Deuxième partie : géométrie

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1 nnée lasses de 3èmesD,E&H émo DN Deuxième partie : géométrie ollède Zéna 'Déré PNDZI YTTE

2 NFIGURTIN DE PYTHGRE 1. Pour calculer la longueur d un côté dans un triangle rectangle : Téorème de Pytagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l ypoténuse (le côté opposé à l angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ex 1 alculer la longueur de l ypoténuse : est un triangle rectangle en, = 5 et = 7 D après le téorème de Pytagore, = + = = 5+49=74 et donc = 74 8,6. Ex alculer la longueur d un côté de l angle droit : est un triangle rectangle en, = 13 et = 5 d après le téorème de Pytagore, on a = = 13 5 = = 144 et donc = 144=1.. Pour démontrer qu un triangle est rectangle : 7 cm 13 cm Réciproque du téorème de Pytagore Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé au plus grand côté Ex : Dans un triangle, on a = 6, = 8 et = 10. Le plus long côté est [ ]. n calcule : = 10 = 100 d une part, et + = = = 100 d autre part. n constate que + = ; d après la réciproque du téorème de Pytagore, ce triangle est rectangle en. 3. Pour montrer qu un triangle n est pas rectangle : 10 cm 8 cm ontraposée du téorème de Pytagore Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n est pas rectangle. Ex : Soit un triangle tel que = 4, = 5 et = 6. Le plus long côté est [ ]. n calcule : = 6 = 36 d une part, et + = = 16+5 = 41 d autre part. n constate que +. r, si le triangle était rectangle, le téorème de Pytagore nous dirait que cette égalité est vraie. omme ce n est pas le cas, on peut en conclure que le triangle n est pas rectangle. 4 cm

3 NFIGURTIN DE THLÈS 1. Pour calculer la longueur d un côté dans un triangle : Téorème de Talès Soient deux droites () et (N ) sécantes en un point, telles que les droites ( N ) et ( ) soient parallèles. lors les rapports suivants sont égaux : = N = N (autrement dit, les longueurs des côtés des triangles N et sont proportionnelles). Ex : est un triangle, [], N [ ], = 5, N = 6, = 8, = 4 ; de plus, les droites ( N ) et ( ) sont parallèles. D après le téorème de Talès, = N = N et donc N = = 5 8 4=,5 et = N = 6 8 5= 3,75.. Pour démontrer que deux droites sont parallèles : Réciproque du téorème de Talès N 8 cm Si les points, et d une part, et les points N, et d autre part, sont alignés dans le même ordre, et si les rapports N et sont égaux, alors les droites ( N ) et ( ) sont parallèles. Ex : Les points, et d une part, et les points N, et d autre part, sont alignés dans le même ordre. De plus, = 5, N = 6, = 7,5 et = 9. n calcule : = 5 7,5 = 3 d autre part. n constate que N d une part, et = 6 9 = 3 = N ; d après la réciproque du téorème de Talès, les droites ( N ) et ( ) sont parallèles. 3. Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles : 4 cm N 9 cm 7, Soient deux droites () et (N ) sécantes en un point. Si les rapports et ne sont pas égaux, alors les droites ( N ) et ( ) ne sont pas parallèles. N ontraposée du téorème de Talès Ex : est un triangle, [], N [ ], = 5, N = 6, = 8, = 9. n calcule : = 5 N 8 d une part, et = 6 9 = 3 d autre part. n constate que N ; r, si les droites ( N ) et ( ) étaient parallèles, le téorème de Talès nous dirait que cette égalité est vraie. omme ce n est pas le cas, on peut en conclure que les droites ne sont pas parallèles. 9 cm N 8 cm

4 TRIGNÉTRIE DNS LE TRINGLE RETNGLE Définition Soit un triangle rectangle en ; on noteraαla mesure l angle aigu. lors les rapports de longueurs, et ne dépendent que de l angleα, et on a : ôté adjacent cosα= Hypoténuse = ôté opposé sinα= ôté opposé Hypoténuse = ôté adjacent tanα= ôté opposé ôté adjacent = Hypoténuse α Pour calculer la mesure d un angle dans un triangle rectangle : Par exemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 1 cm et = 1. lors on peut calculer la mesure de l angle en utilisant la formule de la tangente : tan = = 1 16 = 0,75 d où (calculatrice) 36,9. Pour calculer la longueur d un côté dans un triangle rectangle : Par exemple, supposons que dans le triangle rectangle en, on ait = 1 cm etα= = 30. lors on peut calculer la longueur du côté [ ] en utilisant la formule de la tangente : tanα=tan = Propriétés Siαest la mesure (en degrés) d un angle aigu : 0<cosα<1 et 0<sinα<1 cos α+sin α=1 d où = tan α = 1 tan cm tanα= sinα cosα Valeurs exactes des cosinus, sinus et tangentes d angles remarquables : esure de l angle (en degrés) Sinus de l angle osinus de l angle Tangente de l angle

5 P LYGNES RÉGULIERS Définition Un polygone régulier est un polygone dont tous les sommets sont sur un même cercle et dont tous les côtés ont la même longueur. Quelques polygones réguliers à connaître : Le triangle équilatéral Le carré L exagone régulier L octogone régulier Propriété Tous les angles au centre d un polygone régulier sont égaux. Si n est le nombre de côtés de ce polygone, alors l angle au centre est égal à 360 n

6 NGLES INSRITS Propriété : triangle inscrit dans un demi-cercle Soit un cercle. Si un triangle a pour sommets deux extrémités du cercle, et si son troisième sommet est sur le cercle, alors le triangle est rectangle en ce troisième sommet. Remarque : cette propriété est un cas particulier du téorème de l angle inscrit, énoncé plus bas. Vocabulaire Soit un cercle de centre. n dit qu un angle est inscrit dans le cercle lorsque son sommet appartient au cercle et lorsque [ ] et [] sont des cordes du cercle. n dit que l angle intercepte l arc. L angle est l angle au centre associé à l angle inscrit : ces deux angles interceptent le même arc. Téorème de l angle inscrit Dans un cercle, la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre associé : = 1. En conséquence, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ces deux angles sont égaux : = N Illustration : N Les angles et N sont inscrits dans le cercle, et interceptent le même arc. es deux angles sont donc de même mesure.

7 IRES & VLUES Nom de la figure Représentation ire Trapèze de petite base b, de grande base et de auteur b (+ b) = Parallélogramme de côté c et de auteur relative à ce côté c = c Losange de côté c, de grande diagonale D et de petite diagonale d d D = d D L Rectangle de longueur L et de largeur l l = L l c arré de côté c = c Triangle de côté c et de auteur relative à ce côté c = c ercle et disque de rayon r r =πr (Périmètre : P = πr )

8 Nom du solide Représentation Volume Parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de auteur. Le cube de côté c en est un cas particulier (L= l = = c). L l V = L l (Pour le cube de côté c : V = c 3 ) Prisme est l aire d une base et la auteur du prisme. V = ylindre est la auteur du cylindre, et r est le rayon du disque de base r V =πr ône r est le rayon du disque de base et la auteur du cône. r V = 1 3 πr Pyramide est l aire de la base et la auteur de la pyramide. V = 1 3 Spère ou oule de centre et de rayon r r V = 4 3 π r 3 (ire : = 4πr ) grandissement-réduction ppliquer un agrandissement à une figure ou à un solide, c est multiplier toutes ses dimensions par un nombre k supérieur à 1. ppliquer une réduction à une figure ou à un solide, c est multiplier toutes ses dimensions par un nombre k compris entre 0 et 1. Lorsque l on réduit ou agrandit une figure d un rapport k, alors l aire de cette figure est multipliée par k. Lorsque l on réduit ou agrandit un solide d un rapport k, alors le volume de ce solide est multiplié par k 3.