Statistiques et inférence topologique : de nouvelles méthodes pour l analyse des données

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1 Mathématiques en mouvement 2014 Statistiques et inférence topologique : de nouvelles méthodes pour l analyse des données Bertrand MICHEL (LSTA - Upmc & INRIA Saclay équipe GEOMETRICA )

2 Introduction Beaucoup de données disponibles peuvent être représentées par des nuages de points dans des espaces possiblement de grandes dimensions : données web, images databases, données astronomiques... Besoin de comprendre la structure géométrique de ces nuages (par exemple avant modélisation plus fine) Ces nuages de points sont souvent localisés à proximité de sous-variétés de dimensions beaucoup plus faibles. Comment décrire de façon simple l organisation des données dans l espace?

3 Contexte général Nuage de points (X 1,..., X n ) échantillonés dans R d sur une forme géométrique inconnue, proche d une forme géométrique inconnue, dans une zone non néssairement associée à un objet physique Des données échantillonées dans un espace métrique plus complexe.

4 Des méthodes statistiques pour la géométrie Analyse géométrique des données / réduction de dimension : Analyse en composantes principales Projection sur l espace engendré par les premieres directions propres de la matrice de covariance C = 1 N N (x n x)(x n x) T n=1

5 Des méthodes statistiques pour la géométrie Analyse géométrique des données / réduction de dimension : Analyse en composantes principales, Dimension : = N = 698 observations 3 paramètres libres : - orientation gauche-droite, - orientation bas-haut, - exposition.

6 Des méthodes statistiques pour la géométrie Analyse géométrique des données / réduction de dimension : Analyse en composantes principales Courbes principales, path density estimation...

7 Des méthodes statistiques pour la géométrie Analyse géométrique des données / réduction de dimension : Analyse en composantes principales Courbes principales, path density estimation... ISOMAP : Estimation de la géométrie des sous-variétés M ISOMAP Algorithme : 1. Construire un graphe de proximité G entre les points pour approcher la distance géodésique sur M. 2. Construire la matrice des distances géodésique D G = (d 2 G (x i, x j )). 3. Appliquer une méthode de réduction de dimension (Multidimensional Scaling, dans l esprit de l ACP) pour cette métrique.

8 Des méthodes statistiques pour la géométrie Analyse géométrique des données / réduction de dimension : Analyse en composantes principales Courbes principales, path density estimation... ISOMAP : Estimation de la géométrie des sous-variétés Estimation d ensembles (support,niveaux, bords...) X 1,..., X n i.i.d. de loi P, support de P? estimateur de l enveloppe convexe : Ŝ = Conv(X 1,..., X n ) C Devroye and Wise estimator (1980) : Ŝ n = n i=1b(x i, ε n ) with nε d n.

9 Analyse topologique des données Objectif : estimer des signatures topologiques à partir des données. Les défis à relever : constructions géométriques construites à partir des nuages de points permettant d estimer des signatures topologiques ; des propriétes topologiques observables à plusieurs échelles (propriétés persistantes) ; des garanties statistiques sur les méthodes.

10 Homologie L homologie d un espace S est une collection de groupes qui correspondent aux caractéristiques topologiques de S. L homologie permet de définir et de classer de façon rigoureuse les trous, les cavités, dans une forme géométrique. Le groupe d homologie est une collection de classes d equivalence de cycles définis sur l objet : le premier groupe d homologie correspond aux composantes connexes (clusters). Le second groupe d homologie correspond aux boucles etc... Le nombre de Betti β k est égal au rank du k-ème groupe d homologie = nombre de trous de dimension k.

11 Complexes simplicaux Soient v 0, v 1,..., v k R d affinement indépendants. σ = [v 0 ; v 1,... ; v k ] est un k-simplexe. Un simplexe construit sur un sous-ensemble des sommets v 0, v 1,..., v k est une face de σ. Un complexe simplicial C est une union finie de simplexes telle que pour tout σ C, toutes les faces de σ sont aussi dans C, l intersection de deux simplexes de C est soit vide, soit un simplexe qui correspond alors à leur face commune de plus grande dimension.

12 Exemples β 0 = 2 β 1 = 0 β 2 = 0 β 0 = 1 β 1 = 0 β 2 = 0 β 0 = 1 β 1 = 0 β 2 = 1 si vide and β 2 = 0 si plein β 3 = 0

13 Exemples β 0 = 2 β 1 = 2 β 2 = 1 si vide and β 2 = 0 si plein β 3 = 0

14 Filtrations de complexes simpliciaux Rips Čech Examples : Soit (X, d X ) un espace métrique Complexes de Vietoris-Rips : pour tout a > 0, [x 0, x 1,, x k ] Rips(X, a) d X (x i, x j ) a, pour tous i, j where B(x, a) = {x X : d X (x, x ) a}. Complexes de Čech : for a > 0, [x 0, x 1,..., x k ] Čech(X, a) k i=0 B(x i, a).

15 Homologie persistante

16 Homologie persistante

17 Homologie persistante

18 Homologie persistante

19 Homologie persistante

20 Homologie persistante

21 Homologie persistante

22 Homologie persistante

23 Homologie persistante

24 Homologie persistante

25 Homologie persistante

26 Homologie persistante

27 Homologie persistante

28 Homologie persistante death Méthode introduite par Edelsbrunner et al Une façon efficace d encoder l evolution de la topologie (homologie) d une flitration. Information multi-échellle. Add the diagonal Multiplicity : 2 0 birth Diagramme de persistance

29 En résumé Données Fiiltration dimensional homology generators 1-dimensional homology generators

30 Un exemple : deux cercles

31 Comparaison de diagrammes camel cat elephant face head horse

32 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

33 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

34 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

35 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

36 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

37 accéléromètre porté par trois marcheurs : Fred, Fabrizio et Bertrand Walking Experiment

38 Remark : Confidence intervals only depending on a and b (see also [Balakrishnan et al 2013] when X µ is a smooth manifold). Concentration inequality (M, ρ, µ) X µ compact X 1, X 2,, X n i.i.d. sampled according to µ. X n Filt( X n ) For a, b > 0, µ satisfies the (a, b)-standard assumption if for any x X µ and any r > 0, we have µ(b(x, r)) min(ar b, 1). Theorem : If µ satisfies the (a, b)-standard assumption, then for any ε > 0 : ( ) P (d b dgm(filt(x µ )), dgm(filt( X n )) ( ) Moreover d b (dgm(filt(x µ )), dgm(filt( X n )) lim P n where C 1 is a constant only depending on a and b. ) > ε min( 8b aε b exp( naεb ), 1). C 1 ( log n n ) 1/b ) = 1.

39 References : F. Chazal, M. Glisse, C. Labruère, B. Michel, Optimal rates of convergence for persistence diagrams in Topological Data Analysis, arxiv : , May S. Balakrishnan, B. Fasy, F. Lecci, A. Rinaldo, A. Singh and L. Wasserman, Statistical Inference For Persistent Homology, J. Dedecker and B. Michel (2013). Minimax rates of convergence for Wasserstein deconvolution with supersmooth errors in any dimension. To appear in JMVA. F. Chazal, V. de Silva, S. Oudot, Persistence Stability for Geometric complexes, arxiv : , July F. Chazal, V. de Silva, M. Glisse, S. Oudot, The Structure and Stability of Persistence Modules, arxiv : , July C. Caillerie, F. Chazal, J. Dedecker and B. Michel (2011). Deconvolution for the Wasserstein metric and geometric inference. EJS, Vol 5, F. Chazal, D. Cohen-Steiner, Q. Mérigot, Geometric Inference for Probability Measures, JOCM, vol. 11, 6, H. Edelsbrunner, D. Letscher and A. Zomorodian. Topological persistence and simplication. Discrete Comput. Geom., 28 : , 2002.