APPLICATION DE LA STATISTIQUE AU TRAITEMENT DES DONNÉES AU LABORATOIRE D'ANALYSES ET EN FABRICATION

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1 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 PPLICTION DE L STTISTIQUE U TRITEMENT DES DONNÉES U LBORTOIRE D'NLYSES ET EN FBRICTION I/ INTRODUCTION L'utilisatio de la statistique pour le traitemet des doées est deveue fodametale au laboratoire d'aalyses et das l'atelier de fabricatio. Les exigeces de l'assurace qualité redet désormais obligatoires la coaissace d'u certai ombre de otios statistiques simples. Ce documet vise à répodre à u certai ombre de problèmes sur lesquelles vot s'articuler les différetes parties: défiir les paramètres statistiques d'ue série de doées représeter ue distributio de fréqueces sous forme d'u histogramme ormalisé défiir les caractéristiques d'ue loi ormale et examier ses limites détermier si ue mesure peut être cosidérée comme aberrate détermier l'itervalle de cofiace d'ue mesure et prévoir commet l'améliorer evisager les risques pris das u test statistique réaliser les tests statistiques de base et motrer leurs ombreux domaies d'applicatio predre e compte la puissace d'u test statistique examier si ue corrélatio existe etre deux gradeurs physico-chimiques O défiit maiteat quelques otios géérales : ue série statistique est ue suite d'observatios idividuelles, doc par exemple ue série de mesures. u échatillo correspod à u ombre fii de mesures : il s'oppose à ue populatio pour laquelle u ombre ifii d'observatios expérimetales devrait être réalisé. e statistiques ue différece fodametale existe etre ue populatio de doées dot o cherche à détermier les caractéristiques et u échatillo qui correspod à u effectif limité de doées : o cherchera doc à estimer des résultats sur ue populatio à partir d'u échatillo. Le problème se pose de savoir das quelle mesure les doées recueillies sur l'échatillo peuvet reseiger sur la populatio d'origie. les erreurs suivates e sot pas du ressort d'ue étude statistique : o erreurs systématiques dues à l'opérateur : par exemple répétitio d'ue erreur de préparatio d'ue solutio due à u maque de formatio - 1 -

2 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 o erreurs systématiques dues à l'istrumet : par exemple décalage d'ue valeur de ph à cause d'ue solutio étalo polluée. o erreurs grossières: par exemple valeurs aberrates obteues e cas d'utilisatio d'u mauvais réactif Toutes ces erreurs doivet être élimiées au préalable avat d'effectuer ue étude statistique valable. - -

3 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 II/ PRMETRES STTISTIQUES D'UNE SÉRIE STTISTIQUE Ue série statistique peut se caractériser par grads types de paramètres: paramètres de positio : ils doet l'ordre de gradeur des observatios et sot liés à la tedace cetrale de la distributio. paramètres de dispersio : ils motret la maière dot les observatios fluctuet autour de la tedace cetrale. O trie das l'ordre croissat les valeurs x i : x 1, x x -1, x 1/ Paramètres de positio médiae : valeur de la variable telle qu'ue moitié des valeurs lui soit supérieure ou égale et l'autre moitié des valeurs lui soit iférieure ou égale. Deux cas apparaisset suivat la parité de. impair : médiae = x + pair : médiae = 1 1 x + x +1 moyee : : effectif total x i= = 1 x i La moyee est très sesible aux valeurs extrêmes. / Paramètres de dispersio quartiles : valeurs Q 1, Q et Q 3 de la gradeur mesurée qui partaget la série statistique e 4 parties d'effectifs à peu près idetiques. Q est la médiae. Le calcul de Q 1 et Q 3 diffère légèremet suivat les auteurs ou les logiciels. Par exemple EXCEL et MINITB e fourisset pas exactemet les mêmes valeurs. Ici o doe la méthode de détermiatio de MINITB O calcule pour le rag de Q1 et 3 pour le rag de Q 3 ; si ces 4 4 gradeurs e sot pas des etiers, les quartiles e sot doc pas des valeurs de la distributio. O réalise alors ue iterpolatio. étedue iterquartile : itervalle coteat la moitié de la populatio autour de la médiae c'est à dire Q 3 Q 1 étedue R : R = x max - x mi - 3 -

4 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 écart-type σ' : le plus utilisé des paramètres de dispersio L'étedue est beaucoup plus facile à calculer mais elle doe ue valeur très imprécise de la "largeur de la répartitio" quad le ombre de valeurs est supérieur à 10. E effet elle e pred e compte que les deux valeurs extrêmes. L'écart-type est beaucoup plus représetatif mais pour l'utiliser das les cartes de cotrôles e productio il faut alors plutôt prévoir u calcul automatique. σ ' = ( xi x) i= 1 variace σ ' : il s'agit de la moyee des carrés des écarts à la moyee. coefficiet de variatio CV : il représete ue sorte d'écart-type relatif pour comparer les dispersios idépedammet des valeurs de la variable. Il s'exprime souvet e pourcetage. écart type CV = moyee Le coefficiet de variatio permet de comparer otammet la précisio de différets dosages effectués avec le même appareil. Das l'exemple suivat tiré d'u laboratoire d'aalyses médicales, o aalyse le taux de prothrombie das le sag (exprimé e %) ; u cotrôle est réalisé sur deux valeurs de la gamme de dosage (valeur basse et valeur haute). O s'aperçoit que la comparaiso de l'écart-type amèe à ue coclusio fausse : la méthode est e fait plus précise pour des valeurs hautes du taux de prothrombie. Taux de prothrombie moyee écart-type CV Cotrôle valeur basse 38,3 3,13 8, % Cotrôle valeur haute 95,9 5,8 5,5 % 3/ utre représetatio des doées : "la boîte à moustaches" Les boîtes à moustaches permettet de comparer visuellemet deux échatillos sur des critères de forme, de dispersio et de cetrage des doées. la bordure iférieure de la boîte représete le premier quartile (Q 1 ) et la bordure supérieure représete le troisième quartile (Q 3 ). La portio du diagramme comprise das la boîte représete doc l'étedue iterquartile ou la moitié cetrale (50 %) des observatios. la lige horizotale qui traverse la boîte représete la médiae des doées

5 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 les liges qui sortet de la boîte sot appelées moustaches. Les moustaches s'étedet vers l'extérieur pour idiquer à, leurs extrémités la valeur la plus basse et la valeur la plus haute das la série (à l'exceptio des valeurs aberrates, voir IV). La boîte à moustaches permet aussi d'évaluer la symétrie des doées : lorsque les doées sot symétriques, la lige médiae se situe à peu près au milieu de la boîte iterquartile et les moustaches sot de la même logueur. si les doées sot asymétriques, il se peut que la médiae e tombe pas au milieu de la boîte iterquartile et ue moustache peut être ettemet plus logue que l'autre. applicatio 1 : o cosidère deux lots de solutios étalos e ios ickel II. O aalyse par spectrophotométrie 16 flacos de chaque lot qu'o souhaite comparer. partir des cocetratios du tableau suivat, o réalise ue boîte à moustaches pour chaque lot. Lot 1 Lot 1,0047 1,0089 0,99 0,9880 1,010 0,993 1,0005 1,0089 0,9911 1,0057 0,9901 1,077 1,010 0,9880 0,9995 1,0057 0,9807 0,9713 0,9984 0,9995 0,9786 0,988 0,969 0,99 0,9838 0,9911 1,0099 1,017 1,0068 0,9870 0,973 0,9943 1,03 Cocetratio e g/l 1,0 1,01 1,00 0,99 0,98 1,0060 0, ,97 Lot 1 Lot Lot Le lot a ue cocetratio moyee plus faible que le lot 1; l'exame des boîtes iterquartiles motre ue répartitio plus symétrique des doées du lot, au mois das la partie cetrale de la distributio. Le calcul des quartiles effectués à l'aide de MINITB motre les résultats suivats : - 5 -

6 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 Lot Q 1 Q Q 3 Lot 1 0,9914 1,006 1,0089 Lot 0,9791 0,9891 0,999 Pour obteir ces résultats il faut classer les 16 valeurs de chaque lot. Pour le lot 1, o obtiet la médiae Q avec la relatio doée plus haut : 1 1 Q = x x = ( x + x ) = 0,5 ( 1, ,0047) 1, 006 = + 1 Pour le quartile Q 1, l'applicatio de la relatio pour détermier le rag etraîe ue valeur de rag de = 4, 5 qui 'est pas etière. Doc Q 1 s'obtiet 4 par iterpolatio etre les valeurs x 4 et x 5 soit 0,9911 et 0,99. Doc Q 1 0,9911+ ( 4,5 4) ( 0,99 0,9911) = 0, 9914 =

7 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 III/ REPRESENTTION SOUS FORME D'HISTOGRMME Pour u ombre élevé de mesures ou s'il y a plusieurs valeurs idetiques, o regroupe parfois les valeurs de la série statistique étudiée e classes. Ue distributio de fréqueces est u tableau des fréqueces associées à ces classes. O doit oter éamois qu'il est préférable de calculer les paramètres statistiques à partir des valeurs idividuelles plutôt qu'à partir des valeurs groupées e classes car o commet forcémet ue erreur e remplaçat toutes les valeurs idividuelles d'ue classe par le cetre de la classe. U histogramme est ue représetatio graphique das laquelle les rectagles représetés ot des largeurs proportioelles aux amplitudes des classes et des aires proportioelles aux fréqueces de ces classes. L'histogramme permet de visualiser rapidemet des doées. Pour ue représetatio correcte d'u histogramme, il faut surtout éviter d'utiliser u ombre de classes mal adapté. Des règles régisset la costructio des histogrammes. ombre de classes k : k avec le ombre total de mesures. Gééralemet o e dépasse pas 0 classes. R itervalle de classe h : h arrodi au multiple immédiatemet k supérieur de la résolutio de mesure où R est l'étedue de mesure. limite iférieure de la première classe : x mi ½ résolutio de mesure applicatio : o mesure à l'itérieur d'ue cuve les valeurs de ph e début de précipitatio pour 60 cristallisatios d'u sulfure métallique. Les valeurs sot reportées das le tableau suivat. U histogramme est esuite tracé. 4,6 4,45 5,08 4,83 4,74 4,68 4,74 4,59 4,77 4,67 5,08 4,79 5,03 5,0 4,74 4,96 4,47 4,60 4,7 4,80 4,43 4,81 4,73 4,83 4,96 4,97 4,88 4,68 4,75 4,79 4,57 4,98 4,84 4,43 4,35 5,11 4,68 4,30 5,0 4,9 4,55 4,91 5,17 4,61 4,56 5,00 4,63 4,71 4,84 5,07 4,88 4,70 4,63 4,85 4,90 4,53 4,67 4,79 4,69 4,43 Le ombre de classe k est: k = 60 8 L'étedue R est: R = 5,0 4,30 = 0,90-7 -

8 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 0,90 L'itervalle de classe h est: h = 0, 1 e arrodissat au multiple 8 immédiatemet supérieur de la résolutio de mesure (0,01 ici). La limite iférieure de première classe est 4,30 0,5. 0,01 = 4,95. O e déduit alors le tableau suivat des classes et effectifs. Itervalle de classe Effectif de la classe 4,95 4,415 4,415 4, ,535 4, ,655 4, ,775 4, ,895 5, ,015 5, ,135 5, Effectif 5 0 4,95 4,415 4,535 4,655 4,775 4,895 5,015 5,135 5,55 ph Das le cas où d'ue utilisatio d'u ombre de classes plus élevé (1 par exemple), o obtiedrait l'histogramme suivat ce qui motre bie l'importace du ombre de classes das l'aspect de l'histogramme

9 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/ Effectif 5 0 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5, 5,3 ph Les histogrammes permettet aussi de relever des aomalies: histogramme bimodal : il révèle ue populatio hétérogèe composé d'u mélage de plusieurs populatios. isi o peut déceler das ue productio livrée u mélage de lots. Das l'exemple précédet u facteur expérimetal o cotrôlé pouvat predre deux valeurs (par exemple deux lots de matière première) etraîe deux "populatios de ph". 10 Effectif 5 0 4,95 4,415 4,535 4,655 4,775 4,895 5,015 5,135 5,55 ph - 9 -

10 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 histogramme troqué aux extrémités : il peut révéler ue suppressio d'u certai ombre de valeurs expérimetales extrêmes sur u documet de fabricatio afi par exemple de e pas "sortir" des limites de cotrôles! Effectif 5 0 4,95 4,415 4,535 4,655 4,775 4,895 5,015 5,135 5,55 ph

11 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 IV/ TEST DE VLEURS BERRNTES Les boîtes à moustaches peuvet égalemet aider à repérer les valeurs aberrates. Pour le logiciel MINITB ue valeur est cosidérée comme aberrate si la valeur absolue de l'écart avec Q 1 ou Q 3 est supérieure à plus de 1,5 fois l'étedue iterquartile. L'exame des valeurs aberrates avec les boîtes à moustache est doc possible mais ce 'est qu'ue méthode "qualitative". Plusieurs tests sot utilisés pour détecter des valeurs aberrates. Le test de Dixo examie si la valeur soupçoée d'être aberrate peut apparteir avec u risque doé à ue populatio ormale : il exige doc ue distributio ormale des valeurs. O présete le test de Dixo pour la recherche d ue seule valeur aberrate. O commece par classer das l'ordre croissat les valeurs de x 1 à x et suivat la valeur aberrate étudiée o détermie les foctios discrimiates r 1 et r. 10 > 10 x 1 est douteux r r 1 x = x x = x x x 1 1 x x est douteux x x 1 1 = x x1 3 1 r = x1 x x3 r x x Les valeurs des tables pour r 1 et r sot les valeurs limites (aux risques α de 1 et 5 %) pour cosidérer que les valeurs appartieet à des populatios ormales. Si les valeurs calculées sot supérieures alors ue des valeurs est aberrate ou la populatio 'est pas ormale. De toute maière u résultat e doit jamais être rejeté sas recherche d'ue explicatio de l'aomalie. remarque : das le cas de deux valeurs douteuses la méthode est légèremet différete. si o suspecte x 1 et x d'être aberrates, alors o applique successivemet le test précédet aux deux valeurs avec la foctio r. doit être supérieur à 10 pour appliquer le test. si o suspecte les deux valeurs les plus élevées (x -1 et x ) ou les deux plus faibles (x et x 1 ), o applique le test à x -1 ou x sas s'occuper de x ou de x 1. Les foctios discrimiates r ' sot les suivates: x r ' = x 4 x x x 1 x pour x r ' = x 1 x 3 3 pour x -1 Les valeurs sot cosidérées comme aberrates si r ' calculée est supérieure à la limite doée par la table de r pour -1 valeurs. Das le cas cotraire o repred le test iitial e testat x ou x 1 comme valeurs aberrates. Le test s'applique ici pour supérieur à

12 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 applicatio 3 : o cosidère ue série classée de 18 volumes de chute de burette (exprimés e ml) lors du dosage d'ios sulfate par coductimétrie. O veut tester si la valeur la plus élevée ou la valeur la plus basse sot des valeurs aberrates. O réalise ue boîte à moustaches puis le test de Dixo. 9,45 9,80 9,89 9,7 9,8 9,90 9,75 9,83 9,93 9,76 9,84 9,93 9,77 9,85 9,94 9,78 9,86 10,10 O obtiet la boîte à moustaches suivate: 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0 10,1 volume Q 1 = 9,7675 et Q 3 = 9,9075 doc Q 3 + 1,5. (Q 3 - Q 1 ) = 10,1 et Q 1-1,5. (Q 3 - Q 1 ) = 9,56 La doée de 9,45 apparaît doc comme aberrate car elle est distate de Q 1 de plus de 1,5 fois la distace iterquartile. Par cotre la valeur de 10,10 'est pas cosidérée comme aberrate de très peu car ue valeur de 10,1 le serait! O costruit le test de Dixo e preat u risque de 5 %. 9,75 9,45 valeur iférieure 9,45 : r = = 0, 65 > 0,475 (valeur pour = 18) 9,93 9,45 9,45 est cosidéré avec ce test aussi comme ue valeur aberrate

13 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 10,1 9,93 valeur supérieure 10,10 : r = = 0, 486 > 0,475 (valeur pour = 18) 10,1 9,75 10,10 est cosidéré avec ce test comme ue valeur aberrate mais o est proche de la limite la valeur 'est plus cosidérée comme aberrate si o décide de limiter le risque à 1 % (il existe u risque de 1% de cosidérer 10,10 comme aberrate alors qu'elle e l'est pas). Il est écessaire doc d'être prudet avec les valeurs aberrates das l'utilisatio des tests ; éamois même si les outils statistiques e doet pas forcémet la même coclusio, ils ot le mérite d'apporter ue iformatio bie supérieure à u simple exame forcémet subjectif des doées

14 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 V/ LOI NORMLE (LOI DE GUSS) rappel : ue variable aléatoire X est ue variable qui pred ses valeurs au hasard parmi u esemble fii ou ifii de valeurs possibles. O parle de variable aléatoire cotiue quad les valeurs possibles de la variable ot ue distributio cotiue. Ceci correspod au cas des mesures. Cette loi est la plus importate e statistiques: elle s'applique à tout phéomèe das lequel la fluctuatio de la variable aléatoire cotiue est due à u grad ombre de petites causes idépedates dot les effets s'additioet. Doc les résultats de mesures serot distribués selo ue loi de Gauss si les coditios suivates sot remplies : les causes d'erreur sot ombreuses et idépedates les erreurs sot du même ordre de gradeur (pas d'erreur prépodérate) O peut doer comme exemple de causes pour l'étaloage d'ue solutio de soude : vibratios et courats d'air pedat la lecture de la masse sur la balace trasvasemet de la masse de solide das l'erlemeyer pour la dissolutio réglage du zéro de la burette quatité d'idicateur coloré utilisé appréciatio visuelle du virage de l'idicateur appréciatio visuelle du volume de solutio de soude das la burette Si x est ue valeur particulière prise par la variable aléatoire, la desité de probabilité f(x) de la loi ormale N (m,σ) est doée par : f(x) = σ 1 e π ( x m) σ où m et σ sot respectivemet la moyee et l'écart-type de la populatio. O peut tracer la courbe des probabilités cumulées (courbe de la foctio de répartitio). L'itégratio de cette foctio sur ] ; + [ correspod graphiquemet à l'aire totale sous la courbe : o obtiet évidemmet la valeur de 1. Das l'exemple ci-dessous, o représete la desité de probabilité et la foctio de répartitio pour ue mesure de volume de dosage de moyee m = 1 ml et d'écart-type σ égal à 0,07 ml

15 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/ desité de probabilité ,75 11,8 11,85 11,9 11,95 1 1,05 1,1 1,15 1, 1,5 volume (ml) probabilités cumulées 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 O remarque la symétrie de cette foctio par rapport à m. La courbe de desité de probabilité motre que toutes les valeurs e sot pas équiprobables même si toutes peuvet être observées ; la probabilité d'observer ue valeur doée est d'autat plus faible qu'elle s'éloige de la moyee. itervalle cetré sur m probabilité m ± σ 68,3 % m ± 1,64 σ 90 % m ± 1,96 σ 95 % m ± σ 95,4 % m ±,57 σ 99 % m ± 3 σ 99,7 % Toute loi ormale N (m,σ) peut se rameer à la loi ormale cetrée réduite N x m (0,1) par le chagemet de variable u =. Ceci permet d'utiliser les tables de σ cette loi ormale cetrée réduite pour résoudre des problèmes sur ue distributio ormale quelcoque. La desité de probabilité y de la loi ormale cetrée réduite est doée par : y = f(u) = 1 e π u La foctio de répartitio F(u) est telle que: F(-u) = 1 - F(u) Das le tableau suivat o doe pour différets itervalles les probabilités pour qu'ue mesure de volume se trouve à l'itérieur des itervalles cités

16 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 applicatio 4 : u produit alimetaire est fabriqué avec ue teeur maximale x de 15 ppm e u composé que les autorités alimetaires souhaitet réduire à 10 ppm e deux as. L'historique de la fabricatio motre que sur quatre as de productio la teeur moyee das u lot est de 7, ppm avec u écart-type de 1, ppm. O souhaite examier si les modes actuels de productio permettet d'atteidre l'objectif provisoire fixé de e pas dépasser la ouvelle spécificatio das plus de 1 lot sur

17 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 Il faut chercher la probabilité de dépasser 10 ppm. O admet que la distributio des teeurs suit ue loi ormale. Pour utiliser les tables o travaille avec la loi ormale réduite e effectuat le chagemet de variable suivat: x 7, u = soit doc si x = 10 ppm alors u =,33. O détermie avec la table que 1, F(,33) = 0,9901. Par coséquet la probabilité de dépasser 10 ppm est 1 F(,33) = 0,0099 O dépassera doc 10 ppm das mois de 1 cas sur 100: l'objectif est doc atteit. O motre e fait que la distributio gaussiee e s'applique que pour des échatillos dot l'effectif est supérieur à 30 : e dessous la loi de Studet s'applique. L'allure de la courbe de desité de probabilité pour la loi de Studet est proche de celle d'ue loi ormale. La loi de Studet de variable t ν déped d'u paramètre ν (etier > 0) ommé ombre de degrés de liberté. Das le tableau suivat o idique pour différets effectifs d'échatillo la valeur de la variable aléatoire pour laquelle o cumule 95 % de la distributio. O vérifie aisi que pour u effectif supérieur à 30, la différece etre les deux lois deviet égligeable pour les applicatios. effectif loi ormale (u) loi de studet (t ν ) 5 1,64, ,64 1, ,64 1, ,64 1,68 De ombreux tests statistiques exiget pour leur validité de vérifier que les échatillos utilisés obéisset à ue loi ormale. Il existe das les logiciels statistiques plusieurs tests qui vérifiet cette adéquatio. Ils écessitet avat utilisatio de cosulter avec soi les aides fouries pour bie iterpréter le critère de décisio. O peut citer les tests de derso-darlig, Shapiro-Wilk et Kolmogorov- Smirov. Suivat les tests il faut utiliser les valeurs idividuelles ou les valeurs regroupées e classes. O doit aussi sigaler que si u phéomèe e vérifie pas ue loi ormale ceci peut recéler ue iformatio itéressate. Das l'exemple suivat (voir référece bibliographique 1), o examie l'hygrométrie de pièces e bois de hêtre laissées e phase de séchage. partir des doées représetées sous forme d'histogramme, o remarque ue asymétrie de la distributio laissat pressetir qu'elle e suit pas ue loi ormale... ce que cofirmet les tests de ormalité. La coclusio de l'étude est e fait que le processus d'équilibrage hygrométrique du bois avec le milieu extérieur 'est pas termié. Quad il sera atteit, la distributio deviedra ormale

18 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/ Effectif Hygrométrie (%)

19 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 VI/ ESTIMTIONS PRTIR D'UN ECHNTILLON Soit X ue variable aléatoire d'ue populatio suivat ue loi ormale. La moyee X de cette variable aléatoire X (calculée sur des échatillos de même taille ) est elle-même ue variable aléatoire suivat ue loi ormale. O ote m et σ respectivemet la moyee et l'écart-type de la populatio. Pour les valeurs mesurées sur u échatillo d'effectif o utilise x et σ'. O emploie s pour l'écarttype de la populatio estimé à partir de l'échatillo. O cherche doc à estimer m et σ à partir des résultats tirés d'u échatillo. Parfois o peut coaître σ grâce à des mesures tirées d'u historique de fabricatio. 1/ Estimatios poctuelles de la moyee et de l'écart-type La meilleure estimatio poctuelle de la moyee m de la populatio est de predre la moyee x de l'échatillo. L'estimatio poctuelle s de l'écart-type de la populatio est obteue avec la relatio suivate qui pred e compte l'effectif de l'échatillo: plus l'effectif est importat, plus l'écart-type σ' de l'échatillo se rapproche de s et doc de la valeur recherchée pour la populatio. E effet das les échatillos la dispersio est sousestimée puisque des valeurs "maquet". s = σ' soit 1 s = ( xi x) i= 1 1 / Estimatio par itervalle de cofiace de la moyee O cherche à réaliser ue estimatio de la moyee par itervalle de cofiace: cet itervalle cotiedra la moyee das (1-α) % des cas, soit u risque de α % que cet itervalle e compree pas la moyee du fait des fluctuatios dues à l'échatilloage. O distigue deux cas:.1/ Variace σ coue Pour assez grad (e pratique supérieur à 30), o motre que la variable aléatoire X suit ue loi ormale de moyee m et d'écart-type σ

20 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 x m O e déduit que la variable u défiie par u = suit ue loi ormale σ / cetrée réduite où x est ue moyee particulière d'u échatillo. D'après les valeurs de la loi ormale N(0,1), o e déduit alors que 95 % des itervalles suivats compreet la valeur u. x m 1,96 u + 1,96 doc 1,96 + 1, 96 σ / soit σ σ x 1,96 m x + 1,96 avec u iveau de cofiace de 95 % Si o cosidérait u grad ombre d'échatillos d'effectif (o réalise mesures par échatillo), das 95 % des cas l'itervalle de cofiace calculé précédemmet ecadre la moyee. O a u risque de 5 % que la moyee e soit pas comprise das cet itervalle. Pour u risque α de 10 %, l'itervalle de cofiace s'écrit : x 1,64 σ m x + 1,64 σ. / Variace σ icoue Or la plupart du temps l'écart-type de la populatio σ 'est pas cou e réalité; o cosidère doc s qui est l'écart-type de la populatio estimé à partir d'u - 0 -

21 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 x m échatillo. Das ce cas la quatité t υ = suit ue loi de Studet de paramètre s / ν égal au ombre de degrés de liberté utilisés pour la détermiatio de s soit -1. de t ν,1 Si o choisit u risque α, alors o recherche das la table de Studet la valeur α telle que F(t ν ) = 1 α où F est la foctio de répartitio de la loi de Studet. L'itervalle de cofiace de m est alors: x t α ν,1 s m x + t α ν,1 s Pour supérieur à 30, o motre qu'il est possible de remplacer la loi de Studet par la loi ormale cetrée réduite. Pour u risque α de 5 %, l'itervalle de cofiace précédet deviet alors: s x 196, m x + 1, 96 s applicatio 5 : Pour obteir ue certificatio u laboratoire d'aalyses de traces souhaite détermier l'itervalle de cofiace d'ue cocetratio e ppb d'u cotamiat. Les 16 mesures réalisées sot regroupées das le tableau suivat. 33,3 33,5 33, 3,5 3,7 3,8 33,4 3,3 3,5 3,7 33,3 33,4 3,6 33, 33,0 33,1 près avoir vérifié qu'il 'y avait pas de valeur aberrate, o détermie la moyee puis l'itervalle de cofiace de cette moyee avec u risque de 5 %. L'écart-type état icou et le ombre de valeurs état iférieur à 16, o utilise la loi de Studet avec 16-1 soit 15 degrés de liberté. D'après les doées, o trouve x = 3.97 ppb et s = 0,385 ppb comme estimatios poctuelles. l'aide de la table de Studet o e déduit: = t =, 13 t 0,05 15, 0, ,1 0,385 0,385 3,97,13 m 3,97 +,13 doc 3,8 m 33, / Choix du risque et du ombre d'essais Les relatios précédetes motret que plus le risque choisi est grad, plus l'itervalle de cofiace est étroit. Les limites de l'itervalle de cofiace dépedet - 1 -

22 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 doc seulemet des exigeces de l'expérimetateur quat à l'importace qu'il attache à la précisio. Das le cas de l'utilisatio de la loi ormale o obtiet aisi des itervalles pour m égaux à x ± σ pour u risque α de 3 % et à x ± 3 σ pour u risque α de 0,3 %. O e peut doc avoir à la fois u itervalle de cofiace étroit et ue grade certitude sur celui-ci. U itervalle large est "très sûr" mais il 'apporte aucue iformatio précise sur la valeur recherchée. Das tous les cas l'itervalle de cofiace de la moyee est d'autat plus étroit que l'effectif de l'échatillo est importat. Pour u risque α choisi, ceci reviet s à examier les termes ou (termes appelés parfois erreurs type de la moyee das les logiciels de statistique). isi si o souhaite diviser par deux l'icertitude relative, il faut doc multiplier le ombre d'essais par 4 ce qui coduit à privilégier soit la recherche de précisio, soit l'écoomie de travail! Cet arbitrage écessaire est ue costate das toutes les études statistiques. 4/ Estimatio par itervalle de cofiace de l'écart-type Cette estimatio écessite l utilisatio d ue loi statistique particulière dite loi du "Khi deux" otée χ et défiie pour u degré de liberté doé. L'itervalle de cofiace de l'écart-type σ au risque α est doé par la relatio suivate avec u degré de liberté ν pour χ de -1. Das cette expressio figure s l'écart-type de la populatio estimé à partir de l'échatillo. ( 1) s ( 1) χ ν,1 α / σ χ s ν, α / Les valeurs de χ s'obtieet das la table pour les valeurs de α/ et 1-α/ choisies. O remarquera que cotrairemet à la moyee l'itervalle de cofiace 'est pas symétrique par rapport à l'estimatio poctuelle s. applicatio 6 : O repred les doées de l'applicatio 5. O recherche l'itervalle de cofiace pour l'écart-type σ de la cocetratio e cotamiat avec u risque de 5 %. O utilise la loi χ avec u degré de liberté de 16 1 = 15 degrés de liberté. l'aide de la table de χ o trouve: χ16 1,1 0,05 / = 7, 49 et χ16 1,0,05 / = 6, 6 ( 16 1) 0,385 ( 16 1) 7,49 σ 0,385 6,6 doc 0,8 σ 0,

23 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 VII/ PRINCIPE DES TESTS STTISTIQUES 1/ Gééralités sur les tests U test statistique permet de predre ue décisio à partir d'iformatios recueillies sur u échatillo. Les tests viset à détermier si ue caractéristique (moyee ou écart-type) tirée d'u échatillo est idetique à ue référece (u stadard) ou à celle d'u autre échatillo. Ceci correspod par exemple aux deux cas suivats: comparaiso d'ue caractéristique physico-chimique d'u ouveau produit à ue valeur fixée par le cahier des charges ; o examie si l'écart etre la valeur mesurée à partir de l'échatillo et la valeur stadard est sigificatif c'est à dire s'il e peut pas s'expliquer uiquemet par le caractère aléatoire des mesures effectuées seulemet sur u échatillo. comparaiso d'ue caractéristique physico-chimique d'u produit obteu par deux procédés différets ; o examie si les valeurs obteues à partir d'u échatillo pour chaque procédé motret u écart sigificatif ou si la différece peut s'expliquer par le caractère aléatoire des mesures. La décisio prise à partir du test a u caractère aléatoire et das tous les cas u certai risque est lié à cette décisio. / Costructio et exploitatio d'u test Ue hypothèse H 0 (dite hypothèse ulle) est faite sur ue caractéristique de l'échatillo. Cette hypothèse s'éoce e disat que l'écart mesuré etre la valeur de la caractéristique pour l'échatillo et la valeur de la caractéristique du stadard ou de l'autre échatillo, est du uiquemet à des fluctuatios aléatoires. Ue hypothèse H 1 (dite hypothèse alterative) est costruite: elle correspod à ue hypothèse opposée à l'hypothèse H 0. O défiit alors u risque α (risque de première espèce) qui est le risque de rejeter H 0 alors que cette hypothèse est vraie. Courammet o choisit u risque α de 5 %. O calcule esuite la probabilité d'observer l'écart mesuré et o applique la règle de décisio suivate : si la probabilité est supérieure au risque α, o accepte H 0 comme 'état pas ivraisemblable et o e déduit que l'écart 'est pas sigificatif. si la probabilité est iférieure au risque α, H 0 est rejetée car il apparaît ivraisemblable que l'écart soit causé par la seule cause du hasard. Néamois u écart supérieur peut parfaitemet apparaître das mois de α % des cas : c'est le risque α du test

24 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 E coclusio rejeter l'hypothèse ulle H 0 reviet à accepter l'hypothèse alterative H 1. O examie maiteat u exemple : la caractéristique d'u procédé acie est égale à m. U ouveau procédé B fourit ue valeur de m B pour cette caractéristique. Le test vise à détermier si les procédés coduiset à des valeurs différetes de la caractéristique. O bâtit alors les hypothèses H 0 et H 1. H 0 : m = m B soit m - m B = 0 H 1 : m m B soit m - m B 0 O admet ici que les différeces m - m B pouvat être observées suivet ue loi ormale de moyee ulle. O peut alors tracer la représetatio graphique suivate: Il s'agit das cette étude d'u test bilatéral: les différeces m - m B pouvat a priori être positives ou égatives, le risque α sera doc partagé de chaque côté de la distributio avec ue probabilité α /. O défiit deux zoes et o pred ue décisio suivat la valeur observée de la différece m - m B mesurée à partir de deux échatillos. Décisio 1 : si m - m B appartiet à la zoe de rejet, o rejette l'hypothèse H 0 et o accepte l'hypothèse alterative H 1. Décisio : si m - m B appartiet à la zoe d'acceptatio, o accepte l'hypothèse H 0. Statistiquemet la différece 'est pas jugée sigificative

25 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 3/ Les deux types de risque et la puissace d'u test tort. Les deux décisios précédetes présetet u certai risque de coclure à Décisio 1 : o rejette H 0 à cause d'ue différece m - m B importate mais das α % des cas il est effectivemet possible d'observer ue telle différece du fait de fluctuatios aléatoires. L'hypothèse H 0 correspod doc à la réalité : il 'y a e fait pas de différece etre les deux procédés. Décisio : o accepte H 0 mais il y a β % de cas où la valeur de la différece m - m B se place das la zoe d'acceptatio de H 0 du fait des fluctuatios du hasard. Das ce cas l'hypothèse H 1 correspod doc à la réalité. O défiit doc les risques α et β : Risque α (risque de première espèce) : coclure à ue différece iexistate Risque β (risque de secode espèce) : coclure à ue égalité alors qu'il existe ue différece. O défiit la puissace d'u test par 1 β: c'est la probabilité de détecter ue différece m - m B = δ das le cas d'ue différece réelle

26 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 O résume les différetes possibilités das le tableau suivat : Réalité Décisio prise H 0 vraie H 0 fausse H 0 acceptée décisio correcte (1 - α) % des cas décisio erroée β % des cas H 0 refusée décisio erroée α % des cas décisio correcte (1 - β) % des cas remarque : α est ommé parfois seuil de sigificatio et 1 α est ommé égalemet iveau de cofiace. Le risque α est fixé par l'expérimetateur (doc cotrôlable) mais le risque β déped de l'existece et de la valeur de la différece. Il faut isister sur le poit que la réalité reste toujours icoue pour l'expérimetateur O costate d'après la figure précédete que si la différece δ (quad elle existe!) etre les deux procédés est faible alors le risque β augmete pour u risque α fixé. De plus pour ue même différece δ avec u risque α fixé, le risque β va dimiuer si o parviet à dimiuer la variabilité des procédés. Deux illustratios des risques α et β peuvet être doées : Risques cliet fourisseur O aalyse u lot pour vérifier sa coformité par rapport aux spécificatios. O costruit u test avec les hypothèses H 0 et H 1 suivates. H 0 : le lot est coforme au stadard H 1 : le lot 'est pas coforme au stadard le risque α correspod au risque du fabricat : coclure à ue différece qui 'existe pas et doc rejeter u lot de fabricatio correct. L'ejeu fiacier est importat. le risque β correspod au risque du cliet : e pas pouvoir détecter ue différece qui existe et doc accepter u lot défectueux. Si la pièce est alors itégrée das u esemble et le red défectueux, le coût de la o-qualité deviet très élevé

27 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 Risques das la modificatio d'u procédé O modifie u procédé pour dimiuer so coût. O vérifie esuite si ue caractéristique fiale du produit est modifiée. Le tableau ci-dessous illustre les différetes situatios pour les hypothèses H 0 et H 1 suivates. H 0 : le ouveau procédé 'etraîe pas de modificatio de la caractéristique étudiée H 1 : le ouveau procédé modifie la caractéristique étudiée risque α décisio e pas modifier le procédé pas de chagemet coséqueces produit qualité coût idetique à l'acie procédé β modifier le procédé dégradatio o qualité coût procédé coût o qualité Das certais cas la plus grave coséquece d'ue erreur das la décisio est de e pas modifier le procédé sas qu'il y ait e réalité de dimiutio de la qualité avec le ouveau procédé. O risque alors de se priver d'ue dimiutio des coûts. O peut dimiuer ce risque α e le fixat par exemple à 1 %. E revache si le risque β présete les icovéiets les plus graves (par exemple e pas s'apercevoir d'ue dimiutio de la qualité fiale du produit à la suite d'ue modificatio de procédé), il faut le dimiuer e utilisat des échatillos plus importats pour dimiuer la variabilité aturelle des mesures et doc pouvoir détecter ue différece, même assez faible. 4/ Test uilatéral Les tests réalisés das les paragraphes précédets sot dits bilatéraux: il y a autat de chaces a priori que l'écart m - m B soit positif ou égatif. Le risque est alors partagé aux deux extrémités de la zoe d'acceptatio. Il est parfois écessaire de costruire des tests uilatéraux. Le test uilatéral est choisi quad l'écart das u ses est soit physiquemet impossible soit sas itérêt ou icovéiet pour le problème posé. Das ce cas le risque est itégralemet reporté à ue des extrémités du domaie

28 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 O peut citer deux exemples où u test uilatéral s'impose : o améliore ue méthode d'aalyse e utilisat u spectrophotomètre beaucoup plus performat : o étudie la dispersio des mesures qui e peut qu'être iférieure à la variabilité de l'aciee méthode. o dimiue la durée d'u procédé pour des raisos de coût mais o e veut pas pour autat dimiuer la résistace à la rupture du matériau fabriqué : o étudie la résistace pour ue durée plus courte e examiat si elle 'est pas plus faible qu'avec l'acie procédé. O costruit doc deux types de test e repreat l'exemple du / avec la comparaiso des procédés et B. test uilatéral à droite H 0 : m = m B H 1 : m > m B soit m - m B > 0 test uilatéral à gauche H 0 : m = m B H 1 : m < m B soit m - m B < 0 Les figures suivates résumet les deux tests

29 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/

30 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 VIII/ TESTS USUELS O utilise par défaut u risque α de 5%. 1/ Comparaiso d'ue moyee m à ue valeur stadard m 0 Ue applicatio courate de ce test est la vérificatio sur u échatillo qu'ue modificatio de procédé permet soit de coserver la même caractéristique du produit qu'auparavat soit d'atteidre ue ouvelle spécificatio. O cosidère das ue populatio suivat ue loi ormale u échatillo d'effectif qui fourit ue estimatio x de la moyee m de la populatio. O cherche à comparer la moyee icoue m de la populatio avec u stadard m / Variace de la populatio σ Α coue σ Α est l'écart-type cou de la populatio. O suppose que la moyee des σ échatillos obéit à ue loi ormale N(m, ). Suivat le type de test, bilatéral ou uilatéral, o défiit alors les hypothèses et les règles de décisio. partir de l'itervalle de cofiace défii pour m, la démarche cosiste à vérifier si x appartiet à l'itervalle. test bilatéral : H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 N(m 0, Pour l'hypothèse H 0, la moyee des échatillos obéit à ue loi ormale σ ). H 0 est vérifiée si : m 0 1,96 σ x m 0 + 1,96 σ Si x 'appartiet pas à l'itervalle de cofiace de m 0, alors o e déduit que l'hypothèse où la moyee m est égale à m 0 peut être rejetée avec u risque de 5 %

31 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 remarque : les logiciels statistiques testet souvet la même coditio sous la forme suivate pour l hypothèse H 0 : x 1,96 σ m 0 x + 1,96 σ test uilatéral à droite : H 0 : m = m 0 H 1 : m > m 0 H 0 est vérifiée si : x < m 0 + 1,64 σ remarque : L hypothèse H 0 est testée par certais logiciels sous la forme : σ m0 > x 1,64 test uilatéral à gauche : H 0 : m = m 0 H 1 : m < m 0 H 0 est vérifiée si : x > m 0 1,64 σ 1./ Variace de la populatio σ Α icoue C est le cas le plus courat. O cosidère s l'écart-type de la populatio estimé à partir de l échatillo. Das ce cas o utilise ue loi de Studet de

32 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 paramètre ν égal au ombre de degrés de liberté iterveat das la détermiatio de s soit -1. x sot similaires e remplaçat σ Α par s et les t pour le test Les tests du 1.1/ pour valeurs de 1,96 par t pour le test bilatéral et 1,64 par α ν,1 uilatéral (pour u risque α). ν, 1 α test bilatéral : H 0 est vérifiée si : m 0 t α ν,1 s x m 0 + t α ν,1 s test uilatéral à droite : H 0 est vérifiée si : x < m0 + t ν,1 α s test uilatéral à gauche : H 0 est vérifiée si : x > m0 tν,1 α s Das le cas où l effectif de l échatillo est supérieur à 30 ( > 30), o peut appliquer les tests tirés de la loi ormale réduite du 1.1/ e remplaçat σ par s. applicatio 7: ue ouvelle pipette électroique de 0 µl est livrée das u laboratoire d'aalyses. U cotrôle itere est décidé pour vérifier la justesse de la pipette. Le tableau suivat reporte la série des 0 mesures réalisées. 0,010 19,984 19,996 19,990 0,010 19,980 19,998 0,014 19,976 19,984 0,006 0,006 19,994 19,998 19,994 19,994 19,998 0,01 0,000 0,0 O calcule la moyee et l'écart-type estimé : x = 19,998 µl et s = 0,011 µl avec = 0 O effectue u test bilatéral pour examier si les mesures doées pour la ouvelle pipette e sot pas sigificativemet différetes de 0,000 µl. Les hypothèses sot les suivates et o cosidère u risque de 5 % H 0 : m = m 0 H 1 : m m 0 avec m 0 = 0,000 µl L'effectif est iférieur à 30 doc o vérifie alors si m 0 t α ν,1 s x m 0 + t α ν,1 s O recherche t 0 1, 0,975 das la table de Studet :, 09 t 0 1, 0,975 = - 3 -

33 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 soit 0,011 0,011 0,09 x 0 +, doc 19,994 x 0, 006 ce qui est vrai d'après la valeur trouvée pour x. O e déduit que la ouvelle pipette de 0 µl est effectivemet juste. applicatio 8 : ue modificatio das la formulatio d'ue poudre a été réalisée pour dimiuer la teeur e impuretés des cristaux. O crait que cette modificatio etraîe ue augmetatio de la taille moyee des cristaux égale à 150 µm ce qui serait préjudiciable à l'utilisatio ultérieure du produit. O vérifie sur ue série de 40 cristallisatios si la taille des cristaux 'est pas plus élevée après cette modificatio. Le tableau ci-dessous rassemble les différetes tailles obteues exprimées e micros. 150,4 160,1 160,7 156,0 145,6 146,6 144,9 150,0 151,3 156,5 161, 150,5 149,9 147,5 148,1 150,0 153,0 155,1 15,7 160,4 149,0 148,8 148,9 148,1 160,7 156,9 159,9 15,8 149, 145,9 145,8 147,4 150,7 156,6 157,5 153,9 149,1 148,1 145,8 149,8 O calcule la moyee et l'écart-type estimé : x = 151,9 µm et s = 4,94 µm avec = 40 O effectue u test uilatéral à droite (o e soupçoe qu'ue seule possibilité de différece : l'augmetatio de taille) pour examier si les mesures doées pour la ouvelle formulatio e sot pas sigificativemet supérieures à150 µm. Les hypothèses sot les suivates et o cosidère u risque α de 5 % : H 0 : m = m 0 H 1 : m > m 0 avec m 0 = 150 µm L'effectif est supérieur à 30 doc o vérifie alors si : x < m 0 + 1,64 s soit x 4,94 < ,64 40 doc x < 151, 3 ce qui est faux d'après la valeur trouvée pour x. L'hypothèse H 0 'est pas vérifiée : l'augmetatio de taille relevée sur la moyee de otre échatillo est doc sigificative. O peut e déduire que la ouvelle formulatio etraîe ue augmetatio de taille

34 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 / Comparaiso d'ue variace à ue valeur stadard Ue applicatio de ce test cosiste à vérifier si la variabilité d u ouvel istrumet d aalyse (autremet dit la précisio des mesures) est compatible avec le cahier des charges imposé. Das ue populatio suivat ue loi ormale de paramètres m et σ, o cosidère u échatillo d'effectif de moyee x et qui fourit ue variace estimée s. O cherche à comparer la variace σ Α de la populatio avec ue variace stadard σ 0. O calcule d'abord χ obs (χ des observatios expérimetales) défii par: χ obs = ( xi x ) i= 1 σ 0 somme = des carrés des écarts = σ 0 ( 1) σ 0 s O lit das la table de "Khi deux" les valeurs de χ pour le degré de liberté ν = 1. Les relatios suivates sot établies pour α égal à 5 %. test bilatéral : H 0 : σ Α = σ 0 cotre H 1 : σ Α σ 0 Le test vérifie e fait si σ 0 appartiet à l'itervalle de cofiace de l'écart-type de la populatio σ Α estimé à partir de celui de l'échatillo s. O a aisi pour l'hypothèse H 0 : ( 1) s ( 1) σ s 0 χν,0,975 χ ν,0,05 soit χ ( 1) s ν,0,975 χ ν,0,05 σ0 doc χν,005 χ obs χ ν,0,975 Si χ obs vérifie cette relatio alors o e déduit que l'hypothèse où la variace σ Α est égale à σ 0 e peut être rejetée avec u risque de 5 %. La variace observée 'est pas sigificativemet différete de la variace stadard σ 0. Sio, la variace observée est sigificativemet différete de la variace stadard σ

35 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 test uilatéral à gauche : H 0 : σ Α = σ 0 cotre H 1 : σ Α < σ 0 Si χ obs > χ ν,0,05 la variace observée 'est pas sigificativemet plus petite que la variace stadard avec u risque de 5 %. Das le cotraire o adopte l'hypothèse H 1. test uilatéral à droite : H 0 : σ Α = σ 0 cotre H 1 : σ Α > σ 0 Si χ obs < χ ν,0,95 la variace observée 'est pas sigificativemet plus grade que la variace stadard avec u risque de 5 %. Das le cotraire o adopte l'hypothèse H 1. applicatio 9 : ue ouvelle balace à dessiccatio a été livrée pour détermier u redemet de séchage. Ue comparaiso de ces redemets est exploitable uiquemet si l'écart-type des titres massiques est iférieur à 0,50 % (titre exprimé e pourcetage). O effectue doc 5 prélèvemets homogèes d'ue poudre séchée qu'o aalyse avec la balace. Les titres obteus sot reportés das le tableau suivat. 9,8 30,1 9,5 9,9 30,7 30,0 30,1 9,7 9,9 9,8 30, 9,7 9,9 30, 30,1 30,3 30, 30,5 30,5 9,3 9,4 30,0 9,8 9,8 30,7 O effectue u test uilatéral à gauche car o veut vérifier si la ouvelle balace permet d'obteir u écart-type iférieur à ue valeur fixée σ 0. Les hypothèses sot les suivates et o cosidère u risque α de 5 % : H 0 : σ Α = σ 0 cotre H 1 : σ Α < σ 0 avec σ 0 = 0,50 % O calcule l'écart-type estimé : s = 0,36 % pour = 5 valeurs O calcule d'abord χ obs : χ ( 1) s ( 5 1) 0,36 0,50 obs = = = σ0 O lit das les tables de "Khi deux" les valeurs de χ ν,0, 05 1,4 pour ν = 5 1=4. O e déduit que χ obs < χ 4, 0,05 = 13,8. Il e résulte que l'hypothèse H 0 est rejetée: les écart-types obteus avec la ouvelle balace sot sigificativemet iférieurs à 0,50 %

36 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 3/ Comparaiso de deux variaces Ce test est très utile pour comparer la dispersio des mesures proveat de deux appareils de mesure ou de deux procédés. Il est égalemet le test permettat de coclure ue aalyse de variace. Cette estimatio écessite l utilisatio d ue loi statistique particulière dite loi de Sedecor otée F et défiie pour deux paramètres ν et ν B correspodat à des degrés de liberté. O cosidère deux populatios et B suivat des lois ormales pour la caractéristique étudiée (variaces σ et σ B ) dot o tire deux échatillos (effectifs et B, variaces estimées s et s B ). Si les lois e sot pas ormales, le test s'applique avec des effectifs supérieurs à 30. O calcule le rapport F obs = s / s B e plaçat la plus grade variace au umérateur. Le test cosiste das tous les cas à comparer ce rapport à ue valeur seuil F seuil doée das la table de Sedecor pour u risque α (courammet pris à 5 %) e preat pour la coloe ν = 1 degrés de liberté et pour la lige ν B = B 1 degrés de liberté. Suivat la ature du test, o examie e fait si ce rapport e teat compte des fluctuatios aléatoires est effectivemet différet de 1 (test bilatéral) ou supérieur à 1 (test uilatéral). test bilatéral : H 0 : σ = σ B H 1 : σ σ B Si F obs < F (ν ; νb), 0,975 les deux variaces observées e sot pas sigificativemet différetes e teat compte des fluctuatios aléatoires. Sio, les deux variaces observées sot sigificativemet différetes test uilatéral à droite : H 0 : σ = σ B H 1 : σ > σ B Si F obs < F (ν ; νb), 0,95 la variace σ supérieure à la variace σ B. observée 'est pas sigificativemet Sio, la variace σ σ B. observée est sigificativemet supérieure à la variace remarque : le fait de placer au umérateur toujours la variace la plus élevée red iutile le test uilatéral à gauche. applicatio 10 : u ouveau spectrophotomètre UV-visible de marque Y doit être acheté das u laboratoire afi de mesurer la cocetratio d'u io métallique complexé. U techicie de la société Y viet effectuer ue démostratio sur u lot test fouri par le laboratoire. Il préted que so appareil, de coût supérieur, a ue

37 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 précisio supérieure à celle du spectrophotomètre possédé par le laboratoire. O effectue u test comparatif sur le même lot avec 15 détermiatios (exprimées e mg.l -1 ) pour chacu des appareils. O admettra que les distributios des cocetratios suivet des lois ormales. 49,75 50,0 49,5 49,5 49,5 50,4 50,04 50,35 47,5 48,61 50,4 49,75 5,14 50,3 50,9 Spectrophotomètre du laboratoire (référece ) 50,94 51,74 48,86 49,04 48,86 49,75 50,0 49,75 49,5 49,11 49,6 49,5 49,64 51,88 48,59 Spectrophotomètre Y (référece B) O effectue u test uilatéral car l'appareil du laboratoire a ue variabilité a priori plus grade. Les hypothèses sot les suivates et o cosidère u risque α de 5 % : H 0 : σ = σ B H 1 : σ > σ B O calcule les écart-types estimés s et s B pour = B = 15 valeurs. s = 1,0145 et s B = 0,9989 d'où s = 1,090 et s B = 0,9978 1,09 O e déduit F obs : F obs = 1, 03 0,9978 D'après la table de Sedecor, o détermie F (ν ; νb), 0,95 = F(15-1 ; 15 1), 0,95 =,48 Comme F obs < F (14 ; 14), 0,95, o e coclut que l'appareil du laboratoire 'a pas ue variabilité supérieure à celle du spectrophotomètre Y : les deux variaces observées e sot pas sigificativemet différetes. O doit admettre que l'appareil de la société Y 'a doc pas ue meilleure précisio. 4/ Comparaiso de deux moyees Ce test est d'ue très grade importace car ses applicatios sot multiples ; o distigue deux cas d'applicatio bie différets. remarque : das cet exposé la comparaiso de plus de deux moyees 'est pas abordée car ce problème est plus difficile à résoudre : il s'agit d'effectuer alors ue aalyse de la variace. L'aalyse

38 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 de la variace est ue techique très utilisée : elle iterviet toutes les fois où o étudie l'ifluece de plusieurs facteurs sur ue caractéristique, otammet lors de l'exploitatio des plas d'expériece. 4.1/ Echatillos idépedats Ce test iterviet otammet toutes les fois où o souhaite comparer ue caractéristique d'u produit obteu suivat deux procédés différets ; o extrait alors u échatillo d'u lot obteu à partir de chacu des procédés. O distigue ici le cas des grads et des petits échatillos. grads échatillos ( et B 30) O cosidère deux échatillos (extraits de deux populatios et B de moyees m et m B ) d'effectifs ( B ), de moyees x ( x B ) et d'écarts-types estimés s et s B. O choisit u risque α de 5 %. O admet que la différece des variables aléatoires associées aux moyees des deux échatillos suit ue loi ormale N(m -m B, σ D ). O défiit l'écart-type estimé s D de la différece par: s s s D = + B B O choisit u risque α de 5 % et o e déduit alors les tests suivats. test bilatéral : H 0 : m = m B cotre H 1 : m m B O vérifie H 0 si: x x B 1,96 s D test uilatéral à droite : H 0 : m = m B cotre H 1 : m > m B O vérifie H 0 si: x x B 1,64 s D petits échatillos ( ou B < 30) Das ce cas les tests sot possibles e ajoutat deux hypothèses supplémetaires qui restreiget le champ d'applicatio: la loi ormale s'applique aux populatios dot sot issus les deux échatillos

39 Philippe TRIBOULET (Lycée Niepce Chalo sur Saôe) 03/03/007 les deux écarts-types estimés s et s B e sot pas sigificativemet différets. La comparaiso de deux moyees exige doc d'avoir auparavat examié les variaces des deux échatillos. O calcule différemmet l'écart-type de la différece s D '. s s s D' = + avec B s = ( 1) s + ( 1) + B B s B où s est l'estimatio de la variace commue. Pour u risque α de 5 %, o remplace esuite das les relatios obteus pour les grads échatillos 1,96 et 1,64 par respectivemet t et t avec u ombre de degrés de liberté ν égal à + B. α ν,1 Le tableau suivat récapitule les hypothèses H 0 à vérifier das tous les cas de figures. ν, 1 α TEST Test bilatéral Test uilatéral à droite H 0 vérifiée si Grads échatillos Petits échatillos x x x x B B 1,96 s 1,64 s D D x x x x B B < t t α ν,1 ν,1 α s s D D ' ' remarque : il est faux d'examier si les deux itervalles de cofiace des moyees se chevauchet; ils peuvet parfaitemet se chevaucher avec ue différece sigificative! Das l'exemple ci-dessous la détermiatio d'ue cocetratio par deux méthodes motret que les itervalles de cofiace avec 5 % de risque se chevauchet mais uiquemet car les deux méthodes d'aalyse ot ue grade variabilité. Le test de comparaiso des moyees (313 et 359) motre qu'e fait les deux valeurs sot sigificativemet différetes