TRIGONOMÉTRIE. Version Lang Fred

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1 TRIGONOMÉTRIE Version 03 Lang Fred

2 Définition des fonctions trigonométriques. Le cercle trigonométrique Figure : Le cercle trigonométrique: on peut voir OP comme l aiguille d une montre. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon. Voir figure (. Un angle α, < α < est représenté par un point P du cercle, mais un point du cercle représente une infinité d angles possibles, ils sont tous égaux modulo 360 ou modulo π. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d une montre. Le cercle est divisé en quatre quadrants: I, II, III, IV. La projection de P sur l axe horizontal donne le cosinus de l angle, noté cos(α, celui-ci varie entre et +. La projection de P sur l axe vertical donne le sinus de l angle, noté sin(α, celui-ci varie entre et +. La projection de P sur la tangente verticale au cercle donne la tangente de l angle, noté tan(α, celle-ci varie entre et +. La projection de P sur la tangente horizontale au cercle donne la cotangente de l angle, noté cot(α, celle-ci varie entre et +.

3 . Valeurs particulières La figure ( permet d obtenir les valeurs particulières des angles figurant dans le tableau (. Figure : Un triangle équilatéral et un triangle isocèle..3 Signes des fonctions trigonométriques Le tableau ( donne le signe des fonctions trigonométriques..4 La fonction cosinus Cette fonction est toujours définie. Elle est périodique de période π. Elle prend des valeurs entre et. Elle est nulle si l angle vaut π/ + k π. Elle est positive dans les quadrants I et IV. C est une fonction paire car cos( x cos(x La droite x = π est un axe de symétrie du graphe de la fonction, car cos(π x cos(π + x Le point (π/; 0 est un centre de symétrie du graphe de la fonction, car cos(π/ x cos(π/ + x 3

4 Angle cosinus sinus tangente cotangente π/6 π/4 3/ / / 3 3 / / π/3 / 3/ 3 / 3 π/ 0 0 π/3 / 3π/4 / 3/ 3 / 3 / 5π/6 3/ / / 3 3 π 0 0 7π/6 3/ / / 3 3 5π/4 / / 4π/3 / 3/ 3 / 3 3π/ 0 0 5π/3 / 3/ 3 / 3 7π/4 π/6 / / 3/ / / 3 3 π 0 0 Table : Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles simples. Quadrant cosinus sinus tangente cotangente Ox+ 0 0 I Oy+ 0 0 II + Ox 0 0 III + + Oy 0 0 IV + Table : Signes des fonctions trigonométriques 4

5 cos x 4Π 3Π Π Π 0 Π Π 3Π 4Π x - Figure 3: Le cosinus: domaine de définition et ensemble image..5 La fonction sinus Cette fonction est toujours définie. Elle est périodique de période π. Elle prend des valeurs entre et. Elle est nulle si l angle vaut 0 + k π. Elle est positive dans les quadrants I et II. C est une fonction impaire car sin( x sin(x La droite x = π/ est un axe de symétrie du graphe de la fonction, car sin(π/ x sin(π/ + x Le point (π; 0 est un centre de symétrie du graphe de la fonction, car sin(π x sin(π + x sin x 4Π 3Π Π Π 0 Π Π 3Π 4Π x - Figure 4: Le sinus: domaine de définition et ensemble image. 5

6 .6 La fonction tangente Cette fonction est définie pour des angles différents de π/ + k π. Elle est périodique de période π. Elle prend des valeurs entre et +. Elle est nulle si l angle vaut 0 + k π. Elle est positive dans les quadrants I et III. C est une fonction impaire car tan( x tan(x tan x Π Π 0 Π Π x - Figure 5: La tangente: domaine de définition et ensemble image..7 La fonction cotangente Cette fonction est définie pour des angles différents de 0 + k π. Elle est périodique de période π. Elle prend des valeurs entre et +. Elle est nulle si l angle vaut π/ + k π. Elle est positive dans les quadrants I et III. C est une fonction impaire car cot( x cot(x.8 La fonction arccosinus Sur le cercle trigonométrique, deux angles opposés donnent le même cosinus. Pour un cosinus donné, on choisit l angle entre 0 et π, on l appelle arccosinus et on le note arccos(x. Voir figure (7. Cette fonction n est définie que pour des valeurs entre et. Elle prend des valeurs entre 0 et π. Elle est nulle pour la valeur. Elle est toujours positive. 6

7 cot x Π Π 0 Π Π x - Figure 6: La cotangente: domaine de définition et ensemble image. y Π Π Π Π x Figure 7: Fonctions cosinus et arccosinus.9 La fonction arcsinus Sur le cercle trigonométrique, deux angles supplémentaires donnent le même sinus. Pour un sinus donné, on choisit l angle entre π/ et π/, on l appelle arcsinus et on le note arcsin(x.voir figure (8. Cette fonction n est définie que pour des valeurs entre et. Elle prend des valeurs entre π/ et π/. Elle est nulle pour la valeur 0. C est une fonction impaire car arcsin( x arcsin(x.0 La fonction arctangente Sur le cercle trigonométrique, deux angles différants de π donnent la même tangente. Pour une tangente donnée, on choisit l angle entre π/ et π/, on l appelle arctangente et on le note arctan(x.voir figure (9. 7

8 Π y Π Π x Π Figure 8: Fonctions sinus et arcsinus, la droite y = x est une tangente commune à l origine. Cette fonction est toujours définie. Elle prend des valeurs strictement entre π/ et π/. Elle est nulle pour la valeur 0. C est une fonction impaire car arctan( x arctan(x y Π Π 4 Π Π 4 Π 4 Π x Π 4 Π Figure 9: Fonctions tangente et arctangente. Le cadre extérieur est formé des asymptotes! Verticales pour la fonction tangente et horizontales pour arctangente. La droite y = x est une tangente commune à l origine. 8

9 Figure 0: Ensembles images des trois fonctions trigonométriques inverses. Formules de base. Angles opposés, supplémentaires et complémentaires Le tableau (3 résume les propriétés que l on peut obtenir de la figure (. propriétés cosinus sinus tangente périodes cos(α + π = cos(α sin(α + π = sin(α tan(α + π = tan(α opposés cos( α = cos(α sin( α = sin(α tan( α = tan(α supplémentaires cos(π α = cos(α sin(π α = sin(α tan(π α = tan(α complémentaires cos(π/ α = sin(α sin(π/ α = cos(α tan(π/ α = cot(α déphasages sin(α = cos(α π/ cos(α = sin(α + π/ tan(α π/ = cot(α demi-tour cos(α + π = cos(α sin(α + π = sin(α tan(α + π = tan(α Table 3: Angles complémentaires, supplémentaires, opposés, déphasés Ces formules traduisent les nombreuses propriétés visibles sur les graphes de ces fonctions.. Pythagore, tangente, angles doubles Les formules ci-dessous sont indispensables pour être un minimum à l aise en trigonométrie. 9

10 Figure : L angle β = π/ α est le complémentaire, l angle γ = π α est le supplémentaire et l angle δ = α est l opposé de α. cos (α + sin (α ( De ces deux formules, on déduit tan(α sin(α cos(α cot(α ( cos (α + tan (α (3 cos(α + β cos(α cos(β sin(α sin(β (4 De laquelle on déduit cos(α β cos(α cos(β + sin(α sin(β (5 et cos(α cos (α sin (α cos (α sin (α (6 sin(α + β sin(α cos(β + cos(α sin(β (7 De laquelle on déduit sin(α β sin(α cos(β cos(α sin(β (8 et 0

11 sin(α sin(α cos(α (9.3 Formules de conversions Figure : Expression du sinus et du cosinus à l aide de la tangente, t = tan(α. Comme on peut le voir sur la figure (: cos(α = + tan (α sin(α = tan(α + tan (α.4 Formule amplitude-déphasage.4. Introduction Une oscillation harmonique (une onde sonore, lumineuse, électromagnétique,... donnée sous la forme cosinus-sinus, c est-à-dire sous la forme d une somme d un cosinus et d un sinus de même pulsation ω : f(t = M + a cos(ωt + b sin(ωt peut s exprimer comme une seule oscillation harmonique sous forme amplitude-déphasage a cos(ωt + b sin(ωt = A cos(ωt ϕ (0.4. Terminologie Dans la figure (3: M = 5 = Valeur moyenne A = = Amplitude, A > 0

12 t Figure 3: Graphe de y = 5 + sin(3t + π/6 ϕ = π/6 = phase initiale, déphasage, π < ϕ π [rad] ω = 3 = pulsation = fréquence circulaire, ω > 0 [rad/s] ωt = angle [rad] ωt ϕ = phase, angle [rad] T = π/ω = période [s], f(t + T = f(t, pour tous les t f = /T = ω/π = fréquence [Hz] Exemple Sur la figure (4, on peut voir la superposition d un cosinus et d un sinus de mêmes pulsations, mais d amplitudes différentes Π Π Π Π x y Figure 4: La somme de 3 cos(x et 4 sin(x donne 5 cos(x ϕ, où ϕ 0, 97 rad 53, Formule de passage aller Le passage de la forme cosinus-sinus à la forme amplitude-déphasage repose sur l identité trigonométrique : cos(α β = cos(α cos(β + sin(α sin(β

13 .4.4 Formule de passage retour Comme a cos(ωt + b sin(ωt = A cos(ωt ϕ = A cos(ϕ cos(ωt + A sin(ϕ sin(ωt Il s agit de résoudre le système a = A cos(ϕ b = A sin(ϕ L amplitude est égale à et le déphasage est donné par: A = a + b ( cos(ϕ = a A, Le signe du sinus est celui de b, donc de b: A ( a + arccos A ϕ = ( a arccos A si b < 0 si b 0 ( Exemple Pour l oscillation on a ω = 5, a = 3 et b =. Ainsi A = a + b = 3 cos(5t + sin(5t ( 3 + ( = + 4 = 6 = 4 alors que le déphasage est (b = 0 : ( ( a ϕ = arccos = arccos A ( 3 3 = arccos = π 4 6. Au final 3 cos(5t + sin(5t = 4 cos(5t π 6. 3

14 Exemple Pour l oscillation on a ω = 5, a = et b = 3. Ainsi A = cos(5t 3 sin(5t. + ( 3 = 4 et ϕ = arccos ( = arccos 4 ( = π 3 et cos(5t 3 sin(5t = 4 cos(5t + π Autres formes Les formules ( sin(α = cos α π ( cos(α = sin α + π permettent de passer aisément de la forme A cos(ωt ϕ aux autres formes et réciproquement: cos(ωt ϕ = cos(ωt + ( ϕ = sin (ωt + ( π ϕ = sin (ωt (ϕ π Rappelons aussi les formules bien pratiques sin(ωt + ϕ = cos (ωt + ( π + ϕ sin(ωt ϕ = cos (ωt + ( π ϕ cos(ωt ϕ = cos(ωt + ( ϕ sin(α = sin(α + π cos(α = cos(α + π Attention! Le déphasage obtenu par cette méthode n est pas toujours compris entre π et π et doit parfois être corrigé (en lui ajoutant ou en lui soustrayant π..5 Mise en garde Les fonctions cos et arccos ne sont pas toujours inverses l une de l autre. De même pour sin et arcsin, tan et arctan. On méditera avantageusement sur les graphiques des figures (5. 4

15 y y x x Figure 5: Graphes de y = cos(arccos(x et de y = arccos(cos(x 3 Equations et inéquations trigonométriques 3. Egalités de sinus, de cosinus, de tangentes ou de cotangentes sin(α = sin(β α = β + k π ou α = π β + k π, k Z cos(α = cos(β α = β + k π ou α = β + k π, k Z tan(α = tan(β cot(α = cot(β α = β + k π, k Z 3. Exemple sin(α Sur la figure (6a, on voit que les angles, solutions de l inéquation, sont sur un arc entre 5π 6 et π 6. Cet arc se décrit par 5π 6 α π 3π + π = 6 6 La figure (6b, nous montre que, sur la droite réelle, il y a une infinité d arcs solutions, paramétrés par un entier k. Ainsi sin(α 5π 3π + k π α k π 3.3 Exemple sin(3x π 3 Posons On retrouve l inéquation précédente. α = 3x π 3 sin(3x π 3 5π 6 + k π 3x π 3 3π 6 + k π 5π 6 + π 3π + k π 3x π 7π + k π k π 3 x 5π 8 + k π 3 5

16 sin x 4Π 3Π Π Π 0 Π Π 3Π 4Π x - Figure 6: L inéquation sin(α / admet pour solutions un arc de cercle sur le cercle trigonométrique et une infinité de segments sur la droite réelle. Comme on peut le voir sur la figure (7, le nombre d arcs est triple. Cela correspond aux trois valeurs 0,, de k: k=0 Arc AB k= Arc CD k= Arc EF 7π 8 x 5π 8 9π 8 x 7π 8 3π 8 x 39π 8 6

17 Figure 7: Trois arcs de cercle. 3.4 Exemple sin(3x π 3 = cos(x On va transformer le cosinus en sinus: sin(3x π 3 = cos(x sin(3x π 3 = sin(π x Rappelons que deux sinus sont égaux si les angles sont égaux ou supplémentaires: sin(α = sin(β α = β + k π ou α = π β + k π On obtient donc, pour notre équation,. 3x π 3 = π x + k π 5x = 5π 6 + k π x = π 6 + k π 5 Donc 5 solutions sur le cercle.. 3x π 3 = π ( π x + k π x = 5π 6 + k π Et une solution supplémentaire sur le cercle. 3.5 Equation linéaire: a cos(x + b sin(x = c Le plus simple est d utiliser la formule Amplitude déphasage et de se ramener à l équation A cos(x ϕ = c 7

18 4 Exercices Exercice Simplifier les expresssions ( 3π. cos + x (. sin x 3π ( 7π 3. tan x 4. sin(x + 00π Exercice Etablir les identités sin(θ + cos(θ cos(θ + tan(θ cos (θ + tan (θ cot(θ tan(θ cot(θ cos(θ + + cos(θ sin (θ cos(θ sin(θ cos(θ + tan(θ 6. sin 4 (θ cos 4 (θ sin (θ cos (θ 7. sin(θ cos(θ sin(θ + cot(θ 8. cos 3 (θ sin 3 (θ cos(θ sin(θ + sin(θ cos(θ Exercice 3 Etablir les identités:. cos(x + y + cos(x y cos(x cos(y. cos(x + y cos(x y cos (x sin (y 3. cos(x cos(y tan(x + tan(y sin(x + y Exercice 4 Mettre sous la forme A cos(x ϕ les expressions suivantes: 8

19 cos(x + 3 sin(x cos(x + 3 sin(x cos(x 3 sin(x cos(x 3 sin(x Exercice 5 Pour chaque cas, représenter les trois fonctions données sur un même graphique : a y = sin t, y = sin t et y = sin t b y = cos t, y = cos( t et y = cos(t c y = sin t, y = sin ( t + π 6 et y = sin ( t π 6 Exercice 6 Donner les deux oscillations harmoniques de la figure (8 sous forme amplitude-déphasage Π 4Π 3Π Π Π -0.5 Π Π 3Π 4Π 5Π 6Π t Figure 8: Superpositions d oscillations. Exercice 7 Donner les oscillations harmoniques sous forme amplitude-déphasage. a 7 cos ( π 4 t b sin ( 4t π 4 c cos ( 3t + π 4 d 3 sin ( t π 4 Exercice 8 Écrire les fonctions suivantes sous la forme cosinus-sinus. a 6 sin ( t + π 3 b 4 cos ( t + π 4 c cos ( t π 3 d sin ( t + 3π 4 Exercice 9 Écrire les oscillations harmoniques suivantes sous forme amplitude-déphasage. 9

20 a 3 cos(5t sin(5t b 3 cos(5t + 3 sin(5t c 5 sin t + cos t d cos(πt + sin(πt Exercice 0 Le mouvement y(t et la vitesse v(t d une masse oscillante sont donnés par les formules: où ω > 0 est la pulsation. y = y 0 cos(ω t + v 0 ω sin(ω t v = v 0 cos(ω t ω y 0 sin(ω t. Remplacer t par 0 et donner une interprétation des constantes y 0 et v 0.. Mettre les formules sous la forme amplitude-déphasage A cos(ω t φ. 3. A quels moments la position est-elle nulle? A quels moments la vitesse est-elle nulle? Exercice La pression p (t exercée sur le tympan par la frappe sur un premier diapason est donnée par la formule p (t = A sin(ω t où A > 0 et ω > 0 sont des constantes. Si l on frappe sur un deuxième diapason, situé à une distance différente, sa pression est donnée par p (t = B sin(ω t + τ où B > 0 et 0 τ π sont des constantes. La pression totale p(t est alors la somme des pressions. Mettre la pression totale sous la forme. Mettre la pression totale sous la forme 3. Supposons que A B L interférence est destructive si C A. p(t = A sin(ω t + B sin(ω t + τ p(t = a cos(ω t + b sin(ω t p(t = C cos(ω t ϕ Déterminer les valeurs de τ pour lesquelles cette inégalité est vérifiée. Examiner le cas particulier A = B. 4. L interférence est destructive totale si C = 0. Déterminer les valeurs de τ pour lesquelles cette égalité est vérifiée. Examiner le cas particulier A = B. 0

21 Exercice La vibration y d une corde de violon de longueur L est donnée en fonction du temps t et du lieu x par la formule ( π n ( k π n y = sin L x sin L t où n est un entier et k une constante. Exprimer y en tant que somme de deux fonctions sinus. Exercice 3 La pression p(t exercée sur le tympan par la frappe simultanée de deux diapasons, avec la même force, et situé à la même distance du tympan, est donnée par où a, ω, ω sont constants. p(t = a sin(ω t + a sin(ω t Si ω ω, le son alterne entre sonorité et silence virtuel. Ce phénomène est appelé battement. Voir les figures (9. Utiliser une formule pour exprimer p(t sous forme de produit. Montrer que p(t peut être considérée comme une cosinusoïde de période approximative π/ω où ω = ω + ω et d amplitude variable ( A(t = a cos (ω ω t y y Π Π Π Π t t - - Figure 9: Battements: p(t = cos(4, 5 t + sin(3, 5 t et p(t = cos(4 t + sin(3, 9 t. Exercice 4 Résoudre les équations trigonométriques, donner, en radians et en degrés, toutes les valeurs et celles sur le cercle trigonométrique:. sin(x sin(x cos(x = 0

22 tan (x + cos (x = tan(x + cos(x = 0 sin(x + cos(x = cos(x + 3 sin(x = cos(x + cos(x = 7. + sin(3x cos (3x = 3 8. ( sin 3x π 3

23 5 Corrigés Solution Simplifier les expresssions. sin(x. cos(x 3. cot(x 4. sin(x Solution. On décompose la fraction en deux termes.. On exprime la tangente en fonction du cosinus et du sinus et on somme les fractions. 3. On exprime la cotangente en fonction de la tangente et on simplifie la fraction. 4. On somme les fractions et on applique Pythagore. 5. On exprime la tangente en fonction du cosinus et du sinus, on somme les fractions, on fait le produit croisé et on applique Pythagore. 6. Le produit remarquable permet de simplifier l expression de gauche, on applique Pythagore. 7. On exprime la cotangente en fonction du cosinus et du sinus, on somme les fractions, on fait le produit croisé et on applique Pythagore. 8. Le produit remarquable permet de simplifier l expression de gauche,, on simplifier l équation et on applique Pythagore. Solution 3 Etablir les identités:. On applique les formules du cosinus d une somme et on simplifie.. On applique les formules du cosinus d une somme, le produit remarquable permet de simplifier l expression, Pythagore fait le reste. 3. On exprime la tangente en fonction du cosinus et du sinus, on simplifie la fraction de gauche, on utilise la formule du sinus d une somme et on fait le produit croisé. Solution 4 Les amplitudes sont toutes égales à Les déphasages sont A = 3 ϕ = + arccos(+ 3 ϕ = + arccos( 3 ϕ = arccos( 3 ϕ = arccos(+ 3 3

24 Solution 5 a y = sin t, y = sin t et y = sin t Π Π Π Π 3Π 4Π t - - Figure 0: Superpositions d oscillations. b y = cos t, y = cos( t et y = cos(t 0.5 Π Π Π Π 3Π 4Π t Figure : Superpositions d oscillations. c y = sin t, y = sin ( t + π ( 6 et y = sin t π 6 4

25 Π Π Π Π 3Π 4Π t Figure : Superpositions d oscillations. Solution 6 Solution 7 a 7 cos ( π 4 t + π b cos ( 4t + π 4 f(t = 3 cos ( 3 t π 6 g(t = 3 cos (t + π 4 c cos ( 3t π 4 d 3 cos ( t + 3π 4 Solution 8 a 3 sin(t 3 3 cos(t b cos(t sin(t c cos(t + 3 sin(t d cos(t sin(t Solution 9 a cos ( 5t + 5π 6 b 3 cos ( 5t π 4 c 9 cos (t +.9 d 5 cos (πt. Solution 0 y 0 et v 0 sont la position et la vitesse initiale. a avec y = y 0 cos(ω t + v 0 ω Le déphasage dépend du signe de v 0 : v 0 0 : A = sin(ω t = A cos(ω t φ y 0 + v 0 ω φ = + arccos ( y0 A 5

26 v 0 < 0 : φ = arccos ( y0 A b avec v = v 0 cos(ω t ω y 0 sin(ω t = A cos(ω t + φ A = ω y 0 + v 0 Le déphasage dépend du signe de y 0 : y 0 > 0 : y 0 0 : φ = arccos φ = + arccos ( v0 A ( v0 A 3 La formule est la même dans les deux cas, mais il faut introduire le déphasage φ correspondant. y = 0 A cos(ω t φ = 0 ω t φ = π + k π t = φ π + k π ω Solution. p(t = A sin(ω t + B sin(ω t + τ = A sin(ω t + B sin(ω t cos(τ + B cos(ω sin(τ =. donc et et B sin(τ cos(ω t + (A + B cos(τ sin(ω t a = B sin(τ b = A + B cos(τ C = a + b = A + B + A B cos(τ ( B sin(τ + arccos si A + B cos(τ 0 C ϕ = ( B sin(τ arccos si A + B cos(τ < 0 C 3. Supposons que A B C A C A A + B + A B cos(τ A cos(τ B A car les A, B, C sont positifs. Le membre de droite est compris entre et 0, car A B. Un dessin montre que l arc formé des solutions est donnée par 6

27 ( arccos B ( τ π arccos B A A Si A = B, on obtient ( arccos ( τ π arccos 4. ou π 3 τ 4π 3 C = 0 C = 0 A + B + A B cos(τ = 0 cos(τ = A + B Cette dernière équation admet des solutions si A + B AB A + B AB (A B 0 Ce qui n est possible que si A = B et alors τ = π. AB Solution Posons La formule α = π n L x et β = k π n L t sin(α sin(β = [cos(α β cos(α + β] = [sin(α β + π + sin(α + β + 3π ] permet de résoudre le problème. Solution 3 ( ω + ω p(t = a( sin(ω t + sin(ω t = a sin ( ω ω p(t = a cos ( ω ω t cos t sin (ω t = A(t sin (ω t t Solution 4. sin(x sin(x cos(x = 0 admet les solutions { 0, π 3, π, 5π 3 } + k π. admet les solutions tan (x + cos (x = { π 6, 5π 6, 7π 6, π } { π + k π = 6 6, 5π 6 } + k π 7

28 3. n a pas de solutions. tan(x + cos(x = 0 4. sin(x + cos(x = ( cos x π ( = cos x π = 4 4 x π 4 = ± π { 4 + k π x 0, π } + k π 5. cos(x + ( 3 sin(x = cos x π 3 ( = cos x π 3 = x π 3 = ± π 3 + k π x { 0, 4π 3 } + k π admet les solutions admet les solutions ou cos(x + cos(x = { π, π 3, 3π, 4π 3 x = 3 arcsin ( + sin(3x cos (3x } + k π = 3 ± 3 + k π 6 3 ( π 3 3 arcsin ± 3 + k π 6 3 Soit solutions sur le cercle. 8. ( sin 3x π 3 Posons ( s = sin 3x π 3 L inéquation devient (a s s ou s 5π 4 + k π 3x π 3 7π 9π 5π + k π + k π 3x 4 + k π 9π 36 + k π 3 x 5π 36 + k π 3 Ce qui donne trois arcs sur le cercle. 8

29 (b π 4 + k π 3x π 3 3π 7π 3π + k π + k π 3x 4 + k π 7π 36 + k π 3 x 3π 36 + k π 3 Ce qui donne trois arcs de plus sur le cercle. 6 Révisions Problème Donner la valeur exacte en radians de chacun des angles suivants : a 0 c 7 e 00 g 450 b 0 d 5 f 5 Problème Donner la valeur exacte en degrés de chacun des angles suivants : a 7π c 5π e 7π 4 6 h 468 g 5π b π d π f π h 73π Problème 3 Donner la valeur exacte du cosinus, du sinus et de la tangente des angles suivants : a 3π b 5π c π 4 6 d 7π e 8π 3 Problème 4 Simplifier (récrire à l aide d une fonction trigonométrique d argument de base α a cos(α + π e cos(α + π/ i cos(3π/ α b sin(α + π c tan(α + π f sin(α + π/ g tan(α + π/ j sin( α 5π/ k tan(4π α d cot(α + π h cot(α + π/ Problème 5 Donner toutes les solutions des équations suivantes : l cot(α π a cos(x = cos( π 7 b sin(x = sin( π 7 c tan(x = tan( π 7 Problème 6 Donner toutes les solutions des équations suivantes : a cos( t 4 = b cos( t 5 = c cos( t 4 + cos( t 5 = Problème 7 Donner toutes les solutions des équations et des systèmes d équations suivants : a sin(α = b sin(α = c sin(α = et cos(α < 0 et cos(α < 0 et π < α π 9

30 Problème 8 Donner toutes les solutions des équations et des systèmes d équations suivants : a tan(θ = 3 b tan(θ = 3 et cos(θ < 0 c tan(θ = 3 et cos(θ < 0 et π < θ π Problème 9 a Utiliser la formule du cosinus de l angle double afin de donner les valeurs exactes de i cos( π 8 ii cos( π 6 iii cos( π 3 b Utiliser les identités pour la somme de deux angles afin de donner les valeurs exactes de i cos( 7π 7π 7π ii sin( iii tan( Problème 0 Donner les valeurs exactes des expressions suivantes : a arcsin( 3 b arccos( Problème Simplifier les expressions suivantes : a arcsin( x c arcsin( d arctan( 3 c arctan( x e arccos(0 f arcsin( e cos(arctan(x b arccos( x Problème Simplifier les expressions suivantes : a sin(arcsin( 3 d sin(arccos(x c arctan(tan(,5 f tan(arcsin(x e cos(arccos( 3 b arcsin(sin( d arccos(cos(6 f cot(arctan(0 Problème 3 Construire les fonctions arccos(x et arcsin(x au moyen de la fonction arctan(x. Problème 4 Représenter graphiquement les fonctions suivantes : a cos(arccos(x pour x b arccos(cos(x pour x R c arccos(sin(x pour 0 x π 30

31 7 Annexe: Théorèmes du sinus, du cosinus et de la somme des angles 7. Théorème du sinus Figure 3: Triangle ABC et cercle circonscrit de rayon R. Sur la figure (3 de gauche, l angle en C est aigu, AA est un diamètre du cercle et donc l angle en B est droit. Le théorème de l angle inscrit dit qu une corde (ici AB est vue d un point du cercle (ici C ou A d un même angle ou d un angle supplémentaire. Ainsi sin(γ = c R Par symétrie, le résultat est valable pour les deux autres angles α et β. Si l angle est obtus, la figure (3 de droite, nous donne sin(π γ = on retrouve le même résultat. On obtient ainsi le théorème du sinus: a sin(α = c = sin(π γ = sin(γ R b sin(β = c sin(γ = R Pour justifier la figure (3 de droite, on méditera sur la figure (4, l angle en A vaut donc α + β et comme la somme des angles du triangle ABC vaut π, on retrouve (π γ pour l angle en A. 7. Théorème du cosinus Sur la figure (5 de gauche (angle aigu en B, on applique le théorème de Pythagore a = h + (c p = b + c c p = b + c bc cos(α Dans le cas d un angle obtus en B, on a a = h +p = b (c+p +p = b c c p = b c c(b cos(α c = b +c bc cos(α 3

32 Figure 4: Triangle ABC et cercle circonscrit, angles au centre et angles inscrits. En permutant les angles, on obtient le théorème du cosinus a = b + c bc cos(α b = c + a ca cos(β c = a + b ab cos(γ Figure 5: Triangle ABC et hauteur AH. 3

33 7.3 Somme des angles Figure 6: Triangles rectangles OAB et OBC. Sur la figure (6, on obtient sin(α + β = CE OC = CD + DE OC Comme DE = AB, on obtient = CD OC + DE OC = CD CB OC CB + DE OB OC OB = CB CD OC CB + OB DE OC OB ou encore sin(α + β = sin(β cos(α + cos(β sin(α sin(α + β = sin(α cos(β + cos(α sin(β En changeant le signe de β, on a sin(α β = sin(α cos(β cos(α sin(β En passant à l angle complémentaire, on trouve la formule pour le cosinus: ( π ( π ( π ( π cos(α+β = sin (α + β = sin α β = sin α cos(β cos α sin(β = cos(α cos(β sin(α sin(β cos(α + β = cos(α cos(β sin(α sin(β Et, en changeant le signe de β, on a cos(α β = cos(α cos(β + sin(α sin(β En posant α = β, on trouve les formules de l angle double sin(α = sin(α cos(α cos(α = cos (α sin (α = cos (α = sin (α 33