Une notion de fonction en sciences. Fonctions : domaine, opérations, parité périodicité extrema, fonctions élémentaires

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1 Fonctions : domaine, opérations, parité périodicité extrema, fonctions élémentaires Présentation provisoire Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, le mars 05 Une notion de fonction en sciences En sciences, les fonctions sont utilisées pour exprimer des dépendances entre des variables. Pour faire court, disons que ces variables sont des quantités mesurables (taille, poids, pression, température,...) Exemple I : soit X la variable heure de la journée, et Y la variable température. La variable Y s exprime en fonction de X : à chaque mesure de l heure correspond une seule mesure de la température (toutes choses étant égales par ailleurs). Exemple II : on peut mesurer la température d ébulition de l eau à des altitude différentes. On dit alors que X est la variable indépendante et Y la variable dépendante. On écrira une équation Y = f (X) ou Y = Y (X). En mathématique, la notion de variable est plus difficile à définir. On considère alors une relation qui précise tous les couples de mesures (temps,température) ou (altitude, pression) possibles. On n écrit pas une équation. Fonctions et relations I : produit cartésien Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien des ensembles A et B l ensemble A B := {(a, b) a A, b B}. C est donc simplement l ensemble des couples dont le premier élément est dans A et le deuxième dans B. Voici des exemples. Si A = {,, } et B = {4, 5}, on a A B = {(, 4), (, 5), (, 4), (, 5), (, 4), (, 5)}. Si on pose A = {lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche} et B = {bleu, noir, vert, rien}, alors A B = {(lundi, bleu), (lundi, noir), (lundi, vert), (lundi, rien), (mardi, bleu),...}, et cet ensemble contient les 8 couples possibles. Si A = B = R, alors A B = R. Relations : définitions Une relation entre de l ensemble des jours dans l ensemble des couleurs : {(lundi, bleu), (lundi, noir), (lundi, vert), (mardi, noir), (mercredi, vert), (mercredi, bleu), (jeudi, vert), (vendredi, noir), (samedi, rien), (dimanche, rien)}. Une relation R de A dans B est une partie de A B. On appelle A l ensemble de départ et B l ensemble d arrivée de R. Si le couple (a, b) est dans R, on note arb et on dit que a est en relation avec b. On a donc R = {(a, b) A B arb}. 4

2 Représentation sagittale ou géométrique On dessine une flèche de a vers b si arb : Jours L M M J V S D B N V R Couleurs On peut aussi représenter les couples comme en géométrie : Encore des exemples Soit R la relation de R dans R définie par xry x + y =. Soit la relation R définie de A = [ 4, 4] dans B = [0, ] par Elle se représentent visiblement par xr y y x = 0. Rien Vert Noir B R Bleu L M M J V S D 4 5 A 5 La couleur des chaussettes n est pas déterminée en fonction du jour! Domaine, image, réciproque Relations et fonctions Soit R une relation de A dans B. Le domaine de R l ensemble des points x de A qui sont en relation avec au moins un élément y de B. On le note dom R ou D R. On a dom R = D R = {x A y B : xry}. L image de R l ensemble Im(R) des points y de B tels qu il existe au moins un élément x de A qui soit en relation avec y. On a Im(R) = {y B x A : xry}. La relation réciproque (ou inverse) est la relation R de B dans A définie par yr x xry. Dans ce qui suit, les ensembles A et B considérés seront inclus dans R. Les fonctions de A dans B correspondent à des relations particulières. Soient A et B deux ensembles. Une relation R de A dans B est le graphe d une fonction f, si pour tout x dans A, il existe au plus un y dans B tel que xry. Si x est dans dom R, il existe exactement un y dans B tel que xry; on note alors y par f (x) et on dit que y est l image de x par f. On note aussi R = G f ; On définit D f = dom f = dom R et on a G f = R = {(x, f (x)) : x A dom f }. Exemple : Déterminer le domaine et l image des relations précédentes. 7 8

3 9 Fonctions en mathématique : second point de vue Une deuxième définition est utilisée en mathématique. Une fonction de A dans B est une loi qui a tout élément x de A associe (au plus) un élément f (x) de B. On note alors f : A B : x f (x), pour spécifier que f est une fonction de A dans B, qui à tout x A associe f (x). Si f est une telle loi, alors on peut définir une relation par R = {(x, y) R : y = f (x)}. C est le graphe d une fonction, et cette fonction est f. Quel que soit le point de vue, quand on écrit f (x), x est un nombre, f (x) est un nombre, et la fonction est f. D ailleurs, on peut remplacer x et y par n importe quelle lettre. Deux fonctions f et g sont égales si elles ont même domaine et si on a f (x) = g(x) pour tout x dom(f ). 0 Représentations graphiques Quel que soit le point de vue utilisé pour définir une fonction de R dans R, son graphe est {(x, y) R : y = f (x)}. Donc y = f (x) est l équation cartésienne du graphhe de f. Si on se donne un repère (généralement on prend les axes orthogonaux), on peut alors repésenter les points du graphe, comme nous l avons vu en géométrie. On obtient ainsi la représentation graphique de f, que l on appelle encore le graphique de f. f (x) 0 x (x, f (x)) Attention à ne pas confondre le x ci-dessus avec le nom génarlement attribué à l axe des abscisses. (Restriction) Constructions de fonctions I Si f : A B : x f (x) est une fonction et si A A, alors la restriction de f à A est donnée par f A : A B : x f (x). Constructions de fonctions II Soient f et g des fonctions de R dans R, la composée de f et g (f après g) a pour domaine dom f g = dom g {x : g(x) dom f } et est donnée par f g(x) = f (g(x)). La fonction f A est donc la même loi de transformation que f, mais définie sur un ensemble plus petit. (Somme et produit) La condition sur le domaine de f g est claire si on considère que l on transforme x au moyen de g, puis le réultat au moyen de f. Exemple : La fonction Soient f et g des fonctions de R dans R. Les fonctions f + g et f g ont pour domaine dom f dom g. On définit f + g : R R : x f (x) + g(x). On définit le produit f g : R R : x f (x) g(x). En particulier, pour c R, la fonction c f a pour domaine dom f et est définie par c f : R R : x cf (x). i : R R : y y admet R \ {0} comme domaine. Si g : R R est une fonction, alors i g : x g(x) est définie sur dom g {x : g(x) 0}.

4 Parité Une partie A de R est symétrique par rapport à zéro lorsque pour tout x A, on a x A. Exemples :R, ], [, ] 4, [ ], 4[ sont symétriques par rapport à l origine, [, [ et [0, [ ne le sont pas. Une fonction f : R R est paire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si on a f ( x) = f (x) pour tout x dom f. Une fonction f : R R est impaire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si on a f ( x) = f (x) pour tout x dom f. Si A est une partie de R, nous dirons que f est paire (resp. impaire) sur A si la restriction de f à A est paire (resp. impaire). Représentations graphiques et parité Le graphe d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées, c est à dire : (x, y) G f ( x, y) G f. Celui d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine : (x, y) G f ( x, y) G f. Cela se traduit dans la représentation graphique : ( x, f (x)) x x (x, f (x)) Figure: La représentation graphique de la valeur absolue. 4 Périodicité Les fonctions périodiques corespondent aux phénomènes scientifiques qui se répètent à intervalle régulier. Une fonction f : R R est périodique de période T (où T > 0) si pour tout x dom f, x + T dom f et f (x + T ) = f (x). Si f est une fonction périodique, on appelle période de f le plus petit nombre T tel que f soit périodique de période T (s il existe). Exemples : Les fonctions sinus et cosus sont périodiques de période. La fonction f : R R : x sin(x) est périodique de période. La fonction tangente est périodique de période. Croissance, décroissance Soit f une fonction de R dans R et A une partie de R. f est croissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) f (y). f est strictement croissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) < f (y). f est décroissante sur A R si (x, y A et x < y) f (x) f (y). 4 f est strictement décroissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) > f (y). 5

5 Croissance et représentations graphiques Voici la représentation de f définie sur [a, b]. y a x 0 x x x x 4 b x La fonction f est croissante sur [a, x 0 ], [x, x ], [x, x 4 ]; elle est décroissante sur [x 0, x ], [x, x ] et [x 4, b]. Soit f : R R une fonction. Alors Extrema f admet un maximum global (strict) en x 0 si on a f (x) (<)f (x 0 ) pour tout x dom f ; f admet un minimum global (strict) en x 0 si on a f (x) (>)f (x 0 ) pour tout x dom f ; f admet un extremum global en x 0 si elle admet un minimum global ou un maximum global en x 0. 4 f admet un maximum local (strict) en x 0 si il existe un intervalle I tel qu on a f (x) (<)f (x 0 ) pour tout x dom f I; 5 f admet un minimum local (strict) en x 0 si si il existe un intervalle I tel qu on a on a f (x) (>)f (x 0 ) pour tout x dom f I; f admet un extremum local en x 0 si elle admet un minimum local ou un maximum local en x 0 ; 7 8 Extrema et représentations graphiques Voici la représentation graphique d une fonction définie sur un [a, b] : y Fonctions du premier degré On appelle fonction du premier degré toute fonction f : R R : x mx + p, où m et p sont réels (on peut supp. m 0, mais ce n est pas obligatoire). Cette fonction a un domaine égal à R. Sa représentation graphique est une droite. Le nombre p est f (0). On l appelle donc ordonnée à l origine. a x 0 x x x x 4 b x Le nombre m est la pente ou le taux d accroissement. On a en effet pour tous x x La fonction admet des extrema locaux en a, x 0, x, x, x, x 4, b; La fonction admet des minima locaux en a, x, x, b; La fonction admet des maxima locaux en x 0, x, x 4 ; La fonction admet un maximum global (strict) en x 4 ; La fonction admet un minimum global (strict) en x. f (x ) f (x) = (mx + p) (mx + p) = m(x x). Cette fonction est croissante si m > 0 et décroissante si m < 0. Elle est constante si m =

6 Représentation graphique La représentation graphique est donnée par une droite de pente m. Etude du signe : voir les inéquations correspondantes On a f (x) = 0 si, et seulement si x = p m (si m 0). On étudie comme suit: si on pose x 0 = p m, on a f (x) = m(x x 0 ), x R. p m p 0 p 0 p m Donc Pour x > x 0, f (x) a le signe de m; Pour x < x 0, f (x) a le signe de m; Pour x = x 0, f (x) = 0. Sous forme de tableau : f (x) = x +, pour tout x f (x) = x +, pour tout x Une telle fonction est déterminée par ses valeurs en deux points distincts : voir les équations de droites passant par deux points. Elle ne change de signe que si elle s annule. x x 0 x x m signe de m signe de m f (x) signe de m 0 signe de m Fonctions du second degré On appelle fonction du second degré toute fonction f : R R : x ax + bx + c, où a, b, c sont réels (on suppose a 0, sinon on est ramené au cas précédent). Cette fonction a un domaine égal à R. Sa représentation graphique est une parabole. Le nombre c est f (0), c est l ordonnée à l origine. On a pour tout x R. f (x) = a[(x + b a ) + 4ac b 4a ], On a f ( b a + z) = f ( b a z), pour tout z R, donc le graphe de f est symétrique par rapport à la droite d équation x = b a. Extremum et signe La fonction g définie par g(x) = [(x + b a ) + 4ac b 4a ] pour tout x admet un minimum global strict en x = b a. Donc fonction f admet un extremum global strict en x e = b a. C est un minimum si a > 0 et un maximum si a < 0. De plus, on a f (x e ) = 4ac b 4a. L équation f (x) = 0 est une équation du second degré à une inconnue. Nous l avons déjà traitée. Si cette équation admet deux solutions x 0 et x, éventuellement confondues, alors on a f (x) = a(x x 0 )(x x ). Cela permet d étudier le signe de f (x) pour tout x dans R. Ce signe est le signe de a quand x [x 0, x ], voir les inéquations correspondantes. 4

7 Fonctions polynomiales Fractions rationnelles La fonction puissance entière de degré n N = N 0 est définie Son domaine de définition est R. P n : R R : x x } {{ x }. n facteurs C est un produit de fonctions plus simples. En multipliant ces fonctions ar des nombres et en les additionnant on obtient des fonctions polynomiales. P : R R : x c n x n + + c x + c 0. Cette dermière fonction est dite de degré n si c n 0, et son domaine est également R. En utilisant le produit, la fonction i : R R : x x, et les fonctions polynomiales, on obtient les fractions rationnelles, c est à dire les fonctions de la forme Q : R R : x c nx n + + c 0 a m x m + + a 0, dont le domaine est {x R : a m x m + + a 0 0}. 5 La fonction sinus La fonction fonction cosinus Figure: La représentation graphique de la fonction sin (restreinte à [, ]). Figure: La représentation graphique de la fonction cos (restreinte à [, ]). La fonction sin est périodique, de période ; Elle est impaire; Son image est [, ]. La fonction cos est périodique, de période ; Elle est paire; Son image est [, ]. 7 8

8 La fonction tangente La fonction cotangente Figure: La représentation graphique de la fonction tg (restreinte à [, ]). Figure: La représentation graphique de la fonction cotg (restreinte à [, ]). 9 0 Fonctions réciproques (ou inverses) Etant donnée une fonction f : A B, on sait qu il s agit d une relation particulière dans A B. On sait que cette relation admet toujours une relation réciproque. Cette relation réciproque n est pas toujours le graphe d une fonction : La fonction f : R R : x x admet une relation réciproque qui n est pas le graphe d une fonction. La fonction f : [0, + [ [0, + [: x x admet une relation réciproque qui est le graphe d une fonction. Une fonction f : A B est injective si a a A f (a) f (a ). En termes d équations : pour tout y B, l équation y = f (x) admet au plus une solution. Proposition La relation réciproque du graphe de f est le graphe d une fonction si, et seulement si, la fonction f est injective. Dans ce cas, la fonction ainsi définie est la réciproque de f, notée f. Si de plus l image de f est B, on dit que f est une bijection et le domaine de f est B. Fonction arc sinus La fonction sin n est pas une bijection. Mais la restriction de sin à [, ] définit une bijection de [, ] sur son image [, ]. La fonction arcsin (arc sinus) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin à [, ]. Sa représentation graphique s obtient à partir de celle de sin : 0 0 Représentation de sin, sur [, ] Représentation de arcsin, sur [, ] On a déjà vu les propriétés de la fonction arc sinus.

9 Fonction arc cosinus La fonction cos n est pas une bijection. Mais la restriction de cos à [0, ] définit une bijection de [0, ] sur son image [, ]. Fonction arc tangente La fonction arcos (arc cosinus) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos à [0, ]. La représentation graphique est obtenue à partie de celle de cos. On a déjà vu les propriétés de arcos. y 0 x y Représentation de cos, sur [0, ] Représentation de arcos, sur [, ] x 4 La fonction tangente est définie sur ], [. La fonction tangente est strictement croissante et définit une bijection de ], [ sur R. La fonction arctg (arc tangente) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à ], [. On a tg (arctgx) = x, x R; On a arctg(tg x) = x, x ], [. La fonction arctg est croissante. Représentation graphique La fonction racine carrée La représentation graphique de la fonction arctg est obtenue à partir de celle de tg. La fonction f : [0, + [ [0, + [: x x est une bijection. La fonction réciproque est la fonction racine carrée f = : [0, + [ [0, + [: x x. 4 4 On a ( x) = x pour tout x 0. L expression x est définie pour tout x R et vaut x. 5

10 Représentations graphiques On a les représentations graphiques suivantes : 7 (x, x ) Racines p-èmes, p pair Pour tout p entier pair, la fonction f p : R R : x x p définit une bijection de [0, + [ sur [0, + [. La fonction réciproque est la fonction racine p-ème : Elle est définie sur [0, + [. p : [0, + [ [0, + [: x p x. 5 4 (x, x) x 8 x 4 4 x 8 x L expression 4 x 4 est définie pour x < 0, mais ce n est pas x! L expression ( 4 x) 4 n est défini que pour x [0, + [, et c est x. En fait les fonctions qui à x asocient x p et p x respectivement ne sont inverses l une de l autre que sur [0, + [. La fonction La racine cubique f : R R : x x est une bijection. La fonction réciproque est la fonction racine cubique Elle est définie sur R. f = : R R : x x. Racines p-èmes, p impair Pour tout p entier impair, la fonction f p : R R : x x p définit une bijection de R sur R. La fonction réciproque est la fonction racine p-ème : p : R R : x p x. Elle est définie sur R. 5 4 (x, x ) (x, x) 5 4 x 9 x 5 5 x x 9 4 P. Mathonet, Université de Liège, Faculté 5des Sciences, Département de Mathématique