3- Résolution d équations trigonométriques 3-1. Équation sinx = a
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- Arthur Marcil
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1 3- Résoltio d éqtios trigoométriqs 3- Éqtio si = Soit rél doé L éqtio si possèd : c soltio si [; ] ; iiité d soltio si [; ] Arcsi désig l iq soltio compris ds l itrvll L sml ds soltios sr IR st : ; + Arcsi k, k o Arc si k, k j A O i 3- Éqtio cos = Soit rél doé L éqtio cos possèd : c soltio si [; ] ; iiité d soltio si [; ] Arccos désig l iq soltio compris ds l itrvll ; L sml ds soltios sr IR st : Arccos k, k o Arccos k, k j A O i + Bss mthémtiqs por l tchici 5
2 - Résoltio d éqtio d scod dgré à coicits compls - Rcis crrés d omr compl Soit Z omr compl O ppll rcis crrés d Z tos ls omrs compls z tls q z Z Rmrq L écritr vc l smol d omr rél positi st torisé q por l rci crré positiv Empl L compl z 3i st l ds rcis crrés d compl Z 5 i - Éqtio d scod dgré à coicits compls L éqtio d scod dgré z z c où, t c sot ds omrs compls doés dmt tojors d soltios (évtllmt coods) ds : z t z où st rci crré (qlcoq) d discrimit 4c O doc : Rmrq Cs résltts géérlist ls ormls rltivs à l résoltio ds éqtios d scod dgré à coicits réls Ells s ppliqt doc ds tos ls cs, q l discrimit soit rél positi, l, rél égti o cor compl -3 Méthod d détrmitio ds rcis crrés d omr compl Soit omr compl Z i, O sohit détrmir tos ls omrs compls z i tls q z Z z Z s écrit : ( i) i i i z Z t z z, o otit l églité sivt : i 3 Ls rppls d cors
3 3- Éqtios crtésis ds l pl 3- Crctéristio d droit ds l pl Soit d droit, A poit d d t vctr orml à l droit d L droit d st l sml ds poits M d pl tls q : AM O l éqivlc sivt : M d AM d M AM A L droit d st l sml ds poits M d pl tls q ls vctrs t AM soit orthogo 3- Détrmitio d l éqtio d droit ds l pl Soit vctr d pl O rppll ls propriétés sivts : () Si l vctr st orml à droit d, lors d éqtio d l orm : c où c st rél () Réciproqmt, tot droit d t éqtio d l orm : c, vc ( ; ) (;), dmt l vctr comm vctr orml Démostrtio () Soit A ( ; A A) poit d d t M ( ; ) poit d pl, lors : M d AM ( ) ( ) ( ) O otit isi éqtio d tp : A c post c A ) A ( A Bss mthémtiqs por l tchici 39 A A
4 -3 Nottio diértill d l dérivé Por simpliir l ottio, l diértill d l octio poit d sciss st oté : d : h '( ) h Si o cosidèr l octio idtité :, s diértill st d : h h O otit doc rltio tr ls d diértills d t d : d '( ) d, soit cor : '( ) d d Ls diérts grdrs étdiés sot rportés sr l grphiq ci-dssos O rppll q l coicit dirctr d l tgt T à l cor C poit d sciss st égl à '( ) ( h) C M T ( ) h '( ) () A h (h) h '( ) d ( h) ( h) ( ), h( ) h j O i h Mthémtiqs 45
5 6- Foctios Arcsis, Arccosis t Arctgt 6- Foctio Arcsis L octio sis st coti t strictmt mooto sr ijctiv d ; ijctio d ; vrs ; Ell st vrs ; L octio réciproq, Arcsis, st ; [;], si( Arcsi ) t E tilist l théorèm d dérivtio : : ;, Arcsi si Arcsi ' cos Arcsi E t : cos ( Arc si ) si ( Arcsi ) vc si D où cos ( Arcsi ) t cos( Arcsi ) ( Arcsi ) Mthémtiqs 55
6 8-3 Tl ds dérivés rprést octio composé Pr mpl, ( ) l () '( ) ' l l ' ' ' ' ' si cos si ' cos cos si cos 'si t ' t t ' ( t ) cos cos Arcsi ' Arc si Arc cos ' Arc cos Arc t ' Arc t sh ch sh ' ch ch sh ch ' sh th th th ch ' ' ( th ) ch 6 Ls rppls d cors
7 5- Primitivs slls rprést octio composé Pr mpl, ( ) l U primitiv F U primitiv U l ' ' ' ' ' l si cos ' cos si cos si 'si cos t ' ( t ) t ' t cos cos ' Arcsi Arcsi ' Arc cos Arc cos ' Arc t Arc t ch ch sh ' ch sh sh ch ' sh ch th th ' ( th ) ' ch th 76 Ls rppls d cors
8 A Éqtios diértills - Déiitios - Éqtio diértill O ppll éqtio diértill, éqtio où itrvit octio t o plsirs d ss dérivés sccssivs d d (,, ', '') o,,, d d Résoltio d éqtio diértill Résodr éqtio diértill sr itrvll I, c st détrmir l sml ds octios dérivls sr I qi vériit ctt éqtio L résoltio d éqtios diértills st otil idispsl por l étd d l évoltio ds phéomès phsiqs géérl E t, ls éqtios trdist ls évoltios phsiqs sot très sovt ds éqtios diértills Empl E phsiq, ds circit RC, l tsio (t) ors d codstr st soltio d l éqtio diértill sivt : E ' où E st l tsio coti délivré pr l géértr t RC l costt d tmps d circit L soltio (t) st : ( t) E t E R C (t) Cor itégrl L rprésttio grphiq d ds soltios d éqtio diértill st pplé cor itégrl Mthémtiqs 79
9 9 Ls rppls d cors - Dérivés prtills scods Si o dériv octio pr rpport à l prmièr vril t si o dériv à ov l résltt pr rpport à l vril, o otit ovll octio pplé dérivé prtill scod (o dérivé prtill d ordr ), oté L théorèm d Schwrz précis q si l octio dmt ds dérivés prtills d ordr sivt ls vrils t lors : Rmrq L ordr ds lql o dériv ps d icidc sr l résltt Si o dériv d ois d sit sivt l vril, o ot ctt dérivé prtill scod : Empl Soit l octio déii sr IR pr : ), ( O otit ls dérivés prtills sivts : 3 6 ), ( t ), ( ), ( ), ( t ), ( ), ( O vérii i l églité sivt : ), ( ), ( O otit ls dérivés prtills sivts : 36 ), ( t 3 4 ), ( 3
10 - Orthogolité d d vctrs D vctrs t v d l spc sot orthogo si, t slmt si, lr prodit sclir st l : v v Rmrq L vctr l st orthogol à tot vctr d l spc -3 Éqtio d sphèr ds l spc Soit l sphèr d ctr A ( A; A; z A) t d ro r L sphèr st l sml ds poits M d l spc tls q : AM r M AM r AM r ( A) ( A) ( z z A) r L éqtio d l sphèr ds l spc l prssio sivt : 3- Prodit vctoril 3- Trièdr dirct ( A) ( A) ( z z A) r Soit, v t w trois vctrs d l spc, v, w st trièdr dirct si ls trois vctrs, v t w vériit ls d coditios sivts : (), v t w sot ps coplirs ; () L triplt v, w, vérii l règl ds 3 doigts d l mi droit : ds l dirctio d poc ; v v ds l dirctio d l id ; w ds l dirctio d mjr w w v Ls rppls d cors
11 4- Éqtio crtési d pl ds l spc 4- Crctéristio d pl ds l spc U vctr orml à pl P st vctr o l dot l dirctio st orthogol pl P P A B C M Soit A, B t C trois poits o ligés d l spc O ls propriétés sivts : () L pl ) ( ABC dmt l vctr AB AC comm vctr orml () L pl P qi pss pr A t d vctr orml st l sml ds poits M tls q : AM 4- Détrmitio d l éqtio d pl ds l spc Déiitios () Tot pl P d l spc dmt éqtio d tp : cz d où l mois ds réls, t c st o l t d st rél qlcoq D pls, l vctr o l ( ; ; c) st orml à P () Soit,, c t d ds réls tls q l mois ds réls, t c st ps l L sml ds poits M ( ; ; z) d l spc tls q cz d st pl P d vctr orml ( ; ; c) Mthémtiqs 3 5
12 5-5 Prodit d mtrics L prodit d mtrics st ssocié à l compositio ds domorphisms O cosidèr d domorphisms t g d spc vctoril E d s D ; ; 3; ; O ot A, B t C ls mtrics d, g t g pr rpport à l s D, t ij, ij t c ij ls coicits d cs mtrics L mtric C st égl prodit d l mtric B vc l mtric A : C B A vc : c c c j c c c c j c C ci ci cij c c c cj c O otit l coicit c ij post l clcl sivt : i C i i j j ij j i j j j j jj j j L coicit c ij sr l i èm lig t l j èm colo d C s otit dditiot ls prodits d à d ds coicits d l i èm lig d B vc èm c d l j colo d A ij i j i j ik kj c i j Rmrq L mltiplictio d mtrics cosist doc ps l mltiplictio ds coicits sités mêms positios ( c ij ij ij ) U coséqc importt st q ctt mltiplictio st ps commttiv : géérl, l prodit B A st ps égl prodit A B Mthémtiqs 3 9
13 D Ajstmt liéir - Présttio Por popltio sttistiq doé, o étdi simltémt d crctèrs sttistiqs diérts X t Y O it l hpothès q l crctèr Y dépd liéirmt d crctèr X Il s git d détrmir ls réls t tls q : Y X Vril idépdt t vril dépdt L ojcti d jstmt liéir st d proposr modèl prmttt d clclr l vlr d Y octio d X L vril X st l vril idépdt o plictiv, t l vril Y st l vril dépdt o à pliqr - Déiitios t jstmt liéir - Ng d poits ssocié à popltio Il s git d étdir d crctèrs X t Y chz ls idivids d popltio sttistiq O dispos, por chq idivid i, ds modlités i t i priss pr ls crctèrs X t Y O rprést ds rpèr ct idivid i pr l poit M i d coordoés i ; i Ng d poits O ppll g d poits l sml ds poits ots rpréstt tot l popltio Poit mo O ppll poit mo d g d poits l poit G d coordoés X ; Y où X t Y sot ls mos rithmétiqs ds séris sttistiqs X t Y - Pricip d l jstmt liéir Il s git d détrmir ls réls t tls q l distc mo tr ls poits d g t l droit D d éqtio soit miiml Por chq poit M i, d sciss i, o cosidèr l distc déii pr l écrt tr l poit théoriq, sité sr l droit, t l poit M i d g d poits Ctt distc s msr lgériqmt ist l diérc tr ls ordoés d cs d poits d scisss idtiqs Mthémtiqs 3 4
14 Ls rcics corrigés
15 Soltio Il s git d résodr l iéqtio sivt : O résot ctt iéqtio : l l() l 77 l() O choisit 8 L pri r dolé ot d l 8 èm é Ercic A-4 Résodr ds IR ls iéqtios t éqtios sivts : () 5 3 ; () 9 3 ; (3) 3 ; (4) 9 3 Soltio () O résot ctt éqtio : () O résot ctt éqtio post 5 3 l5 l3 X 3 : l3 l5 9 3 O otit ls d rcis sivts : X X X t X L éqtio 3 X dmt c soltio L éqtio 3 X do l soltio sivt : l X l3 l l3 Filmt : 9 3 l por l3 Bss mthémtiqs por l tchici 69
16 B TRIGONOMÉTRIE Ercic B- O sohit détrmir l htr d âtimt dot l s (l poit C ) st iccssil A l id d théodolit, o msr ls d gls vrtic t isi q l logr AB L Clclr l htr h CD d âtimt octio ds vlrs msrés, t L O msré ls vlrs sivts : 5,5go, 7,35go t AB m E dédir l htr d âtimt à m près Soltio O écrit ls églités sivts : h t t AC t h AC L O dédit l éqtio : O otit : t h h t t h L h L t t t t h L t t O otit : h 96m, soit h m à m près Bss mthémtiqs por l tchici 77
17 C NOMBRES COMPLEXES Ercic C- O cosidèr l motg rprésté ci-dssos, limté pr tsio ltrtiv sisoïdl d réqc 5Hz t d vlr icc U 5V C motg comport : d résistrs d résistc R t R 5 ; oi d idctc pr d vlr L 4H ; codstr d cpcité C 6F R L i i i C R E élctricité, l omr compl i st oté j O ot l plstio t o rppll ls prssios ds impédcs : Impédc d l oi : Z jl ; j Impédc d codstr : Z jc C Détrmir l prssio compl, pis l modl t l rgmt ds grdrs sivts : L impédc d chc ds rchs d motg L cort ds chc ds rchs d motg 3 L tsio ors d chc ds dipôls costitt l circit 4 L cort totl 5 L impédc éqivlt à l sml d motg Soltio Détrmitio d l impédc d chc ds rchs d motg : Brch spérir Z R jl O otit : Z 75 4 j 8 Ls rcics corrigés Z r 5 4 t rg( Z) 646rd Z r (cos jsi )
18 D GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Ds tot ctt prti, l pl st rpporté rpèr orthoormé O ; i, j Ercic D- O cosidèr l droit d d éqtio : Dor ls coordoés d trois poits d l droit d Dor l ordoé d vctr dirctr d l droit d d sciss 3 Dor vctr orml à l droit d 4 L vctr (;9) st-il vctr dirctr d l droit d? 5 L vctr v ( 9; ) st-il vctr dirctr d l droit d? Soltio O choisit ls trois poits sivts : 5 A (;) ; B ; t C ; 4 3 Pr lctr ds coicits : ; st vctr dirctr d l droit d 4 3 O otit : 3; 4 4 O l églité sivt : Ls vctrs t sot coliéirs ; l vctr (;9) st doc vctr dirctr d l droit d 5 Ls vctrs v t sot ps coliéirs ; l vctr v ( 9; ) st doc ps vctr dirctr d l droit d Ercic D- O do ls coordoés ds poits A (3; ) t B (;) O sohit détrmir éqtio d l méditric, oté d m, d sgmt [AB] Détrmir ls coordoés d poit I, mili d [AB] Détrmir vctr orml à l droit d m 3 E dédir éqtio crtési d l droit d m 4 Ls rcics corrigés
19 Ercic A-9 O sohit étdir ls octios, otés k, soltios d l éqtio diértill sivt : ' L octio st l octio déii sr ] ; [ pr : k où k st omr rél doé k k ( ) O ot C k l cor rprésttiv d l octio O ; i, j k ds rpèr orthoormé Détrmir ls limits d k t Clclr k '( ) por tot rél d l itrvll ] ; [ t détrmir l omr d soltios sr ] ; [ d l éqtio k '( ) 3 O trcé sr l grphiq ci-dssos ls cors C, C 5, C 5 t C E tilist ls résltts d l qstio précédt, rcoîtr chc ds cors Mthémtiqs 83
20 4 Por tot rél strictmt positi, o pos : S( ) d 4 Itrprétr géométriqmt S () 4 O désig pr F primitiv d l octio sr ] ; [ E rmrqt q S( ) F( ) F( ) étdir l ss d vritio d l octio qi à tot rél élémt d ] ; [ ssoci l rél S () 43 O vt décopr ds l pl d vrticl d lrgr ité d tll sort q l ir sité ds ctt d tr ls cors C t l (O) soit miiml Commt doit-o procédr? Soltio O clcl ls limits sivts : O dédit ls résltts sivts : k lim k ( ) lim lim k lim k ( ) si k t lim ( ) k si k k lim k ( ) lim L droit d éqtio st smptot vrticl à C k O clcl l octio dérivé : k k k '( ) O étdi l omr d soltios d l éqtio k '( ) : k '( ) k O clcl l discrimit : 4k 84 Ls rcics corrigés
21 C FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES Ercic C- Por chc ds qstios sivts, o do polôm P isi q o plsirs rcis Fctorisr l polôm P sos l orm d prodit d polôms irrédctils 3 P ( ) t P ( ) 3 P ( ) t P ( ) 3 3 P ( ) 8 4 t P ( ) 3 4 P ( ) 4 8 t P ( ) P ( ) t P ( ), P ( 3) Soltio P '( ) ; l rci r st d ordr d mltiplicité égl à O ct l divisio clidi d polôm P () pr ( ) : 3 3 ( ) ( ) O otit : P ( ) ( )( ) O clcl ls vlrs sivts : P '( ) 3 ; P '() () () P ( ) 6 ; P () L rci r st d ordr d mltiplicité égl à O rmrq q r st () rci évidt d P P '( ) t P ( ) L rci r st d ordr d mltiplicité égl à Filmt : P ( ) ( ) ( ) Mthémtiqs 33
22 3 O clcl ls vlrs sivts : P '( ) 6 8 ; '() P L rci r st d ordr d mltiplicité égl à O ct l divisio clidi sivt : ( 4 ) (5 ) 4 ( 4) 5 O otit : P ( ) ( 5 )( ) L polôm 5 Filmt : possèd d rcis r t r 3 P ( ) ( )( ) ( )( )( ) 4 O clcl ls vlrs sivts : P' ( ) 3 8 ; P '( ) L rci r st d ordr d mltiplicité égl à O ct l divisio clidi sivt : ( ) 8 ( 4) 4 8 ( 4 8) 4 34 Ls rcics corrigés
23 Ercic D- Ls cors C t rpèr orthoorml ; i, j l itrvll ; [ ] pr : C g d grphiq ci-dssos rpréstt rspctivmt, ds O, ls octios t g déiis sr ( ) l t g( ) (l ) O chrch à détrmir l ir S ( ités d ir) d l prti hchré d pl O ot : I l d t J (l ) d Clclr l itégrl I Démotrr à l id d itégrtio pr prtis q J I E dédir J 3 Clclr l vlr d l ir S 4 Por pprtt à l itrvll [ ; ], o ot M l poit d l cor C d sciss t N l poit d l cor C g d mêm sciss Por qll vlr d l distc MN st miml? Clclr l vlr miml d MN Mthémtiqs 359
24 Soltio O clcl l itégrl I l d O ct itégrtio pr prtis : O pos : ' ( ) v( ) l ( ' v)( ) d v( ) ( v' )( ) d t ( ) v'( ) l d ( ) I J (l ) d O ct itégrtio pr prtis : O pos : ' ( ) v( ) (l ) ( ' v)( ) d v( ) ( v' )( ) d t ( ) v' ( ) l (l ) l d I J O dédit l vlr d l itégrl J : J 3 L ir S l prssio sivt : 4 O pos l (l ) d I J S 3 ( ) g( ) l (l ) pis o clcl l dérivé : d( ) l l d'( ) t ctt sciss corrspod à mimm por d l l 4 t l vlr miml d L dérivé s l por l octio d qi st égl à Filmt, l distc MN st miml por MN st égl à 4 36 Ls rcics corrigés
25 Ercic A-3 O sohit détrmir l prssio d l tmpértr d l T () l log d t d logr L m d échgr d chlr O écrit por cl l il thrmiq d troço d t d logr d sité tr l ordoé t l ordoé d : ( ) ( d) d d ( ) cv d cv () ( d) d () d E primt ls l d chlr octio d l tmpértr T (), o otit l éqtio diértill sivt : dt( ) 67 d T ( ) T O do ls vlrs mériqs sivts : Tmpértr d l à l tré d l échgr : Tmpértr mit : T 5 C T( ) 8C ; Résodr l éqtio diértill i d détrmir l prssio d l tmpértr d l T () l log d t d l échgr Clclr l tmpértr d l T (L) à l sorti d l échgr 3 Trcr l rprésttio grphiq d l octio T sr l écr d l clcltric Mthémtiqs 37
26 Soltio L éqtio diértill s écrit : T '( ) 67T ( ) 67 T T '( ) 67T ( ) 335 O commc pr résodr l éqtio ss scod mmr : T '( ) T ( ) T '( ) 67T ( ) O otit : 67 ; l T ( ) 67 k, k IR d où : k 67 ( ), IR T k O otit l soltio d l éqtio ss scod mmr : T 67 ( ) K, IR K O détrmi sit soltio prticlièr T p () L scod mmr st costt, o pos doc : T p ( ) A, IR A O rmplc ds l éqtio diértill O otit : O otit l sml ds soltios : A 5 67 T ( ) T ( ) Tp( ) K 5 L coditio T ( ) 8C prmt d détrmir l vlr d K : K 75 O dédit l soltio d l éqtio diértill : T ( ) O clcl l tmpértr d l à l sorti d l échgr : T () C 37 Ls rcics corrigés
27 Ercic A-7 Ds rpèr orthoormé O ; i, j, k, o cosidèr l pl P d éqtio crtési : cz d t l poit d l spc M ; ; ) O ot ( z H l projté orthogol d poit M sr l pl P t vctr orml pl P O sohit démotrr l orml dot l distc d poit M pl P Jstiir l églité sivt : M Démotrr l églité sivt : H M H c M H cz 3 E dédir l orml dot l distc M H d Soltio L poit H st l projté orthogol d poit M sr l pl P t st vctr orml pl P, vc c Mthémtiqs 3 44
28 O dédit q ls vctrs M H t sot coliéirs L vlr sol d prodit sclir st doc égl prodit ds orms d cs vctrs, d où : M H M H c O clcl l prodit sclir sivt : H M H H ( H ) ( H ) c( zh z) c z z H L poit H pprtit pl P, doc : cz d O rmplc ds l drièr prssio : M H cz 3 O dédit l distc d poit M pl P : H H H d d M cz M P M H, c c H d Ercic A-8 L spc st rpporté à rpèr orthoormé O ; i, j, k Soit D l droit psst pr l poit A ( 3; 4; ) t d vctr dirctr ( ; 3; ) O cosidèr l droit D ' dot rprésttio prmétriq st : t t z t ; t IR O dmt q il ist iq droit prpdiclir droits D t D ' O s propos d détrmir rprésttio prmétriq d ctt droit t d clclr l distc tr ls droits D t D ' O ot H l poit d itrsctio ds droits D t, H ' l poit d itrsctio ds droits D ' t O ppll P l pl cott l droit D t l droit O dmt q l pl P t l droit D ' sot sécts H ' 44 Ls rcics corrigés
29 Ercic D-3 U collctivité trritoril s itérss à l qtité ll d déchts d lmiim rcclés primé tos E 3, ctt collctivité dispos ds doés sivts : Aé Rg d l é i Almiim rcclé tos i O rprésté ci-dssos l g d poits ssocié à l séri sttistiq ( i; i) ds rpèr orthogol d pl Détrmir l éqtio d l droit D d régrssio d, ot pr l méthod ds moidrs crrés A l id d ct jstmt, stimr l qtité d lmiim qi sr rcclé 5 3 U rsposl irm q l gmttio ll mo tr t 3 été d viro 8% 3 Jstiir c t d 8% 3 Estimr à to près, tilist c t, l qtité d lmiim qi sr rcclé 5 33 Avc ctt méthod, qll é pt-o stimr q pls d 6 tos d déchts d lmiim srot rcclés? 4 U étd tiol prévoit qtité d 5 tos d déchts d lmiim rcclés 5 por ctt collctivité trritoril Lql ds d modèls précédts sml-t-il l pls proch d ctt étd? Mthémtiqs 3 495
30 Soltio L clcltric prmt d détrmir l éqtio sivt : Qtité d déchts d lmiim qi srot rcclés 5 : 35() 46 8 tos 3 O ot t l t l d gmttio porctg O l rltio sivt : t 35 4 t 835% L t l d gmttio été d viro 8% 3 Qtité d déchts d lmiim qi srot rcclés 5 : 33 O écrit l iéqtio sivt : tos l(8/ 7) l O choisit 8 O pt stimr q pls d 6 tos d déchts d lmiim srot rcclés 4 L scod modèl sml êtr l proch d l étd tiol 496 Ls rcics corrigés
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Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
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