Théorie des langages

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1 Théorie des lngges Octoer 12, Introduction L théorie des lngges s est développée dns les nnées vec les trvux de chercheurs tels que Nom Chomsky, Mrcel-Pul Schützenerger,... Elle se situe à une intersection de l linguistique, des mthémtiques et de l informtique. Mis les structures qui y ont été définies intéressent ussi d utres disciplines (iologie,...). En linguistique, cette discipline pporte un cdre formel à l étude du lngge nturel. En informtique, elle permis de formliser l conception des lngges informtiques, méliornt insi l nlyse syntxique et l compiltion des progrmmes. On peut ussi s en servir pour l recherche de motifs, l représenttion de succession d événements, l croissnce de structures Présenttion intuitive des grmmires Une grmmire est constituée de un ensemle fini de symoles terminux, ou lphet (terminl), noté X, un ensemle fini de vriles (ou non-terminux), noté V, un ensemle fini de règles de dérivtion, noté R, un xiome (prfois un ensemle d xiomes) qui est une vrile prticulière, prfois noté S mis dont l nottion dépendr de l grmmire. Grossièrement, une règle de dérivtion est une trnsformtion dns lquelle on indique qu une vrile peut être remplcée pr une certine succession de symoles terminux et de vriles Exemple : lngue nturelle L grmmire frnçise serit constituée de X, les mots de l lngue frnçise, V, les concepts grmmticux, R, les règles de construction grmmticle, un xiome P, correspondnt u concept de Phrse. On urit X = {c, isse, isse lngue,..., kysteux, kystique, l, là, ldens, lrum,...lzzi, le, lé, leder...} qui contiendrit ussi toutes les formes ccordées, toutes les formes conjuguées, etc... V = {P, Gn, Gv, Adv, Adj,...} pour représenter les concepts de Phrse, Groupe Nominl, Groupe Verl,... et R = {P Gn Gv, P Gn Gv Gc,..., Gn D N, Gn D N Adj,..., D l, D le, D les,...n jour, N nuit,..., Adj leu, Adj lnche, Adj éteinte,...} pour représenter les règles grmmticles, comme on dit fites des phrses du style sujet vere complément. Cette grmmire permet de dériver les phrses de l lngue frnçise. P Gn Gv Gc D N Gv Gc l N Gv Gc l N est Gc... l nuit est éteinte Attention : pr l suite, les termes lettre, mot seront utilisés vec une significtion différente de celle sousentendue pr cet exemple. En théorie des lngges, lzzi pprtient à l lphet X ; il fudrit donc dire que lzzi est une lettre de l lphet! Mis il n y ur ps de confusion pr l suite, cr nous trvillerons vec un lphet strit réduit à quelques lettres. 1

2 1.1.2 Exemple : lngge informtique Tous les lngges informtiques récents ont une syntxe définie pr une grmmire. Le lngge Turo-Pscl étit défini pr une grmmire constituée de X, contennt les lettres et chiffres, des crctères spéciux, les mots réservés, V, les notions du lngge de progrmmtion, R, les règles syntxiques, un xiome correspondnt à l notion de Progrmme. Les règles suivntes, pprtennt donc à R, sont extrites du Guide du progrmmeur : Progrmme Entête ; Bloc. Progrmme Entête ; ClusesUses Bloc. Bloc Déclrtion BEGIN Instructions END Instruction InstructionSimple Instruction InstructionComposée Instructions Instruction Instructions Instruction ; Instructions... Les termes en grs., ;, BEGIN, END,... pprtiennent à l lphet X du lngge Turo-Pscl. Cette grmmire permet de dériver tous les progrmmes informtiques que l on peut écrire en Turo-Pscl. Leur nomre étnt infini, cette grmmire n est ps utilisée pour générer des progrmmes mis pour svoir si un progrmme est correctement écrit. C est ce qu on ppelle l nlyse syntxique. Mieux encore, l grmmire est conçue de telle fçon qu à l reconnissnce de l emploi de certines règles, on peut ssocier leur trduction en lngge mchine (lngge exécutle pr les circuits de l ordinteur) ; c est l compiltion Exemple : lngge XML Comme dit précédemment, tous les lngges informtiques récents ont une syntxe définie pr une grmmire. L syntxe de XML est définie dns une recommndtion du W3C (voir De plus, des contrintes imposées pr certines règles grntissent un tritement efficce du document XML (voir Les règles suivntes pourrient être extrites de l recommndtion (les crctères en grs sont des symoles terminux) : document prologue élément document prologue élément diverss diverss divers diverss divers diverss... prologue XM Ldecl prologue XM Ldecl doct ypedecl prologue XM Ldecl diverss doct ypedecl... doct ypedecl <!DOCTYPE S nom S IdExterne > doct ypedecl <!DOCTYPE S nom S IdExterne S ([ intsuset ] S) >... S s S s S s #x20 s #x9 s #xd s #xa... #x20 est le code héxdéciml de l espce, #xd est le code héxdéciml du crrige return, #xa est le code héxdéciml du line feed et #x9 est le code héxdéciml de l tultion. Octoer 12, 2008 à 23h35 2/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

3 Les règles de l recommndtion utilisent des symoles permettnt une écriture plus concise des règles. Dns l recommndtion, vous trouverez l règle document prologue élément divers qui est équivlente ux qutre premières règles ci-dessus et l règle S (#x20 #x9 #xd #xa) + qui est équivlente ux six dernières règles ci-dessus. Dns l grmmire définissnt XML, il est précisé que certines vriles engendrent des sous-lngges prticuliers nommés expressions régulières. Les règles, à prtir de ces vriles, ont l forme l plus simple dns l hiérrchie de Chomsky. Nous commencerons pr étudier ces grmmires Exemple : DTD Qund vous définissez une DTD, vous définissez une grmmire. L DTD suivnte <!ELEMENT événements (ville,événement+)+ > <!ELEMENT événement (titre,résumé,renseignements) > <!ELEMENT renseignements (horire,trif,téléphone?,site?) > <!ELEMENT horire (#PCDATA) >... pourrit se trduire en termes de règles événements <événements> contenuevénements </événements> contenuevénements ville événementrépété contenuevénements ville événementrépété contenuevénements événementrépété événement événementrépété événement événementrépété... événement <événements> contenuevénement </événements> contenuevénement titre résumé renseignements renseignements <renseignements> contenurenseignements </renseignements> contenurenseignements horire trif contenurenseignements horire trif téléphone... horire <horire/> horire <horire> PCDATA </horire> PCDATA crctère PCDATA crctère PCDATA crctère crctère... qui décririent tous les documents XML que l on peut écrire en respectnt l DTD. Là encore, vous remrquez que les crctères?, *, +... vous permettent d écrire les règles de fçon plus concise. 2 Préliminires 2.1 Définitions On noter X l lphet des symoles terminux. Il est ussi très souvent noté Σ, A... Exemple: X = {, } ou X = {0, 1, 2}. L concténtion est l opértion qui permet de construire des mots. L concténtion de et est notée. qund on veut vriment insister sur s présence ; mis elle ser souvent notée sns ucun symole, tout simplement. On noter X 2 = XX, X 3 = XXX = X 2 X,...,X n = X n 1 X. X 2 est donc l ensemle des mots de deux lettres, X 3 est donc l ensemle des mots de trois lettres,... écrits vec l lphet X. Le mot vide ε est le mot sns lettre, élément neutre de l concténtion ; si u X n, on uε = εu = u. On X 0 = {ε}. On pose X = i 0 Xi et X + = i 1 Xi. L ensemle X est donc l ensemle de tous les mots, y compris le mot vide, qu on peut écrire sur X. L ensemle X + est l ensemle de tous les mots, suf le mot vide ; on X + = X \ {ε}. Octoer 12, 2008 à 23h35 3/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

4 L concténtion est une opértion ssocitive, c est à dire (uv)w = u(vw) = uvw pour tous mots u, v, w X. Donc X, muni de l concténtion, est un monoïde ; c est à dire un ensemle muni d une loi interne ssocitive, ynt un élément neutre. Remrque : un groupe est un monoïde dns lequel chque élément possède un inverse. L ensemle des entiers reltifs, muni de l ddition, forme un groupe. Ce monoïde est dit lire prce que l décomposition en éléments de X est unique. L ensemle des entiers reltifs, muni de l ddition, n est ps lire cr = Avnt d ller plus loin, prenons quelques exemples concrets : Exemple: Si X = {, }, lors X = {vrepsilon,,,,,,,,,...} Si X = {}, lors X = {vrepsilon,,,,,...} Un lngge est un sous-ensemle de X. Exemple: L = {mots commençnt pr } = {,,,,,,,,...}. On définit l concténtion de lngges : L 1 L 2 = {uv u L 1, v L 2 } Exemple: Si L 1 = {vrepsilon,, } et L 2 = {ε,, }, lors L 1 L 2 = {vrepsilon,,,,,,, } = {vrepsilon,,, 2,, 3, 2, 2 } On remrquer que le mot plusieurs décompositions. et.ε. On définit ussi les puissnces d un lngge : L 0 = {ε}, L 1 = L, L 2 = LL,..., L = i 0 Li et L + = i 1 Li. Enfin, on prler de fmilles de lngges pour l ensemle de tous les lngges qui vérifie une propriété donnée. Pr exemple, on prler de l fmille des lngges réguliers pour l ensemle des lngges engendrés pr les grmmires régulières. Exercice 1. Soit L 1 = {}. Ecrivez les cinq premiers mots, dns l ordre lphétique, de L 1. Soit L 2 =. Ecrivez les cinq premiers mots de L 2. Soit L 3 = {, }. Ecrivez les cinq premiers mots de L Grmmires Une grmmire est un qudruplet G = (X, V, R, S) où X est l lphet des symoles terminux, V est l ensemle fini des vriles, R est l ensemle fini des règles de dérivtion, S est l xiome pprtennt à V. Exemple: G 1 = (X, V, R, S) vec X = {, } V = {S, T } R = {S S, S T, T T, T ε} Une dérivtion simple est l ppliction d une règle dns un contexte prticulier. On noter ulv urv si l r est une règle de R. On noter w = w une succession de dérivtions. Exemple: Dns l grmmire G 1 précédente, SST = TST cr SST SST SST TST Octoer 12, 2008 à 23h35 4/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

5 On ppelle lngge engendré pr G, noté L(G), l ensemle L(G) = {w X S = w}. Dns L(G), tout mot est otenu pr une dérivtion, à prtir de S. Inversement, tout mot otenu pr une dérivtion terminle à prtir de S, c est à dire mot qui ne contient que des symoles de l lphet X, pprtient à L(G). Exemple: L(G 1 ) = { n m m n n, m N} Remrquons qu il est possile qu un mot dmette plusieurs dérivtions. Il est possile ussi qu un lngge dmette plusieurs grmmires. Exemple: L(G 1 ) = L(G 2 ) vec G 2 = (X, V, R, S) où R = {S S, S ε, S T, T T, T ε} Exercice 2. G 3 = (X, V, R, S) vec X = {, } V = {S, T 1, T 2 } R = {S T 1 T 2, T 1 T 1, T 1 ε, T 2 T 2, T 2 ε} Est-ce que L(G 3 )? Est-ce que L(G 3 )? Est-ce que L(G 3 )? Trouver d utres mots de L(G 3 ). Quel est le lngge engendré pr G 3? 3 Hiérrchie de Chomsky Nom Chomsky défini des fmilles de lngges en définissnt des crctéristiques des règles de dérivtion. Grmmires régulières R ((V X ) (V X V )). Les règles sont donc de l forme l r vec l V et r X ou r X V. Grmmires lgériques (context-free) R (V (X + V ) ). Les règles sont donc de l forme l r vec l V et r (X + V ). Grmmires contexte lié R ((X + V ) n (X + V ) m ) vec m n. Les règles sont donc de l forme l r vec l, r (X + V ) vec l r, où l représente l longueur de l. Grmmires à structure de phrse R ((X + V ) (X + V ) ). Les règles sont donc de l forme l r vec l, r (X + V ), sns contrinte. Un lngge est d un type donné s il existe une grmmire de ce type qui l engendre ; l fmille des lngges réguliers est l fmille des lngges engendrés pr les grmmires régulières... De prt leur définition, chque fmille est incluse dns l fmille suivnte ; l fmille des lngges réguliers est incluse dns l fmille des lngges lgériques... Tout lngge régulier est donc lgérique... 4 Fmille des lngges réguliers, fmille des lngges rtionnels, fmille des lngges reconnissles 4.1 Fmille des lngges réguliers Une grmmire G = (X, V, R, S) est régulière si et seulement si R ((V X ) (V X V )). Un lngge est régulier si et seulement si il existe une grmmire régulière qui l engendre. On noter Reg(X ) l fmille des lngges réguliers sur X. Exemple: Le lngge L 1 = {mots commençnt pr et finissnt pr } est un lngge régulier cr on peut trouver une grmmire régulière qui l engendre. Octoer 12, 2008 à 23h35 5/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

6 On L(G 1 ) = L 1 vec G 1 = (X, V, R, S) où R = {S T, T T, T T, T }. Cette grmmire G 1 est régulière cr les règles ont l forme crctéristique de ces grmmires. Pour concevoir une grmmire, il fut ssocier une sémntique ux vriles. Dns une grmmire régulière, l succession des vriles git un peu comme une tête rottive d imprimnte, écrivnt un crctère et se tournnt pour le crctère suivnt. Dns l grmmire G 1, on pourrit ssocier à S l significtion l tête d imprimnte est u déut du texte ; l vrile T signifierit l tête d imprimnte écrit le du déut, elle doit écrire n importe quel crctère et rrêter sur un. Exercice 3. Prouver que le lngge L 2 = {mots contennt u moins un } est un lngge régulier en concevnt une grmmire régulière qui l engendre. Exercice 4. Prouver que le lngge L 3 = {mots contennt un nomre pir de } est un lngge régulier. 4.2 Fmille des lngges rtionnels Un lngge est rtionel si et seulement si il est otenu pr union, concténtion et étoile de lngges finis. On noter Rt(X ) l fmille des lngges rtionnels sur X. Un lngge rtionnel est décrit pr une expression rtionnelle, fisnt intervenir des lngges finis et les opérteurs + (union),. (concténtion) et (étoile). L union est prfois notée pr son symole hituel. Le symole de concténtion est souvent omis. Exemple: Le lngge L 1 = {mots commençnt pr et finissnt pr } est décrit pr l expression L 1 = ( + ). Il est donc rtionnel. Il peut exister plusieurs expressions rtionnelles pour un même lngge. Exercice 5. Prouver que le lngge L 2 = {mots contennt u moins un } est un lngge rtionnel en concevnt une expression rtionnelle qui le décrit. Exercice 6. Prouver que le lngge L 3 = {mots contennt un nomre pir de } est un lngge rtionnel. 4.3 Fmille des lngges reconnissles Un utomte (à étts) fini est un quintuplet M = (X, Q, Q I, Q F, δ) où X est l lphet, Q est l ensemle fini des étts, Q I est l ensemle fini des étts initiux, Q I Q, Q F est l ensemle fini des étts finls, Q F Q, δ est l ensemle fini des trnsitions, δ Q X Q. On étend les trnsitions à l succession de trnsitions δ Q X Q de l fçon suivnte : quel que soit q Q, on (q, ε, q) δ, δ δ, pour tout (q, u, q) δ et (q, v, q) δ, on (q, uv, q) δ Un mot w est reconnu pr l utomte si et seulement si il existe un étt initil q i Q I et un étt finl q f Q F tel que (q i, w, q f ) δ. Le lngge reconnu pr un utomte M est l ensemle de tous les mots qui sont reconnus pr M ; il est défini pr L(M) = {w X q i Q I, q f Q F tel que (q i, w, q f ) δ } Un lngge L est reconnissle si et seulement si il existe un utomte M tel que L(M) = L. On noter Rec(X ) l fmille des lngges reconnissles sur X. Octoer 12, 2008 à 23h35 6/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

7 0 1 2 Figure 1: Un utomte M 1 reconnissnt L 1 On noter prfois les trnsitions sous l forme d une fonction δ(q, x) = {q (q, x, q ) δ}. Les utomtes ont une représenttion grphique, très très prtique. Exemple: Le lngge L 1 est reconnu pr l utomte M 1 suivnt : Exercice 7. Prouver que le lngge L 2 = {mots contennt u moins un } est un lngge reconnissle en dessinnt un utomte qui reconnît ses mots. Exercice 8. Prouver que le lngge L 3 = {mots contennt un nomre pir de } est un lngge reconnissle. Un utomte est déterministe si et seulement si Q I = 1, pour tout q Q, pour tout x X, on δ ({q} {x} Q) 1 L deuxième condition peut se lire : pour tout q Q, pour tout x X, il existe u plus un q Q tel que (q, x, q ) δ. Autrement dit, il y un seul étt initil et, prtnt de n importe quel étt, il existe u plus une trnsition lellée pr une lettre donnée. Exemple: L utomte M 1 n est ps déterministe. Remrquons nénmoins que tout mot n est reconnu que pr un seul chemin. Cette notion correspond à l non miguïté. Il est possile que certins étts, s ils sont tteints, ne permettent ps de rejoindre un étt finl. On les ppelle étt puits. Un utomte est complètement spécifié si, pour tout étt q Q, pour toute lettre x X, il existe exctement une trnsition (q, x, q ) δ. Pour rendre un utomte complètement spécifié, il est prfois nécessire d jouter un étt puits. Exemple: Le lngge L 1 est reconnu pr l utomte déterministe M 1 suivnt : L utomte n est ps complètement spécifié. Le lngge L 1 est reconnu pr l utomte déterministe complètement spécifié M 1 suivnt : Théorème 1. Tout lngge reconnissle peut être reconnu pr un utomte déterministe. Pour un lngge donné, il existe plusieurs utomtes déterministes qui le reconnissent. Théorème 2. Pour tout lngge reconnissle, il existe un unique utomte déterministe miniml (ynt le nomre minimum d étts) qui le reconnît. Octoer 12, 2008 à 23h35 7/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

8 0 1 2 Figure 2: Un utomte déterministe M 1 reconnissnt L puits Figure 3: Un utomte déterministe complètement spécifié M 1 reconnissnt L Equivlence des fmilles régulières, reconnissles et rtionnelles Les trois fmilles que nous venons de présenter sont équivlentes. Théorème 3. Reg(X ) = Rt(X ) = Rec(X ) Donc, cette fmille de lngges peut être ppelée indifféremment rtionnelle, régulière ou reconnissle. Et pour décrire un lngge, on peut donner une expression rtionnelle, une grmmire régulière ou un utomte fini. Comme souvent, les églités se démontrent pr des doule inclusions. Certines des inclusions sont simples. Rec(X ) contient les lngges finis. Il est simple de construire (vec des epsilon-trnsitions) des utomtes reconnissnt les unions, concténtion et étoile d utomtes. Donc Rt(X ) est inclus dns Rec(X ). Soit M un utomte déterministe. A chque étt q, on ssocie une vrile S q ; l étt initil q 0 ser l xiome S q0. A chque trnsition (q, x, q ) δ, on ssocie une règle S q xs q. A chque étt finl S qf, on ssocie une règle S qf ε. Il n est ps trop difficile de vérifier que le lngge engendré pr l grmmire insi otenue, est identique u lngge reconnu pr l utomte. Donc Rec(X ) est inclus dns Reg(X ). Si on trnsforme préllement l grmmire de telle fçon que R ((V {ε}) (V XV )), l construction inverse est possile. L trnsformtion de l grmmire n est ps difficile, donc Reg(X ) est inclus dns Rec(X ). D utres inclusions sont plus techniques De l utomte à l expression rtionnelle On v ssocier un système d équtions à l utomte. Résoudre ce système nous donner le lngge reconnu pr chque étt. Octoer 12, 2008 à 23h35 8/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

9 Pour chque trnsition (q i, x, q j ) δ, on considère que le lngge reconnu à prtir de l étt q i, c est l lettre x suivie du lngge reconnu à prtir de l étt q j. Cette trnsition donne l éqution L i = xl j. Pour un étt finl, l éqution fit pprître ε cr le lngge reconnu à prtir d un étt finl contient ε. Le lngge qui nous intéresse est celui reconnu à prtir des étts initiux. On utilise le lemme suivnt pour résoudre le système d équtions. Lemme 1. L éqution sur les lngges Z = BZ + A d inconnue Z X, de prmètres A X et B X pour plus petite solution Z = B A. Cette solution est unique si ε n pprtient ps à B. Exemple: Le lngge L 1 est reconnu pr l utomte déterministe M 1 suivnt : Figure 4: Un utomte déterministe M 1 reconnissnt L 1 Le système d équtions est L 0 = L 1 L 1 = L 1 + L 2 L 2 = L 2 + L 1 + ε En posnt B = {} et A = L 1 + ε, on peut ppliquer le lemme et cel donne L 2 = (L 1 + ε). On reporte cette vleur de L 2 dns l éqution de L 1. On otient L 1 = L 1 + L 2 = L 1 + ( (L 1 + ε)) = L L = L En posnt B = et A = +, on peut ppliquer le lemme et cel donne L 1 = ( ) +. On reporte cette vleur de L 1 dns l éqution de L 0. On otient L 0 = L 1 = ( ) + = ( ). Qund on sit que ( ) = ( + ), on retrouve L 0 = L 1 = ( + ). Comme, à tout utomte, on peut ssocier une expression rtionnelle, on montré que Rec(X ) est inclus dns Rt(X ). Ceci clôt l démonstrtion de l équivlence des trois fmilles De l expression rtionnelle à l utomte : l utomte de Glushkov Le ut est de construire un utomte correspondnt à une expression rtionnelle. Soit E une expression rtionnelle décrivnt un lngge L. On commence pr indicer les lettres qui interviennent dns l expression. On note E l expression indicée, qui décrit un lngge L. On note x # l lettre à lquelle on retire l indice ; pr exemple, # 3 =. Exemple: Soit E = ( + ). L expression indicée est E = 1 ( ) 4. On clcule ensuite trois fonctions first(l ) = { w X tel que w L } lst(l ) = { w X tel que w L } Pour tout X, follow(l, ) = { v, w X tel que vw L } Il existe une construction inductive de ces fonctions, décrivnt ce que vlent ces fonctions sur une lettre et ce que vlent ces fonctions pour une union, une concténtion ou une étoile de lngges (voir Anne Brüggemnn- Klein, Regulr Expressions into Finite Automt, Theoreticl Computer Science 1 ). L utomte de Glushkov est défini pr M = (X, Q { q 0 }, { q 0 }, Q F, δ) vec 1 Cet rticle n est ps l rticle qui défini les utomtes de Glushkov, mis un rticle dns lequel on trouve les informtions. Octoer 12, 2008 à 23h35 9/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

10 Q = lphet(e ), c est à dire les étts sont lellés pr les lettres de l expression indicée, δ( q 0, ) = {x x first(e ), x # = }, δ(x, ) = {y y follow(e, x), y # = } pour tout x Q, Q F = lst(l ) { q 0 } si ε L Q F = lst(l ) sinon. On peut remrquer que toute les trnsitions qui tteignent un étt x X ont un lel x #. Exemple: Soient E = ( + ) et E = 1 ( ) 4. On first(l ) = { 1 } lst(l ) = { 4 } follow(l, 1 ) = { 2, 3, 4 } follow(l, 2 ) = { 2, 3, 4 } follow(l, 3 ) = { 2, 3, 4 } follow(l, 4 ) = On peut donc définir Q = { 1, 2, 3, 4, δ( q 0, ) = { 1 }, δ( 1, ) = { 2 } et δ( 1, ) = { 3, 4 }, δ( 2, ) = { 2 } et δ( 2, ) = { 3, 4 }, δ( 3, ) = { 2 } et δ( 3, ) = { 3, 4 }, Q F = { 4 }. Ceci donne l utomte suivnt : 2 3 q Figure 5: Un utomte déterministe M 1 reconnissnt L 1 Remrque : cette construction un rpport vec XML. Dns une DTD, les expressions décrivnt les éléments doivent être 1 non-migües. Dns ce cs, l utomte de Glushkov ssocié à l expression est un utomte déterministe. Octoer 12, 2008 à 23h35 10/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

11 Figure 6: Un utomte non déterministe 5 Déterministion Considérons l utomte suivnt. Il y un seul étt initil : l étt 0. Il y deux étts finls : les étts 0 et 3. Le non déterminisme pprît à l étt 3 qui tteint deux étts pour l lettre. Pour déterminiser, il est prtique d étlir l tle des trnsitions. Cette tle se lit de l fçon suivnte : de l étt 0, on tteint l étt 1 pr l lettre ; de l étt 1, on tteint l étt 3 pr l lettre, , On déterminise pr l suset-construction, c est à dire l construction d un utomte déterministe sur des ensemles d étts. On commence vec un étt initil qui est l étt constitué de tous les étts initiux. Dns notre cs, l étt initil est {0}. Donc rien ne chnge u déut, pour les étts {0}, {1} et {2}. L étt 3 v, pr l lettre, vers les deux étts 2 et 3; nous llons créer un seul étt {2, 3}, et l lettre ir vers cet étt. Puis on reprtir de cet étt {2, 3}. De l étt {2, 3}, on tteint pr l lettre, tous les étts qu on tteint à prtir de l étt 2 et de l étt 3. De l étt 2, on tteint l étt 1 et de l étt 3, on tteint l étt 4. Donc du nouvel étt {2, 3}, on tteint un étt {1, 4} Et on continue... tnt que de nouveux ensemles d étts sont mis en évidence. Voici l tle de trnsition du déterministe. {0} {1} {2} {1} {3} {1} {2} {1} {2} {3} {4} {2,3} {4} {3} {4} {2,3} {1,4} {2,3} {1,4} {3} {1,4} Octoer 12, 2008 à 23h35 11/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

12 Les étts finls sont les ensemles d étts qui contiennent u moins un étt finl. Donc, les étts finls sont {0}, {3} et {2, 3}. Et on otient l utomte suivnt qui est déterministe. {1} {0} {3} {4} {2} {2, 3} {1, 4} Figure 7: l utomte déterministe Vous vez d utres exemples de déterministion pr l suset-construction dns l section 7. En prticulier, des déterministions qui commencent vec un ensemle d étts initiux non réduit à un singleton. Octoer 12, 2008 à 23h35 12/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

13 6 Minimlistion pr l méthode de Moore 6.1 Construction Pour simplifier l expliction, on renomme les étts. B A D E C F G Figure 8: l utomte déterministe L méthode de minimlistion s ppuie sur l séprtion des étts qui n ont ps le même comportement. Cette méthode est très rpide. Elle s pplique sur un utomte déterministe. On commence pr construire une prtition en deux sous-ensemles : un ensemle qui contient les étts finls et un ensemle qui contient les étts non finls. {A, D, F } {B, C, E, G} On cherche ensuite une trnsition qui met en évidence une différence de comportement. C est à dire une trnsition pour lquelle, on peut séprer les étts contenus dns un sous-ensemle. Dns le sous-ensemle, certins étts tteindront, pr une certine lettre, un sous-ensemle et les utres un utre sous-ensemle. On peut psser en revue toutes les trnsitions. Mis dès qu une lettre met en évidence une différence de comportement, on peut l utiliser pour définir une nouvelle prtition. Prenons l lettre prtnt de l ensemle A, D, F. Pour l étt A, l lettre mène dns un sous-ensemle (celui des étts non finls). Est-ce que D et F ont le même comportement? Oui, ils tteignent E et G qui sont non finls. Donc, cette lettre ne nous permet ps de différencier les étts dns l ensemle {A, D, F }. Cette lettre ne nous permet ps de chnger l prtition. Pr contre, l lettre met en évidence des comportements différents. L étt A tteint l ensemle des étts non finls. Mis les étts D et F tteignent l ensemle des étts finls. Donc, on otient une nouvelle prtition plus fine {A} {D, F } {B, C, E, G} On continue... l lettre permet de séprer l étt C des étts B, E et G. En effet, l étt C tteint l étt B, c est à dire l ensemle {B, C, E, G} mis les étts {B, E, G} tteignent l ensemle {D, F }. Octoer 12, 2008 à 23h35 13/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

14 {A} {D, F } {C} {B, E, G} On continue... non, c est déjà terminé! Nous vons l prtition l plus fine. Aucun sous-ensemle ne peut plus être scindé. Vous pouvez exminer chque sous-ensemle d étts, les lettres et ne permettent plus de rien séprer. En conclusion, certins sous-ensemles sont constitués d étts finls. l utomte déterministe miniml. Ils sont évidemment finls dns Comme on commence vec un utomte déterministe, il y un seul étt initil. Le sous-ensemle contennt l étt initil est initil dns l utomte déterministe miniml. Donc, le sous-ensemle {A} est initil ; les sous-ensemles {A} et {D, F } sont finls. Pour les trnsitions, il n y ps d miguïté puisqu on ne peut plus scinder les sous-ensemles d étts. Et on otient BEG A DF C Figure 9: l utomte déterministe miniml Octoer 12, 2008 à 23h35 14/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

15 6.2 Autre exemple A B C D E F G H Figure 10: un utomte déterministe Prtition initile {F } {A, B, C, D, E, G, H} Pr l lettre, on peut séprer {C, E} de {A, B, D, G, H} {F } {C, E} {A, B, D, G, H} Pr l lettre, on peut séprer {B, H} de {A, D, G} {F } {C, E} {B, H} {A, D, G} Pr l lettre, on peut séprer {G} de {A, D} {F } {C, E} {B, H} {A, D} {G} On ne peut plus séprer de sous-ensemle. C, E F A, D B, H G Figure 11: l utomte déterministe miniml Octoer 12, 2008 à 23h35 15/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

16 6.3 Exercice Construire l utomte déterministe miniml équivlent à l utomte ci-dessous. A B C D E F Figure 12: un utomte non déterministe A B D E, Figure 13: l utomte miniml Octoer 12, 2008 à 23h35 16/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

17 7 Minimlistion pr l méthode de Brzozowski 7.1 Construction Soit A un utomte quelconque. Notons A min l utomte déterministe miniml, qu on cherche à clculer. Notons D(A) l utomte déterministe équivlent à l utomte A qu on otient pr l suset-construction (voir section 5). Notons A R l utomte miroir de A, c est à dire l utomte otenu en trnsformnt les étts initiux en étts finls trnsformnt les étts finls en étts initiux renversnt toutes les trnsitions Il est possile de prouver que A min = D((D(A R )) R ). Donc pour clculer l utomte déterministe miniml A min à prtir d un utomte quelconque A, on pplique l méthode suivnte : on clcule le miroir de A, soit A 1 = A R on clcule le déterministe de A 1, soit A 2 = D(A 1 ) on clcule le miroir de A 2, soit A 3 = A 2 R on clcule le déterministe de A 3, soit A 4 = D(A 3 ) l utomte otenu est l utomte déterministe miniml, soit A min = A Exemple Prenons l utomte de l figure 6 comme utomte de déprt (figure 14) Figure 14: Un utomte non déterministe A Octoer 12, 2008 à 23h35 17/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

18 On prend le miroir Figure 15: L utomte miroir A 1 = A R Tle de trnsition 0 1 0, ,2,3 3 1, Les étts 0 et 3 sont initiux ; l étt 0 est finl. On construit l utomte déterministe pr l suset-construction. Celui-ci commence vec l ensemle des étts initiux {0, 3}. Tle de trnsition du déterministe {0,3} {1,4} {3} {1,4} {0,2,3} {1,4} {0,2,3} {1,4} {0,2,3} {3} {1,4} {3} Les étts {0, 3}et {0, 2, 3} sont finls cr ils contiennent 0 qui étit finl. dont on renomme les étts {0,3} A B D {1,4} B C B {0,2,3} C B C {3} D B D c est à dire les étts A et C Octoer 12, 2008 à 23h35 18/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

19 on otient l utomte de l figure 16 B A C D Figure 16: l utomte déterministe A 2 = D(A 1 ) On prend le miroir B A C D Figure 17: l utomte miroir A 3 = A 2 R Tle de trnsition de l utomte A 3 A B A,C,D B C B C D A,D Les étts A et C sont initiux ; l étt A est finl. Octoer 12, 2008 à 23h35 19/20 Octoer 12, 2008 à 23h35

20 On construit l utomte déterministe pr l suset-construction. Celui-ci commence vec l ensemle des étts initiux {A, C}. Tle de trnsition du déterministe {A, C} {B} {C} {B} {A, C, D} {B} {C} {B} {C} {A, C, D} {B} {A, C, D} dont on renomme les étts {A, C} {B} {C} {A, C, D} Les étts {A, C} et {A, C, D} sont finls c est à dire les étts 1 et 4 cr ils contiennent A qui étit finl. on otient enfin l utomte déterministe miniml de l figure Figure 18: l utomte déterministe A min = A 4 = D(A 3 ) Vous pouvez comprer cet utomte vec celui de l figure 9 Octoer 12, 2008 à 23h35 20/20 Octoer 12, 2008 à 23h35