Éléments de statistique descriptive.

Transcription

1 Lycée Pierre de Fermat BCPST 12 Cours de Statistique. Éléments de statistique descriptive. Une étude statistique porte sur une série de données (appelée série statistique). Ces données portent sur des individus provenant d une population. Chaque individu présente des caractères, appelés variables statistiques qui font l objet de l étude statistique. Ces variables peuvent être quantitatives (exemple : taille, poids, nombre de naissances, nombre de cigarettes fumées par jour...) ou qualitatives (exemple : couleur des cheveux, port ou non de lunettes, première lettre du nom, nature d un traitement médicamenteux suivi...). Si la population est trop importante pour pouvoir recueillir les données en question, on travaille sur un échantillon, c est à dire un sous-ensemble de la population, tiré au sort. Pour que l étude soit pertinente, il est nécessaire que l échantillon soit représentatif de la population. L objet des statistiques est de donner un résumé des informations contenues dans une série de données provenant d une population (ou d un échantillon représentatif de cette population). Ce résumé peut être graphique ou numérique. 1 Statistique univariée 1.1 Description d une série statistique On considère une série statistique portant sur un caractère X d une population. Soit N le nombre de données de cette série. L entier N est donc la taille de l échantillon. On note {x 1,..., x n } l ensemble des valeurs prises par la variable X (n N car certaines données peuvent être égales). Fréquence. Si certaines valeurs sont prises plusieurs fois, on regroupe les cas qui donnent la même valeur. Ainsi, si x k est une valeur obtenue plusieurs fois, on note N k le nombre d observations de x k. Le nombre N k est appelé effectif des cas où le caractère X est x k. Le rapport F k = N k N est appelé fréquence de la valeur x k. C est un nombre réel appartenant à [0, 1]. N N Remarque : N k = N et F k = 1. k=1 k=1 Fréquence cumulée. Si les valeurs prises par la variable X sont des nombres réels, on peut ordonner les x k. On peut supposer par exemple que x 1 < x 2 <... < x n. On s intéresse cette fois au nombre d observations pour lesquelles X prend une valeur inférieure ou égale à x k. Ce nombre est égal à N N k. Il est appelé effectif cumulé correspondant à la valeur x k. De même, la fréquence des observations donnant une valeur de X inférieure ou égale à x k est N N k = F F k. Ce nombre est appelé fréquence cumulée correspondant à la valeur x k. N Regroupements des valeurs par classes. Lorsque les données sont nombreuses et peuvent être proches, il peut être intéressant de regrouper les informations par classe. On regroupera les valeurs comprises dans un certain intervalle I k. On parlera alors d effectif de la classe et de fréquence de la classe. Exercice 1. On relève les tailles, en cm, des nouveaux-nés dans un hôpital. On présente les valeurs obtenues dans le tableau suivant : n o taille Calculer les effectifs, les fréquences et les fréquences cumulées. On présentera les résultats dans un tableau. 1

2 2. Effectuer un regroupement en quatre classes en considérant les intervalles : [46, 48[, [48, 50[, [50, 52[, [52, 54[. Déterminer les effectifs, les fréquences et les fréquences cumulées. On présentera les résultats dans un tableau. 1.2 Représentation graphique Diagramme en barres Quand les données sont quantitatives, comme dans l exercice précédent, elles peuvent être représentées dans un diagramme en barres. La figure 1 est le diagramme en barres correspondant à l exercice précédent. Figure 1 Diagramme en barres. Taille des nouveaux-nés Histogramme La représentation précédente reste pertinente pour représenter des données regroupées par classes. On peut alors décider que chaque rectangle ait pour base l intervalle [a,b[ de la classe. Ainsi, chaque rectangle a une aire proportionnelle à la fréquence d apparition de la classe correspondante. Un tel diagramme est appelé histogramme. 2

3 Reprenons les données précédentes et les regroupements par classes [46, 48[, [48, 50[, [50, 52[, [52, 54[. On obtient l histogramme de la figure 2 Figure 2 Histogramme. Taille des nouveaux-nés regroupées par classes Diagramme circulaire Lorsque les données sont qualitatives, on peut les représenter par des diagrammes en barres (voir paragraphe précédent), ou par des diagrammes circulaires. Exemple : Dans une classe, chaque élève pratique un unique sport. 12 élèves pratiquent le football, 9 le basket, 8 la natation et 6 l équitation. Le diagramme circulaire correspondant est donné par la figure Caractéristiques de positions On considère une série statistique x 1, x 2,..., x N représentant une variable X. Par commodité, on suppose que les x k sont rangés dans l ordre croissant : x 1 x 2... x N. Ces données ne sont pas 3

4 Figure 3 Diagramme circulaire. Sports pratiqués. nécessairement deux à deux distinctes. Mode. Le mode est la (une) valeur observée le (un) plus grand nombre de fois. Il se peut que plusieurs valeurs conviennent. Dans ce cas, on choisit une de ces valeurs. Moyenne empirique. La moyenne empirique de la variable X est la quantité : x = 1 N N x k. Médiane La médiane de la variable X est un nombre, noté m x tel que : 50% au-moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales à ce nombre, 50% au-moins des valeurs de la série soient supérieures ou égales à ce nombre. Si N est pair (on pose N = 2n), plusieurs valeurs satisfont ces propriétés. On convient alors de poser m x = x n + x n+1. 2 Si N est impair (N = 2n + 1), alors m x = x n+1 (pas d autre choix possible). Remarque : La médiane n est, en général, pas égale à la moyenne. Elle a sur la moyenne un grand avantage : sa stabilité statistique. En effet, les valeurs extrémales, souvent les plus sujettes à caution, n ont qu une influence réduite sur la médiane, alors qu elles pèsent souvent lourdement sur la moyenne. k=1 4

5 Exercice 2. Pour leur TIPE, des élèves de BCPST cueillent 16 pâquerettes et comptent leurs pétales. Ils obtiennent les valeurs suivantes : 41, 50, 48, 45, 38, 42, 51, 43, 49, 50, 52, 42, 44, 51, 48, 48. Quel est le (un) mode de la série? Déterminer la moyenne et la médiane de cette série statistique. Un des élèves, un peu distrait, cueille une dernière pâquerette et compte pétales! Donner la nouvelle moyenne et la nouvelle médiane. Que remarque t-on? 1.4 Caractéristiques de dispersion La position ne suffit pas à décrire une série statistique. Il faut ensuite savoir si les valeurs sont concentrées autour de la valeur moyenne, ou au contraire dispersées. Quartiles. On définit (de manière analogue à la médiane) trois quartiles, qui partagent la série en 4 groupes de valeurs. Le premier quartile de la série est un nombre noté Q 1 tel que : 25% au-moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales à ce nombre, 75% au-moins des valeurs de la série soient supérieures ou égales à ce nombre. Le deuxième quartile est Q 2 = m x (correspond à la médiane). Le troisième quartile de la série X est un nombre noté Q 3 tel que : 75% au-moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales à ce nombre, 25% au-moins des valeurs de la série soient supérieures ou égales à ce nombre. Remarque : Comme pour la médiane, il peut y avoir plusieurs valeurs possibles pour les quartiles. Dans ce cas, on choisit la moyenne des valeurs qui conviennent. Déciles. De la même manière, on définit les déciles, qui partagent la série en 10 groupes de données : Le premier décile de la série X est un nombre noté D 1 tel que : une proportion 1/10 au-moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales à ce nombre, une proportion 9/10 au-moins des valeurs de la série soient supérieures ou égales à ce nombre. et, pour tout entier p entre 1 et 9, le p ieme décile est un nombre noté D p tel que : une proportion p/10 au-moins des valeurs de la série soient inférieures ou égales à ce nombre, une proportion (1 p)/10 au-moins des valeurs de la série soient supérieures ou égales à ce nombre. Remarque : Comme pour la médiane, il peut y avoir plusieurs valeurs possibles pour les déciles. Dans ce cas, on choisit la moyenne des valeurs qui conviennent. Exercice 3. Reprendre les pâquerettes de l exercice précédent. Calculer les quartiles dans la première série, puis dans la deuxième série. Diagramme en boîte et moustaches Les cinq données : médiane, 1er quartile, 3ème quartile, minimum, maximum peuvent être résumées dans le diagramme suivant (qui doit être fait à l échelle!) appelé diagramme en boîte, ou diagramme en boîte et moustaches (voir figure 4). Variance empirique. Reprenons la série statistique définie précédemment. On appelle variance empirique de la variable X le nombre noté v x défini par : v x = 1 N N (x k x) 2. k=1 C est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne x. 5

6 Figure 4 Diagramme en boîte et moustaches. Exercice 4. Montrer que v x = 1 N ( N x 2 k k=1 ) ( x) 2. Remarque : La variance est une somme de termes positifs, donc c est un nombre positif. Plus elle est grande, plus la variable est dispersée autour de sa moyenne. Écart-type empirique. L écart-type empirique de la variable X est le nombre σ x = v x. 6

7 Remarque : Si la variable x possède une dimension, alors la variance est homogène à x 2, alors que l écart-type est homogène à x. Donc l écart-type a la même dimension que x. Exercice 5. Une classe est partagée en deux demi-groupes. Leurs notes au premier devoir de mathématiques sont : Groupe 1 : 11,14,13,8,16,8,13,14,13,15,11,12. Groupe 2 : 6,4,7,19,20,18,17,4,15,15,16,7. 1. Calculer la moyenne de chaque groupe. 2. Représenter les notes de chaque groupe dans deux diagrammes en barres. 3. Calculer la variance et l écart-type de chaque groupe. Éléments de réponse : les moyennes sont identiques sur les deux groupes, et valent 12,33. Les variances valent respectivement 6,24 (écart-type : 2,50) et 38,25 (écart-type : 6,18). Les deux diagrammes sont très différents. Dans le premier groupe, les notes sont très concentrées autour de la moyenne. Dans le deuxième groupe, elles sont très dispersées. 2 Statistique bivariée Dans cette section, on observe deux caractères quantitatifs X et Y sur un échantillon représentatif d une population. On obtient une série statistique double. Si l échantillon est de taille N, alors on obtient un ensemble de couples : {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x N, y N )}. 2.1 Représentation graphique : nuage de points. Une série statistique double peut être représentée par un nuage de points de R 2. La série ci-dessus est représentée par un nuage de points de coordonnées (x k, y k ), pour k variant de 1 à N. Exemple : On relève la taille et le poids de 10 personnes. Les résultats sont résumés dans le tableau suivant : 7

8 taille (cm) poids (kg) Le nuage de points correspondant est donné par la figure 5. Les points sont les petits carrés. Figure 5 Nuage de points (taille,poids). Point moyen du nuage. Le point de coordonnées ( x, ȳ) est appelé point moyen du nuage, ou centre de gravité du nuage. Sur la figure 5, le point moyen du nuage est le losange. Ses coordonnées valent (169.3, 69.3). 2.2 Caractéristiques d une série statistique double Covariance empirique du couple de variables (X, Y ). On appelle covariance empirique du couple (X, Y ) le nombre noté c x,y défini par : c x,y = 1 N N (x k x)(y k ȳ). k=1 8

9 Exercice 6. Montrer que c x,y = 1 N x k y k xȳ. N k=1 Coefficient de corrélation empirique des variables X et Y. On appelle coefficient de corrélation empirique des variables X et Y le nombre noté ρ x,y, défini par : ρ x,y = c x,y σ x σ y. Ce nombre appartient à l intervalle [ 1, 1]. Nous allons voir plus loin quelles informations il donne sur la série statistique. 2.3 Droite de régression linéaire Lorsque les observations (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) de deux variables X et Y se représentent par un nuage de points presque alignés, on se pose la question de trouver la meilleure droite représentant l alignement. exemple : X Si on obtient la série de donées suivantes : alors le nuage de points Y correspondants est donné par la figure 6. On constate sur cette figure que les points sont presque alignés. La droite de la figure 6 est la droite "la plus proche" des points. Elle a pour équation : y = 3.0x Reste à définir ce que signifie "droite la plus proche" du nuage de points. Supposons que Y est une fonction affine de X, c est à dire qu il existe deux nombres réels α et β tels que Y = αx + β. Chacun des couples (x k, y k ) présente une erreur (éventuellement nulle si le point correspondant est sur la droite) par rapport à cette loi. Appelons ε k cette erreur. Donc pour tout entier k entre 1 et N, on a : On cherche le couple (α, β) qui minimise la quantité y k = αx k + β +ε }{{} k. équation de la droite N ε 2 k. La droite correspondante est est appelée droite de régression linéaire (ou droite de moindres carrés) de Y par rapport à X. Elle est obtenue pour : α = c x,y et β = ȳ α x. v x k=1 Exercice 7. Montrer que la droite de régression passe par le centre de gravité du nuage de points. Exercice 8. Représenter les ε k sur la figure 6. Intérêt du coefficient de corrélation. Une fois la droite de régression obtenue, on veut quantifier la pertinence de l approximation. Le coefficient de corrélation indique si l approximation est bonne ou non. On sait qu il est dans l intervalle [ 1, 1]. S il est en valeur absolue proche de 1, alors l approximation est bonne. Plus précisemment : - si tous les points du nuage appartiennent à la droite, et que celle-ci a une pente positive, alors ρ x,y = 1. - si tous les points du nuage appartiennent à la droite, et que celle-ci a une pente négative, alors ρ x,y = 1. Exemples : Dans l exemple précédent (celui de la figure 6), le coefficient de corrélation vaut 0, 98. Il est très proche de 1. On peut donc raisonnablement conclure que les variables X et Y sont corrélées linéairement. La 9

10 Figure 6 Nuage de points et droite de régression. relation Y = 3.0X semble être un bon ajustement. Les variables de la figure 7 ont un coefficient de corrélation qui vaut 0, 96. Il est très proche de 1. Cela veut dire que les variables sont corrélées linéairement. La droite de régression a pour équation y = 2.0x Donc la relation Y = 2.0X semble être un bon ajustement. Les variables de la figure 8 ont un coefficient de corrélation qui vaut 0, 09. Il est très proche de zéro. Cela veut dire que les variables ne sont pas corrélées. On voit d ailleurs que les points sont très éloignés de la droite de régression. 10

11 Figure 7 ρ x,y = 0, 96. Droite de régression : y = 2.0x Changement de variable pour se ramener au cas linéaire Il n y a pas que la répartition linéaire mais c est la seule visible à l oeil nu. De plus, c est la seule pour laquelle nous avons un outil pour établir la tendance (droite de régression) et quantifier la pertinence de cette tendance. Ainsi, lorsque le nuage de points ne semble pas représenter une droite, on cherchera à se ramener à une tendance linéaire grâce à un changement de variable. Par exemple, cela sera possible pour des ajustements de la forme : Y = ax 2 + b Y = be ax 11

12 Figure 8 Ici, le coefficient de corrélation vaut ρ x,y = 0, 09 Y = ln(ax + b) Y = 1 ax + b Y a = kx b etc... Exercice 9. Loi SPAR (extrait du livre Mathématiques, Méthodes et Exercices. A.Bégyn, R.Leroy, G.Connan). 12

13 Plus une région est vaste, plus le nombre d espèces y vivant est grand. Pour modéliser mathématiquement ce phénomène (et mesurer ce qu on appelle la biodiversité), les scientifiques utilisent régulièrement la loi SPAR ("species-area relationship"). Elle stipule que si S représente la surface de la région à étudier et N le nombre d espèces présentes dans cette région, alors on a : N = CS α où C et α sont des constantes à ajuster selon la région étudiée. On demande à des élèves de BCPST de vérifier cette loi pour les plantes présentes dans une prairie. Les données récoltées sont résumées dans le tableau suivant, exprimant le nombre de plantes différentes présentes N en fonction de la surface S de la prairie étudiée : Surface S (en m 2 ) Nombre d espèces N Afin de mettre en évidence la relation donnée par la loi SPAR, on décide de procéder à une régression linéaire de ln N sur ln S. 1. Expliquer l intérêt de cette régression linéaire. 2. Tracer le nuage de points correspondant aux variable ln S (en abscisse) et ln N (en ordonnée), ainsi que la droite de régression linéaire. 3. Combien vaut le coefficient de corrélation linéaire? Que peut-on en déduire? 4. Donner une approximation de C et α. 13

14 Corrigé : Loi SPAR 1. Si la loi SPAR s applique, alors N ne dépend pas linéairement de S. On voit d ailleurs sur la figure 9 que le nuage de points de coordonnées (N, S) ne laisse apparaître aucune tendance affine. Par contre, en composant par ln la relation, on obtient : ln(n) = ln C + α ln(s). Donc ln(n) est une fonction affine de ln(s). La méthode de régression linéaire est donc bien adaptée aux variables ln(n) et ln(s). 2. Le nuage de points, ainsi que la droite de régression, sont donnés par la figure 10. L équation de la droite de régression est donnée sur la figure, les coefficients étant des valeurs approchées à 10 3 près. 3. Coefficient de corrélation : ρ est une valeur approchée à 10 3 près par excès. Ce coefficient est très proche de 1, ce qui signifie que l approximation affine est pertinente. 4. Puisque l approximation est pertinente, on a des valeurs approchées de C et de α. On a obtenu : ln N ln(s) On en déduit une approximation des constantes : C e et α

15 Figure 9 N en fonction de S 15

16 Figure 10 ln(n) en fonction de ln(s) 16