EMLYON 2016 S. Premier problème. Éléments de correction

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1 EMLYON 26 S Éléments de correction ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 25/26 Premier problème Première partie Les deux équations forment un système linéaire d inconnue (P, P 2 ), que l on résoud sans difficulté : { { { P + P 2 = I 3 P + P 2 = I 3 P = 4P + 9P 2 = A }{{} 5 3 A) 5P 2 = A 4I 3 P 2 = (A 4I L 2 L 2 4L 5 3) On obtient : P = et P 2 = 2 a Le calcul donne P 2 = P, P P 2 = P 2 P = et P 2 2 = P 2 b On démontre le résultat par récurrence sur k N Il est vrai aux rangs k = et k = par définition de P et P 2 et, s il est acquis à un rang k N, alors d après a : A k+ = AA k = (4P + 9P 2 )(4 k P + 9 k P 2 ) = 4 k+ P k P P k P 2 P + 9 k+ P 2 2 = 4 k+ P + 9 k+ P 2, ce qui constitue le résultat au rang k + 3 Un calcul similaire à celui mené en 2b, à partir des relations établies en 2a, montre que la matrice B = 4P + 2 9P 2 = 3 2 vérifie B 2 = 4P + 9P 2 = A 4 La matrice A étant triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 4 et 9 Deuxième partie 5 Les applications P P(f ) et P m i= P(λ i)p i, linéaires de R m [X] dans L(E), coïncident par hypothèse sur les vecteurs, X, X 2,, X m de la base canonique de R m [X] Elles sont donc égales sur R m [X] : P R m [X], P(f ) = m P(λ i )p i Remarque Bien entendu, on peut établir ce résultat en décomposant P sur la base canonique : P = m k= a kx k 6 Comme le polynôme N, de degré m, s annule en chacun des réels λ,, λ m, la formule de question 5 s applique et donne N(f ) = 7 a On peut noter pour commencer que pour tout i, n, M i (λ i ) car λ,, λ m sont deux-à-deux distincts par hypothèse, ce qui assure que L i est bien défini Il apparaît sur la définition que λ j est racine de M i pour tout j i, si bien que : i, j, n, L i (λ j ) = { i= M M i(λ i) i(λ i ) = si i = j si i j b Dans la somme apparaissant dans la formule de la question 5 appliquée au polynôme L i R m [X], i n : L i (f ) = m L i (λ j )p j, tous les termes sont donc nuls sauf celui d indice j = i et il reste donc : L i (f ) = p i j=

2 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 2 8 a C est l hypothèse appliquée à k = : b D après a, d où E = m i= Im p i 9 a On obtient immédiatement : x E, b D après les questions 6, 7b et a, e = f = m λ i p i = m p i i= i= x = e(x) = m p i (x) m Im p i i= i= N = (X λ i )M i = M i (λ i )(X λ i )L i (f λ i e) p i = (f λ i e) L i (f ) = ( (X λ i )L i ) (f ) = M i (λ i ) N(f ) = d où il ressort que Im p i Ker(f λ i e) Par hypothèse, les endomorphismes p,, p m sont non nuls L inclusion de la question 9b assure alors que Ker(f λ i e) {} pour tout i, m Chacun des réels λ,, λ m est donc valeur propre de f Par ailleurs, il ressort des questions 8b et 9b que les sous-espaces propres E λi (f ) = Ker(f λ i e), i m, engendrent E Comme ces sous-espaces sont en somme directe par théorème, ils sont donc supplémentaires dans E : E = m Ker(f λ i e), i= ce qui signifie que l endomorphisme f est diagonalisable de valeurs propres λ,, λ m En affinant un peu l argument précédent, on justifie que les sous-espaces Im p i sont supplémentaires dans E En comparant les deux relations m m dim(im p i ) = dim E et dim E λi (f ) = dim E i= où dim(im p i ) dim E λi (f ) pour tout i, m, on obtient alors dim(im p i ) = dim E λi (f ) pour tout i, m On a donc égalité des dimensions dans l inclusion de la question 9b, d où l on déduit que E λi (f ) = Im p i pour tout i, m a Pour i j, m, le polynôme L i L j qui admet les réels deux-à-deux distincts λ,, λ m pour racines, est multiple de N = m k= (X λ k) : il existe Q i,j R[X] tel que L i L j = Q i,j N et alors, d après 6 et 7b, p i p j = L i (f ) L j (f ) = (L i L j )(f ) = (Q i,j N)(f ) = Q i,j (f ) N(f ) = b D après 8a et a, ( m ) i, m, p i = e p i = p j p i = n p j p i = p i p i c D après a, b et par linéarité de p i, ( m ) i, m, p i f = p i λ j p j = m λ j p i p j = λ i p i 2 On démontre le résultat par récurrence sur k, celui-ci étant valable aux rangs k m par hypothèse S il est acquis à un rang k alors, d après c, ( m ) f k+ = f k f = λ k i p i f = m λ k i (p i f ) = m λ k+ i p i, ce qui constitue le résultat au rang k + et achève donc la récurrence En raisonnant comme en 5, on en déduit que : P R[X], P(f ) = m P(λ i )p i i= j= j= i= i= i= j= j= i=

3 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 3 Troisième partie 3 L application ϕ est bilinéaire par linéarité des p i, i m, et bilinéarité du produit scalaire, Elle est symétrique par symétrie du produit scalaire, Enfin, pour x E, ϕ(x, x) = m p i (x) 2 i= en notant la norme euclidienne associée au produit scalaire, Si ϕ(x, x) =, alors chacun des réels positifs p i (x) 2, i m, est nul, ce qui signifie que p i (x) = pour tout i, m, et implique x = m i= p i(x) = Toutes les conditions sont donc réunies pour que ϕ soit un produit scalaire sur E 4 Pour x, y E, on observe d après c que ϕ ( f (x), y ) = m (p i f )(x), p i (y) = λ i p i (x), p i (y) i= i= est une expression symétrique en x, y L endomorphisme f est donc symétrique pour le produit scalaire ϕ, ce qui justifie de nouveau que f est diagonalisable 5 La question b justifie déjà que p i est un projecteur, nécessairement sur Im p i = Ker(p i e) parallèlement à Ker p i Par ailleurs, ces deux sous-espaces sont orthogonaux pour le produit scalaire ϕ car, d après a, (x, y) Im p i Ker p i, ϕ(x, y) = m p j (x), p j (y) = m ( pj pi (x) ), p j (y) = p i (x), = d où le résultat j= j= Deuxième problème Première partie Pour x, la série ( ) n+ diverge grossièrement : n x ( )n+ n x { si x = + si x < 2 a Il vient : p N, u 2(p+) u 2p = (2p + ) x (2p + 2) x alors que : p N, u 2(p+) u 2p = (2p + ), x (2p) x ce qui établit la croissance de (u 2p ) p et la décroissance de (u 2p ) p Enfin, u 2p u 2p = (2p) x p ce qui achève de montrer que les deux suites (u 2p ) p et (u 2p ) p sont adjacentes Par théorème, elles convergent alors toutes deux vers une limite commune S(x) b Pour ε > donné, la convergence de (u 2p ) p et (u 2p ) p vers S(x) donne l existence de deux entiers p, p 2 N tels que : p p, u2p S(x) ε et p p 2, u2p S(x) ε En notant n = max(2p, 2p 2 ), on a alors, en distinguant les cas selon la parité de n : n n, u n S(x) ε

4 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 4 c La question b établit la convergence de la suite (u n ) n N des sommes partielles de la série ( ) n+ n x, laquelle est donc convergente Sa somme est la limite de la suite des sommes partielles : S(x) = n= ( ) n+ n x d Les suites (u 2p ) p et (u 2p ) p étant adjacentes, leurs termes encadrent leur limite commune, et plus précisément par croissance de la première et décroissance de la seconde : p N, u 2p S(x) u 2(p+) = u 2p+ u 2p e Les inégalités de la question d donnent, pour n = 2p, p, S(x) u 2p u 2p+ u 2p = (2p + ) x alors que pour n = 2p, p, (2p) x = u 2p u 2p S(x) u 2p Dans les deux cas, S(x) u n et l inégalité est donc valable pour tout n N f D après la question e, il suffit que (n + ) x ε n (n + ) x ε /x pour que u n soit une valeur approchée de S(x) à la précision ε, ce qui conduit au code ci-dessous : Listing : calcul d une valeur approchée de S(x) function y=evals(x,eps) y=; // initialisation des sommes partielles for k=:(floor(/eps^(/x))) y=y+(-)^(k+)/k^x; end endfunction 3 Pour x R + et p N, il vient : d où 2p k= ( ) k+ k x = 2p k= k 2p k impair k x k 2p k pair k 2p k impair p k = x j= ( ) k+ ( p p = k x j= (2j ) + x j= ( = k + x k 2p k pair p (2j ) x ) (2j) x ) 2 k x 2 x j= p k= n k= p (2j) = x (2k) x 2 x k= (2k ) x 2 x p k= k x 2p k = x k= k x 2 x 4 a Pour n N, la seconde formule de la question 3 appliquée à p = n et x = donne, en décalant les indices après simplification : v n = 2n ( ) k+ = 2n k= k k= k n k= k = 2n k=n+ k = n k= n + k = n n k= + k n b La question a fait apparaître v n comme somme de Riemann associée à la fonction t, continue +t sur le segment [, ] Par théorème, on a donc : v n ˆ dt + t = ln 2 p k= k x p k= k x

5 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 5 Sachant par ailleurs que (v n ) n = (u 2n ) n converge vers S(x) d après 2a, on en déduit par unicité de la limite que S() = ln 2 5 D après le résultat admis, n lim k= k = lim 2n 2 k= k = π2 2 6 d où, en passant à la limite lorsque p = n dans la formule de la question 3 avec x = 2, la valeur de ( S(2) = ) π = π2 2 Deuxième partie 6 La fonction g x : t tx est continue sur ], + [ +e t Lorsque t, g x (t) l intégrale g x(t) dt converge si, et seulement si, x < ie x > Lorsque t +, g x (t) t x e t = o ( 2t x si bien, par comparaison à l intégrale de Riemann dt, que t x ), ce qui justifie la convergence de l intégrale t 2 + g x (t) dt par comparaison à l intégrale de Riemann convergente + dt t 2 En conclusion, l intégrale + g x (t) dt converge si, et seulement si, x > 7 a Pour t > et n N, on a e t d où : ( ) n g x (t)e nt + n n ( ) k+ t x e kt = ( ) n g x (t)e nt t x ( e t ) k k= k= = ( ) n g x (t)e nt + t x e t ( e t ) n + e t = ( ) n g x (t)e nt + g x (t) ( ( ) n e nt) = g x (t) b Pour k N, le changement de variable affine u = kt apporte à la fois la convergence et la valeur de l intégrale ( u ) xe t x e kt u dt = du k k = u x e u du = Γ(x + ) k x+ kx+ En effet, l intégrale définissant Γ(x + ) converge puisque x > par hypothèse c Pour n N, la fonction t g x (t)e nt est continue sur ], + [ avec : t >, g x (t)e nt = tx + e t e nt t x e nt d où l on déduit, d après la question b, la convergence de l intégrale + g x (t)e nt dt et les inégalités g x (t)e nt dt Il en ressort par encadrement que : lim t x e nt dt = Γ(x + ) n x+ g x (t)e nt dt = d Il vient d après a, toutes intégrales convergentes vu b et c : I(x) = ˆ g x (t) dt = ( ) n g x (t)e nt dt + n + ( ) k+ t x e kt dt ( n = ( ) n g x (t)e nt dt + k= k= ( ) k+ k x+ ) Γ(x + ) d où, par passage à la limite lorsque n, vu 2c et c, ( ( ) n+ ) I(x) = Γ(x + ) = S(x + )Γ(x + ) n x+ n= 8 D après les questions 5 et 7d, I() = S(2)Γ(2) = π2 2

6 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 6 9 Il vient immédiatement : t R, f ( t) = ce qui prouve que la fonction f est paire Troisième partie e t ( + e t ) 2 = e t e 2t ( + e t ) 2 = La fonction f est continue et positive sur R De plus, ˆ f (x) dx = + e + k x e t (e t + ) 2 = f (t) admet des limites finies en et +, ce qui justifie la convergence de l intégrale f (t) dt = lim x + La fonction f est donc une densité de probabilité + e x lim x La fonction de répartition F X de X est donnée par : ˆ x [ ] x x R, F X (x) = f (t) dt = + e t = ( ) = + ex = + e x = ex + e x = + e x 2 a La fonction t t n f (t) est continue sur [, + [ avec t n f (t) t n e t = o ( ) lorsque t 2 t +, ce qui assure la convergence de l intégrale + t n f (t) dt par comparaison à l intégrale de Riemann convergente + dt t 2 Grâce au changement de variable affine u = t, on en déduit par parité de f la convergence de l intégrale ˆ ˆ t n f (t) dt = ( u) n f ( u) du = ( ) n u n f (u) du, () donc de tn f (t) dt et finalement celle de l intégrale + tn f (t) dt, ce qui signifie que la variable X admet un moment d ordre n b D après la formule (), m n (X) = ˆ t n f (t) dt + Il en ressort pour n impair que : p N, m 2p+ (X) = c Par intégration par parties sur [, x] [, + [, il vient : ˆ x t 2p e t [ ( + e t ) dt = t 2p ] x ˆ x 2pt 2p 2 + e t d où, par passage à la limite lorsque x +, Vu la relation (2), on en déduit que : t 2p f (t) dt = 2p m 2p (X) = 2 t n f (t) dt = ( ( ) n + ) t n f (t) dt (2) x2p dt = + et t 2p dt = 2pI(2p ) + et t 2p f (t) dt = 4pI(2p ) ˆ x + e + 2p x t 2p + e t dt 3 Les questions 2b et 2c donnent l existence et la valeur de E(X) = m (X) = et de E(X 2 ) = m 2 (X) = 4I() = π2 On en déduit, d après la formule de Kœnig-Huygens, l existence et la valeur de 3 V(X) = E(X 2 ) E(X) 2 = π2 3 4 a Pour n N, il vient classiquement par indépendance de X,, X n : x R, F Yn (x) = P(Y n x) = P ( max(x,, X n ) x ) = P(X x,, X n x) = P(X x) P(X n x) = F X (x) n

7 ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles EMLYON 26 S 7 On en déduit, d après la question, que : x R, F Zn (x) = P(Z n x) = P(Y n x + ln n) = F X (x + ln n) n = ( + e x n b Pour x R, il vient d après a : [ )] [ ( F Zn (x) = exp n ln ( + e x e x ( ))] = exp n n n + o n = exp ( e x + o() ), n exp( e x ) La fonction limite F : x exp( e x ) est croissante et de classe C sur R, de limites respectives et en et + C est donc la fonction de répartition d une variable Z à densité f Z : x R e x exp( e x ) La limite obtenue ci-dessus établit la convergence en loi de la suite (Z n ) n N vers la variable Z ) n