Les sommets homologues A et F coïncident et les droites DE et BC sont parallèles.

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1 Triangles semblables. Défintions Deux triangles sont semblables s'ils ont trois angles de même mesure. C' C A B A' [ AB] et [ A' B '], [ AC] et [ A' C '] ainsi que [ ] et [ ' '] BC B C sont des côtés homologues. BAC et B ' A' C ', CBA et C ' B ' A ' ainsi que ACB et A' C ' B ' sont des angles homologues. A et A ', B et B ' ainsi que C et C' sont des sommets homologues. B'. Théorème Si deux triangles sont semblables, alors les rapports des côtés homologues sont égaux. Avant de démontrer le théorème on va supposer sans démonstration que si deux triangles ABC et DEF sont semblables tels que les sommets A et F, B et D ainsi que C et E soient homologues alors on peut toujours les superposer comme sur la figure ci-dessous. F A D AF E B C D E B C Les sommets homologues A et F coïncident et les droites DE et BC sont parallèles.

2 Triangles semblables. Justification dans un cas de figure précis (ceci n'est pas une démonstation!!!) Considérons les deux triangles semblables DEF et ABC. A'B'C' est l'image de ABC par la translation de vecteur AD. A"B"C" est l'image de A'B'C' par la rotation de centre D et d'angle B ' DE.

3 Triangles semblables. Théorème de Thalès dans un triangle. Dans tout triangle ABC, si une parallèle à BC coupe les côtés ] AB [ en D et ] AC [ en E, alors: AD AB AE AC Démonstration AD AB AD EH AB EH aire ADE aire ABE aire( ADE) + aire( DBE) aire ADE aire( ADE) + aire( ECD) aire ADE aire ADE aire ACD AE DK AC DK AE AC

4 Triangles semblables Corollaire Dans tout triangle ABC, si une parallèle à BC coupe les côtés ] AB [ en D et ] AC [ en E, alors:. AD AE DE AB AC BC autrement : Les rapports des côtés homologues de deux triangles semblables sont égaux. Démonstration AD AE D'après le théorème de Thalès dans le triangle ABC : () AB AC BC en F, donc: La parallèle à AC passant par D coupe [ ] BD BF BA BC AB AD BC FC AB BC ( AB AD) BC AB ( BC FC) car ( AB AD) ( BC FC) 0 0 AB BC AD BC AB BC AB FC AD BC AB FC AD BC AB FC AD FC AB BC FC // DE et DF // CE DFCE est un parallèlogramme DE FC ( ) AD DE ( ) et ( ) ( 4) () et ( 4) AB BC AD AE DE AB AC BC

5 Triangles semblables Réciproque du Théorème de Thalès Dans tout triangle ABC, si une droite coupe les côtés ]AB[ en D et ]AC[ en E de telle sorte que AD AE, alors DE est parallèle à BC. AB AC A D E B C Démonstration La parallèle à BC passant par D coupe [AC] en F. A B D F E? DF // BC AD AB AE AC AD AF D'après le théorème de Thalès: (). AB AC AD AE Par hypothèse:. AB AC () et AE AF AE AF E F E et F appartiennent au segment [ AC] E F DE DF DE DF DE // BC DF // BC C

6 Triangles semblables Théorème de Thalès dans un trapèze. Dans tout trapèze ABCD, si une parallèle à AB coupe les côtés ] AD [ en E et ] BC [ en F, alors: DE DA CF. CB Démonstration La parallèle à BC passant par D coupe EF en G et AB en H. DG CF et DH CB GFCD et HBCD sont des parallélogrammes, donc : () D après le théorème de Thalès dans le triangle AHD : () et DE CF DA CB DE DA DG DH

7 Triangles semblables Réciproque du théorème de Thalès dans un trapèze Dans tout trapèze ABCD ( AB // DC ), si une droite coupe les côtés ] [ DE CF sorte que, alors EF est parallèle à AB. DA CB AD en E et ] [ BC en F de telle Démonstration DE CF Par hypothèse : () DA CB La parallèle à BC passant par D coupe AB en H, et la parallèle à AB passant par F coupe DH en G. GFCD est un parallélogramme car c est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, donc: CF DG HBCD est un parallélogramme car c est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles, donc: CB DH DE DG Dans le triangle AHD : EG // AH EG // AB DA DH GF // AB Finalement GF EG EF car par un point donné on peut mener une seule parallèle à une EG // AB droite donnée.

8 Triangles semblables. 8 Exemples résolus: ) Calculer la valeur exacte de x AD. Les données sur la figure sont en cm et la figure est exacte! Réponse: AD AE x, 4 x, 4 4x,4x 5,8 x,cm AB AC x+,,4+,6 x+, 4 + ) Calculer l aire du triangle AED sachant que AE AB 4, D mil[ AC] et aire ABC 4cm. Réponse: DI AD DI Les triangles AID et AHC sont semblables, donc : DI CH CH AC CH AB CH AE DI 4 4 AB CH aire AED aire( ABC), 75 cm 8 8 8

9 Triangles semblables. 9 ) Rappel: Soit ABC un triangle, A' mil [ BC], B ' mil [ AC], C ' mil [ AB] et G le centre de gravité du triangle, alors : AG AA'; BG BB '; CG CC '. a) Montrer que aire( AC ' G) aire( C ' BG), puis calculer l aire du triangle AC G. Réponse: a) Les triangles AHG et ABA sont semblables, donc : GH AG GH GH A' B BC BC AB ' AA' AB ' AB BC AC ' GH AB BC aire AC ' G aire ABC 6 6 AB BC C ' B GH AB BC aire C ' BG aire ABC 6 6 AB BC 94 b) aire( ABC) 8 cm aire( AC ' G) 8 cm 6

10 Triangles semblables. 0 Exercices d entraînement OMB-MIDI-demi-finale-005-ex Les côtés du carré ABCD ont cm de longueur. DC et le point F est Le point E est le milieu de [ ] le milieu de [ AE ]. Quelle est, en centimètres carrés, l aire du triangle DEF? A : 5 B : 6 C : 7 D : 8 E : 9 OMB-MIDI-élimantoire-00-ex0 Dans la figure ci-contre, G est le centre de MN comprend gravité du triangle ABC ; la droite G et est parallèle au côté [ BC ] ; enfin D est le point AD qui partage [ AN ] de telle manière que AN. Que vaut le rapport de l aire du triangle ADM à celle du triangle ABC? A : 4 7 B : 8 7 C : D : 7 8 E : 4 9 OMB-MAXI-éliminatoire-999-ex Dans la figure ci-contre, PQR et PTS sont deux triangles rectangles dont les côtés de l angle droit mesurent et 5 ; les droites ( et sont perpendiculaires. Que vaut l aire de la partie du plan qui est commune à PQR et PTS? QR ) ( ST ) A : 9 8 B : C : 5 D : 5 E : OMB-MAXI-éliminatoire-00-ex0 Un triangle équilatéral est inscrit dans un autre triangle équilatéral de manière que chaque côté de l un soit perpendiculaire à un côté de l autre. Que vaut le rapport de l aire du plus grand à celle du plus petit? A : B : C : D : 9 4 E : 9 OMB-MIDI-demi-finale-005-ex6 Sans réponse préformulé. Dans un trapèze, la longueur de la plus grande base vaut 97 et la longueur du segment joignant les milieux des diagonales vaut. Quelle est la longueur de l autre base?

11 Triangles semblables. Réponse : OMB-MIDI-demi-finale-005-ex AG AF AG AG DG AD AG AD AE DE DG aire( DEF ) D 8 Réponse : OMB-MIDI-élimantoire-00-ex0 Rappel : Si A' mil[ BC], alors AG AA' AI AG AI Les triangles AIG et AHA sont semblables, donc : AI AH AH AA' AH AP AD AP 4 Les triangles APD et AIN sont semblables, donc : AP AI AH AI AN AI 9 AM AG AM Les triangles AMG et ABA sont semblables, donc : AM AB AB AA' AB AM MN AM Les triangles AMN et ABC sont semblables, donc : MN BC AB BC AB 4 D où : MN BC ; IH AH AI AH AH AH ; DJ AI AP AH AH AH 9 9 aire AMD ( aire ABC aire BCNM aire MND ) BC AH BC+ MN MN DJ IH BC+ BC BC AH BC AH AH 9 BC AH aire( ABC) B 7 autrement: 4 ( AM AD sin MAD AB AC sin MAD) sin ( 8 AB AC BAC) 8 aire( AMD) 9 aire( ABC) B 7 7

12 Triangles semblables. Réponse : OMB-MAXI-éliminatoire-999-ex Les triangles TBA et TSP sont semblables, donc : TB AB AB 6 AB TS PS Par conséquent : QA QB AB 5 5 aire( ABCP) ( aire QBSP aire QAP ) C Réponse : OMB-MAXI-éliminatoire-00-ex0 Les triangles ADF, DBE et FEC sont isométriques (Cas d isométrie : ACA), donc: AD BE CF et AD DB EC. Le triangle ADF est la «moitié» d un triangle équilatéral, donc : AD AF. Les triangles ADF et AHC sont semblables, donc : FD AF FD FD CH CH AC CH AB BH AD FD AB BH aire ADF aire( ABC) 9 9 aire DEF aire ABC aire ADF aire ABC aire ABC aire ABC 9 aire ABC aire DEF aire ABC B aire( ABC)

13 Triangles semblables. autrement: Pythagore dans le triangle ADF : AF AD + DF AB AB + DF DF AB AB DE AB aire( ABC) B aire( ABC) aire( ABC ) aire DEF aire ABC aire DEF Réponse : OMB-MIDI-demi-finale-005-ex6 Posons : [ ] ; [ ] ; { } M mil AC N mil BD AC BD I, alors AM AC et MN // AB ABI et MNI sont semblables, donc : IM MN IM 97 IM IM AC IM A IA AB + C IM + AC ICD (rose) et IMN (vert) sont semblables, donc : AC IM MN 88 DC DC 9 IC DC AC AC DC

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