Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

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1 Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni d une base B =( u (x, y), i, j ) d espace vectoriel associé u = x² + y². On parle de la choix de cette base permet de munir d une norme définie par : norme euclidienne. On suppose connu les théorèmes de Thalès et Pythagore, les barycentres, le produit scalaire de deux vecteurs.. Le On rappelle que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, que deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. En particulier, pour un point M donné et une droite D donnée, il existe une unique droite orthogonale à D et passant par M. 1. Projection orthogonale sur une droite du plan : 1.1 Définition : Définition 1 : Soit D une droite de. On appelle projection orthogonale sur D l application p : telle que M est le point d intersection entre D et la droite perpendiculaire à D passant par M. Le point M est appelé projeté orthogonal de M sur D. M * M ï p(m) = M D p(m) 1.2 Propriétés : Propriété 1 : i) D est l ensemble des points invariants de l application p. ii) p o p = p iii) Soit M, p -1 si M D ({M}) = la droite perpendiculaire à D et passant par M sinon Conséquence : On déduit du iii) que p n est ni injective, ni surjective. Démonstration : i) M = p(m) M D ii) p o p(m) = p (p(m)) = p(m ) où M = p(m). Donc M D et alors p(m ) = M par i). Ainsi p o p(m) = p(m) = M M p o p = p. iii) Si M D alors p -1 (M) = car le projeté d un point du plan sur la droite D doit forcément être un point de D!!! En particulier p n est pas surjective. Si M D par définition p -1 (M) est la droite D perpendiculaire à D et passant par M. Tous les points de la droite D se projettent en un même point de D. En particulier on a que p n est pas injective. Proposition 1 : Soient A, B, C trois points 2 à2 distincts de et k un nombre réels non nul tels que A B = k A C où A = p(a), B = p(b) et C = p(c). AB = k AC. Alors Démonstration : On distingue 2 cas. 1 er cas : (AB) D. Les points A, B et C étant alignés on a A = B = C et l égalité devient trivial. C 2 ème cas : (AB) / D. On se retrouve dans une configuration de Thalès B A On a le rapport des longueurs et les points A, B, C sont alignés. D A B C Hannon.J - 1 -

2 Corollaire 1 : p conserve les barycentres Démonstration : Pour simplifier faisons le cas n = 2. β Soit G barycentre de (A,α), (B,β) avec α + β 0. On a alors AG = AB α + β β Par la proposition 1, on a alors que p(a)p(g) = p(a)p(b) p(g) barycentre de (p(a),α), (p(b),β) α + β Pour le cas général on utilise ce résultat et l associativité du barycentre. Proposition 2 : Soit une droite de. Alors p( ) = D si D D sinon Démonstration : Si D c est évident. Supposons maintenant que / D. Par définition de p on a l inclusion p( ) D. Reste à prouver l inclusion réciproque. Soit N D, N est l image du point M, intersection de et de la perpendiculaire à D passant par N, ainsi N=p(M) et donc D p( ). Au final, dans ce cas là, on a bien p( ) = D 2. Projection vectorielle associée à p : Cette partie à entre autre pour but de montrer que l application p est affine, c est-à-dire on doit montrer l existence d une application π linéaire de telle que (A,B) ², π ( AB) = p(a)p(b) On considère toujours la projection orthogonale p sur une droite D donnée du plan. 2.1 Définition : Définition 2 : On appelle projection vectorielle associée à p l application π : AB ï p(a)p(b) Il faut voir que cette définition est bien donnée, i.e. que l image de ABne dépend que du vecteur AB et non du choix du bipoints (A,B) représentant de ce vecteur. Il faut voir que si AB= A B alors p(a)p(b)= p(a )p(b ) ABB A est un parallélogramme, soit I le milieu de [AB ] alors I est aussi le milieu de [A B]. AB =2 AI p(a)p(b )= 2 p(a)p(i) (par proposition 1) p(i) milieu de [p(a)p(b )] p(a)p(i) = p(i)p(b ) De même p(i) milieu de [p(a )p(b)] p(a )p(i)= p(i) p(b) p(a)p(i) = p(a)p(b) + p(b)p(i)= p(i)p(b ) = p(i)p(a ) + p(a )p(b ) p(a)p(b) = p(a )p(b ) 2.2 propriétés : Propriété 2 : π est linéaire et π o π = π Démonstration : Le fait que π o π = π provient du fait que p o p = p. Montrons la linéarité : Posons u = AB, C tel que v = BC. π ( u + v ) = π ( AB + BC ) = π ( AC) = p(a)p(c) = p(a)p(b)+ p(b)p(c) = π ( AB) + π ( BC ) = π ( u ) + π ( v ) k u est colinéaire à u donc C tel que AC = k AB et par la proposition 1, p(a)p(c)= k p(a)p(b) soit π ( AC) = k π ( AB) π (k u ) = k π ( u ). π est donc linéaire. Hannon.J - 2 -

3 On en déduit alors que la projection orthogonale p sur une droite d donnée est une application affine. Donc on a conservation des barycentres, l image d une droite est une droite ou un point, l image d un segment est un segment ou un point. Propriété 3 : Ker(π) = D et Im(π ) = D Démonstration : Ker(π ) = { u / π ( u ) = 0 }. Or si par exemple u = AB, π ( u ) = 0 p(a)p(b) = 0 p(a) = p(b) (AB) D Ker(π ) = D (dit autrement, c est toutes les droites du plan orthogonales à D). Par définition de p (donc de π ) on a que Im(π ) = D. Si u = AB, p(a) D, p(b) D et donc p(a)p(b)= π ( u ) est un vecteur directeur de D. Proposition 3 : Soit D une droite du plan. Tout vecteur u se décompose de manière unique sous la forme : u = u 1 + u 2 où u 1 D et u 2 D Démonstration : Existence : On pose u 1 = π ( u ) et donc u 1 Im(π ) et on pose alors u 2 = u - u 1 u 2 Ker(π ) car π ( u 2 ) = π ( u - u 1 ) = π ( u ) - π ( u 1 ) (linéarité de π ) = π ( u ) - π (π ( u )) = π ( u ) - π ( u ) (car π est involutive ) = 0 Unicité : Si on suppose 2 décompositions de u : u = u 1 + u 2 = u 1 + u 2 avec u 1, u 1 Im(π ) et u 2, u 2 Ker(π ). π ( u 1 + u 2 ) = π ( u 1 ) + π ( u 2 ) = π ( u 1 ) car π ( u 2 ) = 0 puisque u 2 Ker(π) = D De même π ( u 1 + u 2 ) = π ( u 1 ) et par suite π () = π ( u 1 ) soit u 1 = u 1 puisque u 1, u 1 Im(π ) = D Par suite, puisque u 1 + u 2 = u 1 + u 2 on trouve u 2 = u 2 d où l unicité. 3. Applications : 3.1 Calculs de distances : Théorème 1 : Soit D une droite de et M. Soit H le point défini par H = p(m) où p est la projection orthogonale sur la droite D. On a alors le résultat suivant : P D, P H, MH < MP. Démonstration : On utilise le théorème de Pythagore, le triangle MHP est rectangle en H, donc MP² - MH² = Phé > 0 car H P 0 < MH² < MP² MH < MP. Définition 3 : On définit alors la distance entre le point M et la droite D comme étant d(m, D) = inf d(m, P) = min d(m, P) = MH où H = p(m) P D P D définition l inf est ici un min justifié par le théorème (il est atteint) précédent Application 1 : Déterminer la distance d un cercle à une droite On considère le cercle de centre O et de rayon r =C=C(O,r) Si C(O,r) D alors d(c,d) = 0 Si C(O,r) D) =. Soit H = p(o) et H = (OH) C(O,r). On définit D la droite parallèle à D et passant par H. On a alors que D est la tangente au cercle C et passant par H. D // D donc d(d,d ) = d(h,d) = HH. Ainsi d(c,d) = d(c,d ) + d(d,d) = d(d,d ) = HH car d(c,d ) = 0 puisque C D = {H } donc est non vide. Hannon.J - 3 -

4 Application 2 : Calculer d(m, D) dans le cas où D : ax + by + c = 0 avec (a, b) (0, 0) et M(x 0, y 0 ). On sait que n (a, b) est un vecteur normal à D. d(m, D) = MH par définition où H est le projeté orthogonal de M dur D Or MH. n = ± MH n MH = MH. n n Ainsi d(m, D) = MH. n n. Analytiquement d(m, D) = a (x H - x 0 ) + b (y H y 0 ) = a x H + b y H a x 0 b y 0 Et comme H D, a x H + b y H + c = 0 d(m, D) = -c a x 0 b y 0 Conclusion : d(m, D) = a x 0 + b y 0 + c 3.2 Optimisation : Application 3 : Soient A et B deux points distincts du plan et soit d une droite du plan. Trouver le(s) point(s) M de D tel(s) que MA² + MB² soit minimal. C est l une des 3 parties du théorème de la médiane. Soit I milieu de [AB], alors : MA² + MB² = ( MI + IA )² + ( MI + IB )² = 2 MI² + IA² + IB² + 2 MI. ( IA + IB ) = 2 MI² + AB² 2 Ainsi minimiser MA² + MB² revient à minimiser MI² et donc MA² + MB² est minimal lorsque M = p(i) où I est le milieu de [AB] et p la projection orthogonale sur D. Application 4 : On considère 3 points A, B et C du plan tels que ABC est un triangle non aplati et α, β, γ 3 réels tels que α + β + γ 0. Soit D une droite du plan. Trouver M D tel que α MA² + β MB² + γ MC² soit minimal. Soit G barycentre de (A,α) (B,β) (C,γ). G est bien défini car α + β + γ 0. α MA² + β MB² + γ MC² = α ( MG+ GA)² + β ( MG+ GB)² + γ ( MG+ GC)² = (α + β + γ) MG² + 2 MG (αga + β GB + γ GC) + α GA² + β GB² + γ GC² = (α + β + γ) MG² + α GA² + β GB² + γ GC². Ainsi α MA² + β MB² + γ MC² est minimal lorsque (α + β + γ) MG² est minimal soit lorsque MG² est minimal soit lorsque MG est minimal (puisque MG est positif). Ainsi il faut prendre M = p(g) où p est la projection orthogonale sur D pour avoir α MA² + β MB² + γ MC² minimal. Application 5 : On considère un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de centre O (centre du rectangle) et de rayon R. Montrer que l aire A ABCD est maximale lorsque ABCD est un carré. On considère le point H obtenu par projection orthogonale de A sur la droite (BD). On a A ABCD = 2 A ABD = 2 BD AH = 2 2R AH = 4R AH. Hannon.J - 4 -

5 Considérons θ l angle a AOH Or sin θ = AH AO = AH R AH = R sin θ. On a donc que A ABCD = 4R² sin θ. L aire est maximale lorsque sin θ est maximal soit lorsque sin θ = 1 soit lorsque θ = π (H = O) 2 Conclusion : l aire est maximale lorsque ABCD est un carré. Application 6 : En évaluant de 2 façons CA. BD, montrer que HK = a² - b² HKest le projeté orthogonale de BDsur (AC). Ainsi CA. BD= CA. ( BH+ HK+ KD) = D autre part, CA. BD = CA. ( BA+ AD) = CA. BA+ CA. AD = AB. AB- AD. Ainsi HK = a² - b² d où le résultat. CA. HK = HK. AD = AB² - AD² = a² - b² 3.3 Calcul d angle : cosinus de deux vecteurs : Théorème 2 : i) On munit d un repère orthonormé direct (O, existe un unique vecteur wunitaire tel que ( u, v ) = ( i, w). i, j ). Soient u et v deux vecteurs non nuls, alors il ii) Si p est la projection orthogonale sur (Ox) et π sa projection vectorielle associée, il existe un unique k Y tel que π ( w) = k i Démonstration : L existence et l unicité de w provient de la proposition 3. On peut écrire w = w + w avec w colinéaire à i et w colinéaire à. Donc π ( w) = w donc π ( w) est colinéaire à i et donc il existe k Y tel que π ( w) = k Remarque : Il y a unicité de la décomposition w = w + w donc le vecteur w est unique donc le k est unique. Définition 4 : Le nombre k définit ci-dessus ne dépend que des vecteurs u et v et est appelé cosinus de l angle ( u, v ). i. Proposition 4 : Soit D une demi-droite d origine O, α = ([Ox),D) l angle entre la demi-droite [Ox) et la demi droite D. Soit p la projection orthogonale sur (Ox). Alors M D et H = p(m) on a OH = cos α OM Hannon.J - 5 -

6 Démonstration : Prenons W (OM) tel que OW = 1. On note w = p(w). Par le théorème de Thalès, on a : OM OW = OH Ow OH = cos α OM. Comme OW = 1 et Ow = cos α (d après théorème 2) on trouve : Hannon.J - 6 -