MODÉLISATION ET ALGÈBRE 8e année ACTIVITÉS DU GUIDE PÉDAGOGIQUE. en format PDF. Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques

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1 Les mathématiques... un peu, beaucoup, à l a f o l i e! MODÉLISATION ET ALGÈBRE 8e année ACTIVITÉS DU GUIDE PÉDAGOGIQUE en format PDF on révisée i t i d É Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques Extrait de la publication

2 Tiré du guide pédagogique Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Modélisation et algèbre, 8 e année,, (ISBN : ), , rue Donald, Ottawa ON K1K 4X5 Commandes : Tél. : Téléc. : Site Web : Courriel : commandes@librairieducentre.com Tous droits réservés. Cette publication ne peut être reproduite, entreposée dans un système de récupération ou transmise, sous quelque forme ou par quelque moyen que ce soit, sans le consentement préalable, par écrit, de l éditeur ou, dans le cas d une photocopie ou de toute autre reprographie, d une licence de CANCOPY (Canadian Copyright Licensing Agency), 1, rue Yonge, bureau 800, Toronto (Ontario) M5E 1E5. ISBN : Dépôt légal troisième trimestre 2011 Bibliothèque et Archives Canada Imprimé au Canada Printed in Canada Extrait de la publication

3 Table des matières MODULE 1 : Représentations de relations Activités 29 Activité 1 : Expérience 31 Activité 2 : Technologie et tables 49 Activité 3 : Table de valeurs 81 Activité 4 : Équation 90 Activité 5 : Représentation graphique 104 Activité 6 : Révision 119 MODULE 2 : Polynômes Activités 151 Activité 1 : Expressions algébriques 153 Activité 2 : Résoudre des équations 162 Activité 3 : Additions et soustractions de polynômes 178 Activité 4 : Multiplications 189 Activité 5 : Factoriser et développer 201 Activité 6 : Révision 209 Extrait de la publication

4 MODULE 1

5 Activités

6 Activité 1 Expérience Au cours de cette activité, l élève réalise des expériences et représente des relations à l aide de mots, d une équation, d une table de valeurs et d une représentation graphique. Pistes d observation L élève : interprète une variété de problèmes basés sur des relations et des régularités, puis les représente de diverses façons (mots, équation (règle), table de valeurs, représentation graphique); interpole ou extrapole en partant de données dans une table de valeurs, d une équation ou d un graphique; compare les différentes représentations d une relation; utilise une table de valeurs ou une représentation graphique pour résoudre des problèmes portant sur des relations. Note : Cette expérience peut s appliquer au domaine Les fluides du cours de sciences de 8 e année. Matériel requis rétroprojecteur paires de ciseaux bâtons de colle bécher transparent d au moins 8 cm de diamètre (un par équipe de deux) huile végétale (environ 10 ml par équipe de deux) compte-gouttes (un par équipe de deux) eau (environ 50 ml par équipe de deux) règles calculatrices transparent Représentations feuille Casse-tête (une copie par équipe de deux) feuille Un mélange qui ne se mélange pas (une copie par élève) feuilles Rapport d expérience Diamètre (une copie par équipe de deux) feuilles Rapport d expérience Circonférence (une copie par équipe de deux) fiche Aire et essence (une copie par élève) Déroulement Étape 1 Dire aux élèves qu elles et ils commencent un nouveau module qui traitera du domaine Modélisation, soit la représentation de relations à l aide de tables de valeurs, d équations et de graphiques. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 31

7 Activité 1 Poser aux élèves les questions suivantes. Qu est-ce qu une relation? Voici des exemples de réponses possibles : Lorsqu il y a une relation, il y a un lien. Si un événement en affecte un autre, alors il y a une relation entre les deux événements. Il y a une relation si le changement d une chose affecte une autre chose. Pouvez-vous donner des exemples de relations? Voici des exemples de réponses possibles : Il y a une relation entre le nombre d heures de travail et le salaire. Il y a une relation entre la température et la quantité de vêtements que l on porte. Il y a une relation entre la distance que parcourt une voiture et la vitesse à laquelle elle roule. e Expliquer aux élèves qu au cours de cette activité elles et ils réviseront les relations vues en 7 année. Projeter le transparent Représentations et rappeler aux élèves que l on peut représenter une relation de plusieurs façons : à l aide de dessins ou de mots, d une table de valeurs, d une équation et d un graphique. Expliquer aux élèves que toutes ces représentations illustrent la même relation. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque équipe la feuille Allouer aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Casse-tête et expliquer le travail aux élèves. Demander aux équipes de se jumeler, une fois le travail terminé, dans le but de comparer leur cassetête. Poser ensuite les questions suivantes. Quel est le diamètre d un cercle dont le rayon mesure 5 cm? 30 cm? Comment as-tu trouvé la réponse? Peux-tu voir la réponse dans les autres représentations? Quel est le rayon d un cercle dont le diamètre mesure 14 cm? 84 cm? Comment as-tu trouvé la réponse? Peux-tu voir la réponse dans les autres représentations? Que signifie le point de coordonnées (8, 16) dans la représentation graphique? Peux-tu joindre les points du graphique? Rappeler aux élèves qu une fois la représentation graphique terminée il est important de vérifier si tous les éléments sont présents. J ai trouvé un titre au graphique. J ai donné des titres aux axes. J ai écrit des lettres au bout des axes pour représenter les variables. J ai bien gradué les axes (à intervalles réguliers, vis-à-vis des lignes). J ai utilisé le plus d espace possible. J ai placé tous les points de la table de valeurs. 32 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

8 Activité 1 Remettre aux élèves le tableau ci-dessus ou l afficher en salle de classe, au besoin. Étape 2 Dire aux élèves qu elles et ils feront maintenant une expérience. Expliquer aux élèves que, lorsqu on effectue des expériences, les données ne sont pas toujours exactes. Dans les expériences d aujourd hui, elles et ils devront parfois arrondir les valeurs au dixième près afin de faciliter les calculs. Il faudra alors utiliser le mot environ dans les réponses aux questions. Grouper les élèves en équipes de deux. Mettre à la disposition des élèves le matériel nécessaire à la réalisation de l expérience. Expliquer le travail à faire de la façon suivante. Chaque équipe doit : prendre le matériel requis pour réaliser l expérience; prendre les feuilles Un mélange qui ne se mélange pas, Rapport d expérience Diamètre et Rapport d expérience Circonférence; effectuer l expérience et remplir les deux rapports. Allouer aux élèves le temps requis pour réaliser l expérience avec leur partenaire et remplir les deux feuilles de rapport. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Voici des exemples de questions à poser : Comment peux-tu prendre la mesure de façon plus précise? Comment calcule-t-on la circonférence? Comment peut-on prédire ce qui suit? Quelle est la régularité? As-tu vérifié ton équation en tenant compte des données de la table de valeurs? Dans la représentation graphique, quel est l axe horizontal? l axe vertical? As-tu pensé à tous les éléments de la représentation graphique (titre, titre des axes, etc.)? Doit-on relier les points de ce graphique? Quelles informations sont utiles pour répondre aux questions? Faire la mise en commun des stratégies utilisées pour répondre aux questions. Remettre à chaque élève la fiche Aire et essence à réaliser individuellement. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 33

9 Activité 1 Représentations Voici les différentes représentations d une relation : Mise en situation (représentation en dessins ou en mots) Figure 1 Figure 2 Figure 3 Représentation graphique Table de valeurs Relation entre le numéro de la figure et le périmètre p Numéro de Périmètre la figure (unités) 10 Périmètre (unités) n Numéro de la figure Équation (règle) p=2+n p = périmètre n = numéro de la figure 34 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

10 Activité 1 Casse-tête 1. Découpe chacun des rectangles ci-dessous. 2. Colle-les à l endroit approprié de façon à faire ressortir les différentes représentations d une relation. 3. Remplis la table de valeurs et la représentation graphique. Diamètre (cm) Relation entre le rayon et le diamètre Représentation en mots Le diamètre est égal à 2 fois le rayon. Rayon (cm) r = rayon Diamètre (cm) Table de valeurs r d = diamètre Équation Représentation graphique d Rayon (cm) d = 2r 35 Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 CORRIGÉ

11 Activité 1 Casse-tête Corrigé Représentation en mots Le diamètre est égal à 2 fois le rayon. Table de valeurs Rayon (cm) 1 Diamètre (cm) 2 Représentation graphique 2 4 Relation entre le rayon et le diamètre d Équation d = diamètre Diamètre (cm) d = 2r r = rayon r Rayon (cm) 36 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication

12 Activité 1 Un mélange qui ne se mélange pas Matériel requis feuille blanche règle bécher 50 ml d eau 10 ml d huile compte-gouttes Démarche 1. Remplis le bécher d eau. 2. Mets la feuille blanche sur ton pupitre. 3. Mets la règle et le bécher sur la feuille blanche. 4. À l aide du compte-gouttes, laisse doucement tomber 10 gouttes d huile, à peu près au même endroit, de manière que les gouttes forment un seul cercle. Assure-toi de laisser tomber les gouttes au centre du bécher pour que le cercle ne colle pas à la paroi. Si l huile touche la paroi, le cercle sera déformé. 5. Mesure le diamètre du cercle obtenu en fermant un œil pour prendre une mesure plus précise. 6. Écris cette donnée dans la première table de valeurs de la feuille Rapport d expérience Diamètre. 7. Ajoute 10 gouttes d huile au cercle d huile. 8. Mesure le diamètre du cercle obtenu en fermant un œil pour prendre une mesure plus précise. 9. Écris cette donnée dans la table de valeurs Première collecte de données de la feuille Rapport d expérience Diamètre. 10. Continue ainsi jusqu à ce que la table de valeurs soit remplie. 11. Vide le bécher et recommence l expérience une seconde fois. Écris les données dans la table de valeurs Seconde collecte de données de la feuille Rapport d expérience Diamètre. 12. Remplis les deux rapports d expérience. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 37

13 Activité 1 Rapport d expérience Diamètre Noms : 1. Remplis les tables de valeurs suivantes. Première collecte de données Seconde collecte de données Moyenne des résultats Nombre de gouttes Diamètre (cm) Nombre de gouttes Diamètre (cm) Nombre de gouttes Diamètre (cm) Représente graphiquement la relation entre le nombre de gouttes d huile et le diamètre du cercle formé. Utilise les données de la table de valeurs Moyenne des résultats. Relation entre Réponds aux questions d analyse suivantes. a) Encercle les données de la table de valeurs ainsi que le point sur le graphique, lesquels représentent le diamètre du cercle formé par 20 gouttes d huile. b) Quel sera le diamètre du cercle obtenu si tu laisses tomber 15 gouttes? 38 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

14 Activité 1 c) Des élèves de 9e année ont fait la même expérience et ont trouvé que l équation qui définit cette relation est d = 0,05g + 1,5, où d = diamètre et g = nombre de gouttes. Selon cette équation, quel sera le diamètre du cercle obtenu si tu laisses tomber 100 gouttes? d) Selon l équation d = 0,05g + 1,5, combien de gouttes faut-il mettre pour que le diamètre du cercle soit le même que celui du bécher? e) Cette équation correspond-elle aussi à tes résultats? Explique ta réponse. 39 Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 CORRIGÉ

15 Activité 1 Rapport d expérience Diamètre Corrigé 1. Remplis les tables de valeurs suivantes. Première collecte de données Nombre de gouttes Diamètre (cm) 10 2, ,6 40 4,3 50 5,1 Seconde collecte de données Nombre de gouttes Diamètre (cm) , ,4 50 3,8 Moyenne des résultats Nombre de gouttes Diamètre (cm) 10 2,1 20 2, ,3 40 3, ,45 2. Représente graphiquement la relation entre le nombre de gouttes d huile et le diamètre du cercle formé. Utilise les données de la table de valeurs Moyenne des résultats. d 5 Relation entre le nombre de gouttes d huile et le diamètre 4 Diamètre (cm) Réponds aux questions d analyse suivantes g Nombre de gouttes d huile a) Encercle les données de la table de valeurs ainsi que le point sur le graphique, lesquels représentent le diamètre du cercle formé par 20 gouttes d huile. b) Quel sera le diamètre du cercle obtenu si tu laisses tomber 15 gouttes? D après la représentation graphique, le diamètre du cercle sera d environ 2,45 cm. D après la table de valeurs, le diamètre du cercle sera d environ 2,425 cm. 40 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

16 Activité 1 c) Des élèves de 9 e année ont fait la même expérience et ont trouvé que l équation qui définit cette relation est d = 0,05g + 1,5, où d = diamètre et g = nombre de gouttes. Selon cette équation, quel sera le diamètre du cercle obtenu si tu laisses tomber 100 gouttes? d = 0,05g + 1,5 Si g = 100 d = 0, ,5 d = 6,5 Le diamètre sera de 6,5 cm. d) Selon l équation d = 0,05g + 1,5, combien de gouttes faut-il mettre pour que le diamètre du cercle soit le même que celui du bécher? Le diamètre du bécher est de 8 cm. d = 0,05g + 1,5 Si d = 8 8 = 0,05g + 1,5 6,5 + 1,5 = 0,05g + 1,5 Il faut que 0,05g = 6,5 0, = 5 0, = 5,5 0, = 6 0, = 6,5 Il faut mettre environ 130 gouttes pour que le cercle ait un diamètre de 8 cm. e) Cette équation correspond-elle aussi à tes résultats? Explique ta réponse. Selon ma table de valeurs, 10 gouttes donnent un cercle dont le diamètre est de 2,1 cm. Je compare cette donnée avec celle obtenue à l aide de l équation : d = 0,05g + 1,5. Si g = 10, d = 0, ,5 d = 0,5 + 1,5 d = 2 Ce résultat est près de 2,1. Selon ma table de valeurs, 50 gouttes donnent un diamètre de 4,45 cm. Je compare cette donnée avec celle obtenue à l aide de l équation : d = 0,05g + 1,5. Si g = 50, d = 0, ,5 d = 2,5 + 1,5 d = 4 La différence entre ce résultat et la donnée de ma table de valeurs est plus grande. Cette équation ne correspond pas à mes résultats. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 41

17 Activité 1 Rapport d expérience Circonférence Noms : 1. Remplis la table de valeurs ci-dessous. Dans la première colonne, transcris les données recueillies dans la table de valeurs Moyenne des résultats lors de l expérience Un mélange qui ne se mélange pas. À l aide de ces données, calcule la circonférence et écris les résultats dans la seconde colonne. 2. Représente graphiquement la relation figurant dans la table de valeurs de la question 1. Relation entre... Diamètre (cm) Circonférence (cm) 3. Écris l équation de la relation représentée aux questions 1 et Réponds aux questions d analyse suivantes. a) Quelle sera la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 6 cm? b) À l aide de la représentation graphique, détermine la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 1,5 cm. c) Que signifient les coordonnées (1; 3,14)? 42 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

18 Activité 1 d) Quel est le rayon d un cercle dont la circonférence est de 314 cm? e) La circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 10 cm est de 31,4 cm. Pour calculer la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 20 cm, peux-tu multiplier 31,4 cm par 2? Explique ta réponse. 43 Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 Extrait de la publication CORRIGÉ

19 Activité 1 Rapport d expérience Circonférence Corrigé 1. Remplis la table de valeurs ci-dessous. Dans la première colonne, transcris les données recueillies dans la table de valeurs Moyenne des résultats lors de l expérience Un mélange qui ne se mélange pas. À l aide de ces données, calcule la circonférence et écris les résultats dans la seconde colonne. 2. Représente graphiquement la relation figurant dans la table de valeurs de la question 1. Relation entre le diamètre et la circonférence c 15 Diamètre (cm) Circonférence (cm) 2,1 6,6 2,75 8,64 3,3 10,37 Circonférence (cm) ,85 12,1 4,45 13, Diamètre (cm) d 3. Écris l équation de la relation représentée aux questions 1 et 2. C = π d C = circonférence et d = diamètre 4. Réponds aux questions d analyse suivantes. a) Quelle sera la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 6 cm? Si d = 6 C = π d 3, ,85 La circonférence est d environ 18,85 cm b) À l aide de la représentation graphique, détermine la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 1,5 cm. La circonférence est d environ 4,5 cm. c) Que signifient les coordonnées (1; 3,14)? Elles signifient qu un cercle dont le diamètre mesure 1 cm a une circonférence de 3,14 cm. 44 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

20 Activité 1 d) Quel est le rayon d un cercle dont la circonférence est de 314 cm? C = d π Si C = = 3,1416 d d 99,9 r 50 Le rayon est de 50 cm. e) La circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 10 cm est de 31,4 cm. Pour calculer la circonférence d un cercle dont le diamètre mesure 20 cm, peux-tu multiplier 31,4 cm par 2? Explique ta réponse. Oui, je peux multiplier 31,4 par 2. Si je multiplie 31,4 par 2, j obtiens 62,8. J utilise l équation : C = π d Si d = 20 C = 3, C = 62,8 L une ou l autre des stratégies me donne la même réponse. Les deux stratégies sont bonnes. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 45 Extrait de la publication

21 Activité 1 Aire et essence Noms : Équation 1. On veut étudier la relation entre la longueur des côtés d un carré et son aire. Écris l information qui manque et réponds aux questions d analyse. Table de valeurs Représentation graphique Relation entre Analyse 10 a) Peux-tu relier les points du graphique? b) Quelle est l aire d un carré dont un côté mesure 20 cm? c) Pour déterminer l aire d un carré dont un côté mesure 12 cm, peux-tu multiplier par 2 l aire d un carré dont un côté mesure 6 cm? 2. Remplis les tables de valeurs ci-dessous selon les relations données. Le coût de l essence est de 1,014 $/L. La consommation d essence d une voiture hybride est de 4,3 L/100 km. C = 1,014 L L e = 0,043 d C d e 46 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! CORRIGÉ

22 Activité 1 Aire et essence Corrigé 1. On veut étudier la relation entre la longueur des côtés d un carré et son aire. Écris l information qui manque et réponds aux questions d analyse. Équation A = l l A = aire, l = longueur des côtés d un carré.* * Dans un carré, la longueur de la base est égale à la longueur de la hauteur. Table de valeurs Longueur de la base et de la hauteur* (cm) Aire (cm 2 ) Représentation graphique Relation entre la longueur des côtés du carré et son aire A Aire (cm 2 ) * Dans un carré, la longueur de la base est égale à la longueur de la hauteur. a) Peux-tu relier les points du graphique? Longueur des côtés du carré (cm) Oui, car une longueur peut être une valeur décimale. Par exemple, on peut avoir une longueur de 2,5 cm ou de 6,14 cm. l Analyse b) Quelle est l aire d un carré dont un côté mesure 20 cm? A = l l A = A = 400 L aire est de 400 cm 2. c) Pour déterminer l aire d un carré dont un côté mesure 12 cm, peux-tu multiplier par 2 l aire d un carré dont un côté mesure 6 cm? L aire d un carré dont un côté mesure 6 cm : 6 6 = 36 cm = 72 cm 2 L aire d un carré dont un côté mesure 12 cm : = 144. Ça ne donne pas le même résultat. Je ne peux donc pas multiplier par 2. Modélisation et algèbre 8 e année Module 1 47 Extrait de la publication

23 Activité 1 2. Remplis les tables de valeurs ci-dessous selon les relations données. Le coût de l essence est de 1,014 $/L. La consommation d essence d une voiture hybride est de 4,3 L/100 km. C = 1,014 L L C 10 10, , , , ,70 e = 0,043 d d e 100 4, , , , ,5 48 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication

24 Activité 2 Résoudre des équations Au cours de cette activité, l élève détermine la valeur d une inconnue dans une équation. Pistes d observation L élève : établit des liens entre la multiplication et l addition répétée; établit des liens entre les opérations numériques et les opérations algébriques; résout une équation en utilisant diverses stratégies (matériel concret ou illustré, essais systématiques, déduction); vérifie la valeur de l inconnue par substitution. Matériel requis rétroprojecteur stylos à encre effaçable pour transparent centicubes (environ 20 par élève) transparents Matériel concret transparent Essais et erreurs transparents Déductions feuille Équations (une copie par élève) fiche Équations à résoudre (une copie par élève) Déroulement Étape 1 Dire aux élèves que le but de l activité est de résoudre des équations. Poser aux élèves les questions suivantes. Qu est-ce qu une équation? Dans une équation, il y a le signe égal =. Dans une équation, des lettres remplacent des nombres. Une équation est une égalité dans laquelle il y a une inconnue ou des variables. Selon toi, que signifie l expression résoudre une équation? Cela signifie «trouver la valeur de l inconnue ou des variables». Projeter le premier transparent Matériel concret et y déposer 20 centicubes. 162 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

25 Activité 2 Questions à poser Comment peut-on exprimer 4x + 8 = 20 à l aide d additions seulement? Comment peut-on résoudre cette équation, c est-à-dire trouver la valeur de x dans cette équation, à l aide des centicubes? On doit avoir 20 centicubes. Ensuite, on peut placer 8 centicubes de côté et former 4 groupes égaux avec ceux qui restent. Dans chaque groupe, il y a 3 centicubes. Éléments à écrire sur le transparent x + x + x + x + 8 = 20 Simuler la situation en déposant les centicubes sur le rétroprojecteur x x x x Quelle est la valeur de x? La valeur de x est 3. Comment peut-on vérifier si cette réponse est vraie? 4x + 8 veut dire «4 groupes de x plus 8». On peut calculer (4 groupes de 3) + 8. C est , qui fait 20. Est-ce égal à la valeur souhaitée? Oui, c est égal à 20, alors c est la bonne réponse. Projeter le second transparent Matériel concret. 4x + 8 = 20 Si x = 3 4x + 8 = = = 20 Reprendre le même questionnement en tenant compte de l équation 3x 6 = 15. La soustraction dans l équation modifie un peu la démarche. Questions à poser Comment peut-on exprimer 3x 6 = 15 à l aide d additions seulement? Que signifie l équation 3x 6 = 15? J ai 3 groupes de centicubes et j en enlève 6. Il en reste 15. x + x + x 6 = 15 Éléments à écrire sur le transparent Simuler la situation en déposant d abord 15 centicubes sur le rétroprojecteur et en en ajoutant 6. Avant qu on enlève les 6 centicubes, combien de centicubes y avait-il? = 21 Il y avait 21 centicubes Que fait-on avec ces 21 centicubes? On les divise en 3 groupes égaux. Dans chaque groupe, il y a 7 centicubes. Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 163

26 Activité 2 Quelle est la valeur de x? La valeur de x est 7. Comment peut-on vérifier si cette réponse est vraie? En substituant x par 7 et en faisant le calcul. Est-ce égal à la valeur cherchée? Oui, c est égal à 15, alors c est la bonne réponse. 3x 6 = 15 Si x = 7 3x 6 = = 21 6 = 15 Remettre une vingtaine de centicubes à chaque élève et lui allouer le temps requis pour résoudre les trois équations au bas du transparent. Demander aux élèves de faire part de leurs solutions et faire ressortir que l on peut résoudre des équations à l aide de matériel concret ou d illustrations. 2x + 5 = 13 x + x + 5 = 13 5x + 1 = 16 x + x + x + x + x + 1 = 16 3x 2 = 13 x + x + x 2 = 13 x = 4 x = 3 x = 5 Projeter le transparent Essais et erreurs. Question à poser Comment peut-on exprimer 6x + 20 = 62 à l aide d additions seulement? Comment peut-on trouver la valeur de x dans l équation à l aide de cette stratégie? On peut faire différents essais. On trouve le résultat de 6x + 20 en accordant différentes valeurs à x jusqu à ce que l on trouve une valeur équivalante à 62. Le x vaut 7. Éléments à écrire sur le transparent x + x + x + x + x + x + 20 = 62 Si x = 1 Si x = 2 Si x = 3 Si x = 10 Si x = 6 Si x = 7 Si x = Si x = 6x + 20 = = = = = = = = = x = 7 Allouer aux élèves le temps requis pour résoudre les deux équations au bas du transparent en faisant des essais systématiques. Demander aux élèves de faire part de leurs solutions et faire quelques essais pour chaque équation. 164 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

27 Activité 2 Si x = 1 Si x = 5 Si x = 10 Si x = 20 Si x = 22 5x 14 = = = = = = 96 x = 22 Si x = 1 Si x = 5 Si x = 10 Si x = 15 Si x = 12 Si x = 13 Si x = 12,5 4x 5 = = = = = = = ,5 5 = 45 x = 12,5 Faire ressortir que l on peut résoudre des équations en utilisant une stratégie d essais et erreurs. Projeter le premier transparent Déductions. Questions à poser Comment peut-on exprimer 3x + 2 = 20 à l aide d additions seulement? Comment peux-tu expliquer cette stratégie? On voit une ligne dont la longueur est 20. On voit une ligne égale à la première qui est composée de 2 et de 3 groupes égaux de x. Comment peut-on déduire la valeur de x? On sait que = 20, alors on peut déduire qu il faut diviser 18 en 3 groupes égaux. Le x vaut 6. Quelle autre stratégie de déduction peut-on utiliser? On peut décomposer le 20 pour le comparer plus facilement à l expression du côté gauche. Puisqu il y a un + 2 du côté gauche du signe =, on décompose 20 en On peut oublier le + 2, puisqu il est de chaque côté du signe =. Il ne reste qu à comparer 3x et 18. Comment peut-on vérifier si cette réponse est vraie? On sait que 3x + 2 veut dire «3 groupes de x et 2 de plus». On peut calculer (3 groupes de 6) + 2. C est qui fait 20. Est-ce égal à la valeur souhaitée? Oui, c est égal à 20, alors c est la bonne réponse. x + x + x + 2 = 20 Éléments à écrire sur le transparent 20 x x x 2 3x + 2 = x x x x = 6 3x + 2 = x = 18 x = 6 3x + 2 = 20 Si x = 6 3x + 2 = = = 20 Projeter le second transparent Déductions. Reprendre le même questionnement en tenant compte de l équation 6x 7 = 23. La soustraction dans l équation modifie un peu la démarche. Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 Extrait de la publication 165

28 Activité 2 Questions à poser Comment peut-on exprimer 6x 7 = 23 à l aide d additions seulement? Que signifie l équation 6x 7 = 23? J ai 6 groupes de centicubes et j en enlève 7. Il en reste 23. Avant que l on enlève les 6 centicubes, combien de cubes y avait-il? = 30 Comment peux-tu expliquer cette représentation? On voit une ligne dont la longueur est 23. On voit une ligne où l on ajoute 7, ce qui correspond aux 7 cubes qui avaient été enlevés. On voit une ligne égale à 30 (23 + 7) qui est composée de 6 groupes égaux. Comment peut-on déduire la valeur de x? On sait que 6 groupes égaux donnent 30. On peux diviser 30 par 6 pour obtenir la valeur de chaque groupe. Le x vaut 5. Quelle autre stratégie de déduction peut-on utiliser? On peut décomposer le 23 pour le comparer plus facilement à l expression du côté gauche. Puisqu il y a 7 du côté gauche du signe =, on décompose 23 en On peut oublier le 7, puisqu il est de chaque côté du signe =. Il ne reste qu à comparer 6x et 30. Comment peut-on vérifier si cette réponse est vraie? On sait que 6x 7 veut dire «6 groupes de x et 7 de moins». On peut donc calculer (6 groupes de 5) 7. C est 30 7 qui égale 23. Est-ce égal à la valeur souhaitée? Oui, c est égal à 23, alors c est la bonne réponse. Éléments à écrire sur le transparent x + x + x + x + x + x 7 = x x x x x x 6x 7 = x x x x x x (30 6 = 5) x = 5 6x 7 = x = 30 x = 5 6x 7 = 23 Si x = 5 6x 7 = = 30 7 = Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication

29 Activité 2 Écrire, au tableau, les équations 2x + 19 = 33, 12x + 3 = 51 et 2x 9 = 20. Allouer aux élèves le temps requis pour résoudre les trois équations par déduction, ainsi que pour vérifier leur réponse. Demander aux élèves de faire part de leurs solutions. Équation Représentation Décomposition Vérification 33 2x + 19 = 33 x x x = 7 2x + 19 = 33 2x + 19 = x = 14 x = 7 2x + 19 = 33 Si x = 7 2x = = x + 3 = 51 x x x x x x x x x x x x = 4 x = 4 12x + 3 = 51 12x + 3 = x = 48 x = 4 12x + 3 = 51 Si x = = = 51 2x 9 = 20 x x x = 14,5 2x + 9 = 20 2x + 9 = x = = = 30 x = 4,5 2x 9 = 20 Si x = 14,5 2 14,5 9 = = 20 Faire ressortir que l on peut résoudre des équations en utilisant une stratégie de déduction. Remettre à chaque élève la feuille Équations. Allouer aux élèves le temps requis pour réaliser le travail de façon individuelle. Permettre aux élèves d utiliser la stratégie de leur choix pour résoudre les équations. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Voici des exemples de questions à poser : Peux-tu utiliser une autre stratégie? Que veut dire le mot résoudre? Peux-tu résoudre l équation à l aide de centicubes? d un dessin? de calculs? Demander aux élèves de comparer, une fois le travail terminé, leurs stratégies de calcul avec celles d un ou d une partenaire. Dire aux élèves de trouver les ressemblances et les différences entre les différentes stratégies. Remettre à chaque élève la fiche Équations à résoudre à réaliser individuellement. Modélisation et algèbre 8 e année Module Extrait de la publication

30 Activité 2 Matériel concret 4x + 8 = 20 _ 4x + 8 = 20 Vérification Si x = 4x + 8 = = + 8 = 168 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

31 Activité 2 3x 6 = 15 _ 3x 6 = 15 Vérification Si x = 3x 6 = 3 6 = 6 = 2x + 5 = 13 5x + 1 = 16 3x 2 = 13 Modélisation et algèbre 8 e année Module Extrait de la publication

32 Activité 2 Essais et erreurs 6x + 20 = 62 Si x = = Si x = = Si x = = Si x = = Si x = = Si x = = Si x = = Si x = = _ 5x 14 = 96 4x 5 = Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

33 Activité 2 Déductions 3x + 2 = x x x 2 _ 3x + 2 = 20 Si x = 3x + 2 = = + 2 = Vérification Modélisation et algèbre 8 e année Module Extrait de la publication

34 Activité 2 6x 7 = x x x x x x _ 6x 7 = 23 Si x = 6x 7 = 6 7 = 7 = Vérification 172 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication

35 Activité 2 Équations Nom : 1. 4x + 14 = 58 b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. a) Écris l équation à l aide d additions. c) Vérifie ta réponse. 2. 3x 1 = 59 b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. a) Écris l équation à l aide d additions. c) Vérifie ta réponse. 3. 8x + 7 = 88,6 b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. a) Écris l équation à l aide d additions. c) Vérifie ta réponse. 173 Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 CORRIGÉ

36 Activité 2 Équations Corrigé 1. 4x + 14 = 58 a) Écris l équation à l aide d additions. x + x + x + x + 14 = 58 b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. x + x + x + x + 14 = c) Vérifie ta réponse. 4x + 14 = 58 Si x = = = 58 x + x + x + x + 14 = x + x + x + x = = 44 x = x 1 = 59 a) Écris l équation à l aide d additions. x + x + x 1 = 59 b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. x + x + x 1 = 59 x + x + x 1 = 60 1 x + x + x = = 60 x = 20 c) Vérifie ta réponse. 3x 1 = 59 Si x = = 60 1 = x + 7 = 88,6 a) Écris l équation à l aide d additions. b) Résous l équation en laissant des traces de ta démarche. 8x + 7 = 88, = = ,1 + 7 = 87,8 8 10,2 + 7 = 88,6 x = 10,2 c) Vérifie ta réponse. 8x + 7 = 88,6 8 10,2 + 7 = ,6 + 7 = ,6 = 88,6 174 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication

37 Activité 2 Équations à résoudre Nom : 1. Écris les équations ci-dessous à l aide d additions. Résous-les en utilisant la stratégie de ton choix et vérifie tes réponses. a) 5x 3 = 67 b) 4x + 2 c) 6 + 2x = 8,4 d) 4y 20 = 44 e) 3y + 25 = 71,5 1 1 = Simplifie les expressions algébriques ci-dessous. Calcule la valeur de ces expressions algébriques si x = 2, y = 4 et z = 5. a) x + 3z + y + 4y + x + 4 b) 3x + 3z + 6x + z Simplifie et résous chacune des équations ci-dessous, puis vérifie ta réponse. a) 6x + 2x = 168 b) 3y + 2y = 60 c) 10a 3a + 5a + 3a = 75 d) 5a + 4b + 5a 4b = Trouve la valeur de l inconnue dans chacune de ces figures. a) périmètre = 18 cm y = 2,5 cm y x b) périmètre = 77 m b=5m c=7m a b c a a b a 175 Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 CORRIGÉ

38 Activité 2 Équations à résoudre Corrigé 1. Écris les équations ci-dessous à l aide d additions. Résous-les en utilisant une stratégie de ton choix et vérifie tes réponses. a) 5x 3 = 67 x + x + x + x + x 3 = 67 5x 3 = x = = 70 x = 14 5x 3 = 67 Si x = = = 70 3 = 67 b) 4x = x + x + x + x + 2 = 34 c) 6 + 2x = 8,4 6+ 2x = 8, x = 6+ 2, 4 2x = 2, 4 x = 12, x + 2 = x = 32 x = x + 2 = Si x = = = x = 8,4 Si x = 1, , = 6+ 2, 4 = 84, d) 4y 20 = 44 y + y + y + y 20 = 44 4y 20= 44 4y 20= y = = 64 y = 16 4y 20 = 44 Si y = = = 44 e) 3y + 25 = 71,5 y + y + y + 25 = 71, 5 3y + 25= 46, y = 46, , 5= 46, 5 y = 15, 5 3y + 25 = 71,5 Si y = 15,5 3 15, = 46, = 71, Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!

39 Activité 2 2. Simplifie les expressions algébriques ci-dessous. Calcule la valeur des expressions si x = 2, y = 4 et z = 5. a) x + 3z + y + 4y + x + 4 = 2x+ 3z + 5y + 4 Si x = 2, y = 4 et z = 5 = = = 43 b) 3x + 3z + 6x + z + 3 = 9x + 4z + 3 Si x = 2, y = 4 et z = 5 = = = Simplifie et résous chacune des équations ci-dessous, puis vérifie ta réponse. a) 6x + 2x = 168 8x = = = 168 x = 21 6x + 2x = 168 Si x = 21 6x + 2x = = = 168 b) 3y + 2y = 60 5y = 60 3y + 2y = = 60 Si y = 12 y = 12 3y + 2y = = = 60 c) 10a 3a + 5a + 3a = 75 15a = = 75 a = 5 d) 5a + 4b + 5a 4b = 45 10a = 45 a = 4,5 4. Trouve la valeur de l inconnue dans chacune de ces figures. 10a 3a + 5a + 3a = 75 Si a = 5 10a 3a + 5a + 3a = = = 75 5a + 4b + 5a 4b = 45 Si a = 4,5 5a + 4b + 5a 4b = 5 4, ,5 + 4b 4b = 22,5 + 22,5 + 0 = 45 a) périmètre = 18 cm y = 2,5 cm 2x + 4 2,5 = 18 2x + 10 = x = 4 x = 4 x y b) périmètre = 77 m b = 5 m c = 7 m 4a (2 5) + 7 = 77 4a = 77 4a 3 = a = 80 a = 20 Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 a b c a b a a 177

40 Activité 6 Révision Corrigé 1. Simplifie les expressions algébriques suivantes. a) 6x + 6x + 4x + 4y = 16x + 4y d) (3x + 5) + (x + 2) = x + x + x x + 2 = 4x + 7 b) 2a + 5b + 10c 5b 10b = 2a 10b + 10c e) (2x + 7y) + (x 2y) = 3x + 5y c) 2 + 4x 2x x = 3x + 4 f) (3x + 5) (x + 2) = = 2x Développe les expressions algébriques suivantes. a) 5(x + 11) = 5x + 55 b) 25(2a + 4b + 3c) = 50a + 100b + 75c c) 6(a + 3b 4c) = 6a + 18b 24c 3. Factorise les expressions algébriques suivantes. a) 7x + 63 = 7(x + 9) 4. Résous les équations suivantes. a) 7x + 9 = 65 7x + 9 = x = 56 x = 8 b) 39x + 18y + 6z = 3(13x + 6y + 2z) b) 8(x + 5) = = = = 128 (x + 5) = 16 x = 11 c) 24a + 36 = 12(2a + 3) c) 4(3a + 9) = = 120 3a + 9 = 30 3a + 9 = a = 21 a = 7 5. Un concombre coûte x. Un chou-fleur coûte 3 fois plus cher que le concombre. Une courge coûte 0,25 $ de plus que le chou-fleur. Écris des expressions algébriques qui représentent les situations suivantes. a) 3 concombres et 2 choux-fleurs x + x + x + 3x + 3x = 9x b) 1 concombre, 1 chou-fleur et 3 courges x + 3x + 3x + 0,25 + 3x + 0,25 + 3x + 0,25 = 13x + 0,75 c) 2 courges et 5 concombres 3x + 0,25 + 3x + 0,25 + 5x = 11x + 0,50 6. Chaque côté d un triangle équilatéral mesure x. a) On allonge chaque côté de 1,5 cm. Qu arrive-t-il au périmètre du triangle? Le périmètre augmente de 4,5 cm. Avant, le périmètre était de 3x, maintenant, il est de 3(x + 1,5). Il y a trois longueurs de 1,5 de plus en tout. b) On double la longueur de chaque côté. Qu arrive-t-il au périmètre du triangle? Le périmètre double. Avant, le périmètre était de 3x, maintenant, il est de 3(2x) ou de 6x. Modélisation et algèbre 8 e année Module 2 219

41 Activité 6 7. Détermine si les égalités ci-dessous sont vraies ou fausses. Justifie tes réponses. a) 4x x + y = 4 + y C est faux. 4x x + y = 3x + y 4 + y b) 3(2a 5) = 6a 15 C est vrai. Puisque 3 groupes de (2a 5), c est 2a 5 + 2a 5 + 2a 5. Cela peut être simplifié à 6a 15. c) 2(x + 7) = x x + 2 C est faux. Puisque 2 groupes de (x + 7) représentent plutôt x x + 7 ou 2x Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! Extrait de la publication