et trouver dns le grphe suivnt les chemins de longueur minimle deuàtous les utres sommets. Répéter pour un utre sommet v et comprer le résultt Soit T un rre. Montrer qu entre deux sommets différents x,y V(T) il existe une unique chîne élémentire. 8. Soit G un grphe sns oucle. Montrer que si entre toute pire de sommets x,y V(G) il existe une unique chîne élémentire, lors G est un rre. 9. Tout rre non trivil (ν ) u moins deux sommets pendnts. Prouver ce résultt en montrnt que l origine et l fin d une plus longue chîne élémentire dns un rre non trivil ont degré un. 0. Montrer que les propriétés suivntes d un grphe G vec ν 0 sont équivlentes : () G est un rre () G est un grphe mximl sns cycle (c.à.d. on otient un cycle si on joute une rête ritrire). (c) G est un grphe miniml connexe. (d) G est un grphe sns cycle et ν = ε+. (e) G est un grphe connexe et ν = ε+.. Montrer que si G est simple et connexe, mis non complet, lors G trois sommets u,v, et w tels que uv, vw E(G), et uw E(G).

5 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00. Montrer que tout rre est iprti. Feuille n. : Arres recouvrnts. Tout grphe G connexe d ordre n possède u moins n rêtes.. Soit G un grphe possédnt un sommet v V de degré. Alors () G est connexe si et seulement si G v est connexe; () G est sns cycle si et seulement si G v est sns cycle.. Montrer que () si tout sommet de G est pir, lors G n ps d rête séprtrice; () sigest un grphek-regulier iprti veck, lorsgn ps d rête séprtrice.. Soit F une forêt recouvrnte mximle de G. Montrer que () pour toute composnte connexe H de G, F H est un rre recouvrnt de H ; () ε(f) = ν(g) ω(g). 7. Soit G sns oucle et non trivil (ν ). Montrer que v V(G) est un sommet séprteur de G si et seulement si ω(g v) > ω(g). 8. Soit G connexe, vec ν. Montrer que () si G une rête séprtrice, lors G un sommet v V(G) tel que ω(g v) > ω(g); () l réciproque de (8) n est ps vrie. 9. Clculer τ(c n ), où C n est le cycle de longueur n. 0. Soit T un rre. Utiliser l formule de récurrence pour montrer que τ(t) =.. Utiliser l formule de récurrence pour τ pour clculer τ(k, ) et τ(k ).. Trouver le nomre des rres recouvrnts de l échelle L à sommets et de l éventil F à -sommets : L F. Comien d rres recouvrnts contient le grphe K? Comien d entre eux sont des rres non-isomorphes?. Écrire une liste de tous les rres étiquetés à sommets et les listes d entiers correspondntes pr l ijection de Prüfer.. Comment est-ce qu on peut recuperer les degrés des sommets d un rre du code de Prüfer?

6 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 Feuille n. : Tours eulériens et cycles hmiltoniens. Trouver un rre couvrnt optiml dns le grphe suivnt (c.à.d. un rre couvrnt vec somme minimle de poids). Qu est-ce que chnge si on minimise le produit des poids u lieu de l somme? L lgorithme de Kruskl est une vrition d lgorithme de Jrník-Prim où on choisit à chque étpe l rête minimle, qui est connectée ux rêtes dejà trouvées et ne forme ps une cycle vec elles. Montrer que l lgorithme de Kruskl donne toujours un rre couvrnt optiml. 8. Appliquer l lgorithme de Kruskl u grphe d exercice. 9. Montrer que : Un grphe contient une chîne qui utilise chque rête exctement une fois, ssi le grphe et connexe et contient u plus deux sommets de degré impir. 0. Trouver un cycle Eulerien ou une chîne Eulerienne dns les grphes suivnts ou montrer qu ils n existent ps.. Lesquels de grphes suivnts dmettent un cycle Eulerien ou une chîne Eulerienne? () K n () K m,n. (c) Les solides de Plton vus comme grphes des sommets. (d) Le cue de dimension n.

7 TD Grphes, lngges et utomtes SA Un grphe orienté est filement connexe, si le grphe non-orienté correspondnt est connexe. Un grphe orienté est fortement connexe, si, pour chque x,y V, il existe une chîne orientée de x à y. Le degré entrnt d in (x) est le nomre d rêtes qui terminent à x et le degré sortnt d out (x) est le nomre d rêtes qui sortent de x. Soit G un grphe orienté tel que d in (x) = d out (x) pour tout x V. Montrer que G est filement connexe si et seulement si G est fortement connexe.. Soit G un grphe orienté filement connexe tel que d in (x) = d out (x) pour tout x V. Montrer que G dmet un cycle eulerien orienté (c.à.d. une chîne orientée qui psse exctement une fois pr chque rête).. Trouver une suite cyclique de sept 0 et sept telle qu on trouve tous les locs de longueur suf 0000 et prmi les locs de qutre chiffres consecutifs. (Exemple : L suite cyclique 0 contient 0,0 et comme locs de deux chiffres consecutifs.). Soit A un lphet de lettres {,,c}. Montrer qu il existe une suite cyclique qui contient chque lettre 7 fois et qui contient tous les mots de lettres comme locs de lettres consecutifs.. Montrer que : Si on enlève un sommet ritrire de grphe de Petersen on otient un grphe vec un cycle hmiltonien. 7. Trouver des cycles de longueur mximle et minimle dns le grphe de Petersen et dns le grphe de dodécèdre. 8. Lesquels de grphes d exercice dmettent un cycle hmiltonien? 9. Les grphes suivnts, contiennent-ils un cycle hmiltonien? 0. Soit G un grphe simple tel que d(x) + d(y) V pour tout x, y non-djcent. () Montrer que G est connexe. () Montrer que G contient un cycle hmiltonien.. Soit G un grphe iprti qui dmet un cycle eulerien. Montrer que le nomre d rêtes est pir.

8 TD Grphes, lngges et utomtes SA Soit G un grphe iprti vec iprtition V = X Y qui dmet un cycle hmiltonien. Montrer que X = Y.. On suppose que toutes les rêtes d exercice ont poids. Trouver des routes optimles qui pssent pr toutes les rêtes.. Résoudre le prolème de fcteur chinois pour le grphe suivnt : P G F E H I J 8 A B C D. Trouver une solution pproximtive du prolème de voygeur de commerce pour le grphe suivnt. Utiliser l lgorithme de Prim-Jrník pour trouver une orne inférieure et comprer. L 0 T 70 8 MC 78 Pe 8 7 NY P

9 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 9 Feuille n. : Expressions rtionnelles. SoitT l ensemle des rres (non-vides) dont les sommets sont étiquetés vec,,...,ν(t). Pour T,T T, soit T T le nouveu rre qu on otient si on identifie le sommet ν(t ) dns T vec le sommet de T et on remplce les étiquettes i de T pr i + ν(t ). Montrer que T forme un monoïde vec l opértion. Montrer que n est ps commutittif et T ne forme ps un groupe vec. 7. Soit A l lphet {, }. Donner une liste A = M 0 M M... tel que M i+ est un sous-monoïde (strict) de M i. 8. Soit A l lphet {,} et A l lphet {,,c}. On note P l ensemle des mots sur A formé pr ε et les mots commençnt pr et sns fcteur. Vérifier que P est un sous-monoïde de A. Soit ϕ l homomorphisme de A dns A défini pr ϕ() =, ϕ() =, ϕ(c) =. Montrer que c est un isomorphisme de A sur P. Remrque : Un isomorphisme de monoïdes est un homomorphisme ijectif dont l inverse est un homomorphisme. Cependnt tout homomorphisme de monoïdes qui est ijectif est un isomorphisme. 9. Soit A un lphet contennt u moins les lettres et. () Donner un homomorphisme µ de A dns (A A). () Donner un homomorphisme de A dns (A\{}). (c) Y--t-il un isomorphisme de monoïdes entre (A\{}) et (A\{})? 70. Soit A l lphet {0,}. Lesquelles de fonctions suivntes entre A et A sont ien définies et homomorphismes de monoïdes? () L fonction qui remplce chque loc mximl de consecutifs pr. () L fonction qui remplce chque loc 00 pr. (c) L fonction qui remplce chque loc 00 pr. (d) L fonction qui remplce chque 0 pr et chque pr 0. (e) L fonction qui échnge les deux prémières lettres. 7. Soit A l lphet {0,} et L le lngge (A ). Lesquelles de fonctions suivntes entre L et L sont ien définies et homomorphismes de monoïdes? () L fonction qui remplce chque loc mximl de consecutifs pr. () L fonction qui remplce chque loc 00 pr. (c) L fonction qui remplce chque loc 00 pr. 7. Soit A = {,,c} un lphet. Donner une expression rtionnelle qui donne tous les mots qui commencent et terminent vec l même lettre.

10 TD Grphes, lngges et utomtes SA Soit A = {,} un lphet. Donner une expression rtionnelle qui donne tous les mots dont l longueur est divisile pr. 7. Soit A = {,} un lphet. Donner une expression rtionnelle qui donne tous les mots vec période dont l longueur est divisile pr. Une période d un mot w est un entier p entre et w tel que w i = w i+p pour tout i w p. 7. Soit A = {,} un lphet. Donner une expression rtionnelle qui donne tous les mots contennts un nomre pir de. 7. Soit A = {,,c,...,y,z} un lphet. Donner une expression rtionnelle pour tous les mots qui contiennent exctement trois lettres. 77. Soit A = {,,c,...,y,z} un lphet. Donner une expression rtionnelle pour tous les mots qui contiennent u moins un et u moins un et dont l prémière occurrence de est vnt l prémière de. 78. Soit A = {0,} un lphet. Donner une expression rtionnelle qui donne tous les mots qui correspondent ux représenttions inires des entiers divisiles pr. 79. Donner une description en frnçis des lngnges donnés pr les expressions rtionnelles suivntes : AA, (ε+a)(ε+a), (AA), A A, A A, A A A, et (). 80. Donner une expression rtionnelle pour le lngge defini pr l utomte suivnt : c 8. Pour les exos 7 78 trouver un utomte qui donne le même lngge. 8. Trouver des expressions rtionnelles correspondntes ux utomtes suivnts : c

11 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 Feuille n. 7 : Automtes 8. Soit (A,Q,δ,I,F) l utomte fini vec A = {0,}, Q = {q 0,q,q,q }, I = q 0, F = {q 0,q } etδ est l liste des trnsitions(q 0,0,q ),(q 0,,q 0 ),(q,0,q ),(q,ε,q ),(q,0,q ), (q,,q ), (q,,q 0 ). Dessinez cet utomte et tentez de décrire en frnçis le lngge reconnu pr cet utomte. Construisez l utomte otenu pr déterministion de l utomte précédent. 8. (Mot de Fioncci) Soit µ l homomorphisme de mots tel que µ() = et µ() =. On définit l suite de mots w = et w n+ = µ(w n ). Montrer que w n est un segment initil de w n+. Clculer # (w n ) (resp # (w n )), le nomre de lettres (resp ) dns le mot w n. 8. (Mot de Thue-Morse) Soit µ l homomorphisme de mots tel que µ(0) = 0 et µ() = 0. On définit l suite de mots w = 0 et w n+ = µ(w n ). Montrer que w n est un segment initil de w n+. Clculer # 0 (w n ) (resp # (w n )), le nomre de lettres 0 (resp ) dns le mot w n. 8. Trouver l normlistion de l utomte suivnt : c c c 87. Trouver l déterministion de l utomte suivnt : 88. Soient L et K deux lngges réguliers qui utilisent de lettres de l lphet A (on peut toujours trouver un tel A). Dites si les lngges suivnts vous prissent réguliers. Si oui, donnez une idée fin de construire des utomtes pour ces lngges à prtir de l utomte de L : () Un sous-lngge L ritrire de L.

12 TD Grphes, lngges et utomtes SA 00 () L conctention KL. (c) L réunion K + L. (d) L étoile L. (e) Le complémentire A \L. (f) L intersection K L. (g) L différence K \ L. (h) L ensemle P ref(l) des préfixes de L. (i) L ensemle Suf f(l) des suffixes de L. (j) le lngge Reflet(L) des mots de L écrits à l envers. (k) le lngge Shuffle(L,K) des mots qui sont des entrelcements d un mot de L et un mot de K. (Pr exemple : Si cd L et xyz K, les mots xycdz et xyczd sont dns Shuf f le(l, K).) 89. Soient L et K deux lngges vec ε K et soit l éqution X = KX + L où l inconnue X désigne un lngge. Montrer que les solutions sont exctement de l forme X = K (L+Y) où Y A. 90. Utiliser le lemme d Arden pour trouver une expression rtionnelle pour le grphe suivnt et les grphes d exercice (Lemmes d etoile) Soit L un lngge rtionnel sur un lphet A. Montrer les trois propriétés suivntes : () Il existe un entier n tel que pour tout mot w de L tel que w n, il existe trois mots u, u, u de A tels que w = u u u, u ε et u u u L. () Il existe un entier n tel que pour tout mot w de L qui s écrit sous l forme w = w w w vec w n, il existe trois mots u, u, u de A tels que w = u u u, u ε et w u u u w L. (c) Il existe un entier n tel que pour tout mot w de L, pour toute suite d entiers 0 i 0 < i < < i n w il existe deux entiers 0 j < k n tels que si on écrit w = u u u vec u = i j et u u = i k lors u u u L. 9. En utilisnt les lemmes d étoile, montrer que ces lngges ne sont ps rtionnels : L = {w {,} w est un plindrome} L = {w {,} w = w } L = { n n 0} L = { n p n p} L = { k k... kp p 0 et i > 0 : k i i} (Lngge de Goldstine)