Cycle de vie, Portefeuille et Simulations. Ph. Bernard & N. El Mekkaoui de Freitas

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1 Cycle de vie, Portefeuille et Simulations Ph. Bernard & N. El Mekkaoui de Freitas Les procédures ont été réalisées pour le cours cycle de vie et gestion de portefeuille du master 272 Ingénierie Economique et Financière. Cette section présente diverses procédures utilisées pour évaluer les résultats d'une stratégie d'investissement dans le cadre du cycle de vie. Typiquement, ces procédures ont pour objet d'évaluer les coûts et avantages de plans de retraites (par capitalisation) définis par des taux de cotisation et des portefeuilles d'investissement. Les procédures diffèrent par le mode d'évaluation, la complexité des stratégies, et les paramètres pris en compte. Dans les procédures les plus simples, on évalue la distribution des rendements moyens, les probabilités de ruine à l'âge de la retraite. Les paramètres des stratégies (contributions, structure du portefeuille) sont constants. Dans les procédures les plus complexes, on permet des stratégies dépendant de l'âge et on prend en compte le risque de mortalité aussi bien que les risques attachés aux rendements des titres. Pour évaluer les stratégies, on calcule alors les équivalents certains des stratégies. Les procédures (présentées ci-dessous) : simulation d'une loi normale multivariée Simulation d'investissements financiers de long terme équivalent certain d'une stratégie d'investissement de long terme optimisation d'un plan de retraite stratégies d'investissement avec horizon incertain stratégies d'investissement avec des stratégies conditionnelles au cycle de vie données utilisées dans les simulations

2 Simulation d une loi normale multivariée L'objet du fichier auquel renvoie cette page est de présenter le code d'une fonction permettant de simuler une loi normale multivariée. La procédure principale (de type sub) met ensuite en oeuvre cette fonction sur les données de la feuille "parametres" pour reporter les valeurs de 10 histoires possibles pour un portefeuille 60/40 (60% en actions, 40% en obligations). Pour télécharger le fichier Excel (avec les procédures), cliquer ci-dessous : Références Jackson, M. & Staunton, M. "Advanced modelling in finance using Excel and VBA ", Wiley, 2004 Riva, F. "Applications financières sous Excel en Visual Basic", Economica, 2005

3 Ambrosino, J.-Ph., L. Longre, C. Loos-Sparfel & J.-P. Mesters "VBA pour Microsoft Office 2007", Micro Application, 2007 Jelen, W. and T. Syrstad "VBA and Macros Microsoft Excel", Business Solutions, 2004 Ouvrages sur VBA

4 Simulation d investissements financiers de Long Terme L'objet de ces procédures est de simuler une stratégie de placement réalisé dans le cadre du cycle de vie. Les rendements des titres sont supposées suivrent une loi normale (identique) à chaque période. En fonction de la contribution fixée, du rythme de version de la pension (et des modalités), du portefeuille stationnaire déténu, on simule les trajectoires des revenus obtenus, on calcule les rendements moyens du portefeuille, les probabilités de ruine à différents agents. Les données doivent être mises sur la feuille "parametres". Ces données sont : l'âge initial, l'âge de la retraite, l'âge terminal (supposé certain), la valeur initiale du portefeuille; les caractéristiques des titres (rendements moyens, volatilités, corrélations); la structure du portefeuille utilisé; les paramètres de la contribution et de la politique de prélèvement après la retraite. La structure du portefeuille est supposée constante au cours du temps. La contribution est définie par un niveau initial et par son taux de croissance. Enfin le prélèvement est défini par un fixe et par le taux de liquidation du portefeuille. Le revenu versé à la retraite est donc donnée par : revenu versé en t = fixe + taux de liquidation * valeur du portefeuille en t La synthèse des résultats est sur la feuille "resultats". Les statistiques sur l'évolution de la richesse et des revenus (prélevés puis versés) sont sur les feuilles "revenus" et "richesse".

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6 Les probabilités de ruine sont calculés sur la feuille "richesse" et certaines sont reportées sur la feuille "resultats".

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8 Evaluation des stratégies d investissement de long terme Comment évaluer une stratégie d'investissement à long terme, par exemple un plan de retraite? La méthode proposée ici consiste à combiner les simulations de Monte Carlo avec un modèle d'utilité espérée (représentant les objectifs de l'investisseur). Cette dernière permet en effet de définir l'équivalent certain, i.e. ici le revenu certain et stationnaire perçu tout au long de la vie équivalent au profit de revenu obtenu. Le cadre d'analyse est donc celui du cycle de vie. Les rendements des titres sont supposées suivrent une loi normale (identique) à chaque période. En fonction de la contribution fixée, du rythme de version de la pension (et des modalités), du portefeuille stationnaire déténu, on simule les trajectoires des revenus obtenus, on calcule les rendements moyens du portefeuille, les probabilités de ruine à différents agents. La structure du portefeuille est supposée constante au cours du temps. La contribution est définie par un niveau initial et par son taux de croissance. Enfin le prélèvement est défini par un fixe et par le taux de liquidation du portefeuille. Les politiques de prélèvement combinent une part fixe et une part variable dépendante de la valeur du portefeuille. La pension de la période t (notée pt) est donc supposée être de la forme : pension en t = fixe + b*valeur du portefeuille en t

9 Les données doivent être mises sur la feuille "parametres". Ces données sont : l'âge initial, l'âge de la retraite, l'âge terminal (supposé certain), la valeur initiale du portefeuille; les caractéristiques des titres (rendements moyens, volatilités, corrélations); la structure du portefeuille utilisé; les paramètres de la contribution et de la politique de prélèvement après la retraite. La synthèse des résultats est sur la feuille "resultats". Les statistiques sur l'évolution de la richesse et des revenus (prélevés puis versés) sont sur les feuilles "revenus" et "richesse". Les probabilités de ruine sont calculés sur la feuille "richesse" et certaines sont reportées sur la feuille "resultats". En supposant que l'investisseur a des préférences à la von Neuman & Morgenstern (utilité espérée), avec la fonction puissance comme fonction d'utilité élémentaire, on est cette fois capable de calculer l'équivalent certain des trajectoires de consommation. Cet équivalent est calculé pour une espérance de vie exogène (fixée à 95 ans). Les valeurs obtenues pour l'équivalent certain illustre notamment l'impact du risque de ruine. Même à des niveaux faibles, celui-ci fait baisser considérablement la valeur de l'équivalent certain.

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11 Optimisation d un plan de retraite A taux d'épargne donné et à structure de portefeuille donnée, comment doivent être fixés les paramètres de la politique de prélèvement sur le capital accumulé après la retraite? Dans ce fichier, en se plaçant dans un cadre classique (cycle de vie, stratégie stationnaire d'épargne et d'investissement, on utilise les simulations pour tenter de répondre à cette question. Le cadre d'analyse est celui du cycle de vie. Les rendements des titres sont supposées suivrent une loi normale (identique) à chaque période. En fonction de la contribution fixée, du rythme de version de la pension (et des modalités), du portefeuille stationnaire déténu, on simule les trajectoires des revenus obtenus, on calcule les rendements moyens du portefeuille, les probabilités de ruine à différents agents. La structure du portefeuille est supposée constante au cours du temps. La contribution est définie par un niveau initial et par son taux de croissance. Enfin le prélèvement est défini par un fixe et par le taux de liquidation du portefeuille. Les politiques de prélèvement combinent une part fixe déterminé à l'âge de la retraite et une part variable dépendante de la valeur du portefeuille. La pension de la période t (notée pt) est donc supposée être de la forme : pt=a*wretraite+b*wt où pt est la reraite versée à la période t, Wretraite est la richesse accumulée à l'âge de la retraite, Wt la richesse à la période t. En supposant que l'investisseur a des préférences à la von Neuman & Morgenstern (utilité espérée), avec la fonction puissance comme fonction d'utilité élémentaire, on est cette fois capable de calculer l'équivalent certain des trajectoires de consommation. Cet équivalent est calculé pour une espérance de vie exogène (fixée à 95 ans). Les valeurs obtenues pour l'équivalent certain illustre notamment l'impact du risque de ruine. Même à des niveaux faibles, celui-ci fait baisser considérablement la valeur de l'équivalent certain.

12 Les données doivent être mises sur la feuille "parametres". Ces données sont :

13 l'âge initial, l'âge de la retraite, l'âge terminal (supposé certain), la valeur initiale du portefeuille les caractéristiques des titres (rendements moyens, volatilités, corrélations); la structure du portefeuille utilisé; les paramètres de la contribution et de la politique de prélèvement après la retraite. La procédure principale réalise les étapes suivantes : simulation de l'univers des titres pour un horizon de cycle de vie; puis on réalise une double boucle sur les deux paramètres de la politique de prélèvement pour évaluer successivement les équivalents certains et les probabilités de ruine (après 15 ans de retraite). Les résultats stockés dans les deux tableaux des feuilles "statcomp - EC" et "statcomp - prob" donnent les graphiques 3D des autres feuilles. Ils révèlent le fort lien entre la probabilité de ruine et l'évolution de l'équivalent certain. En fait la corrélation entre ces deux variables est de -0,76!

14 Le fort impact de la probabilité de ruine sur l'équivalent certain impose que la valeur de a sera assez faible (de l'ordre de 1%) alors que la valeur de b sera de l'ordre de 4%. L'équivalent certain de cette politique optimale est de euros (certains et stationnaires de 25 à 85 ans) alors que le revenu annuel initial (à 25 ans) est de euros et que l'équivalent certain des revenus d'activité est de euros (toujours perçus entre 25 et 85 ans). Cette valeur reflète naturellement le fort impact des situations de ruine ou de revenus faibles pour un agent averse au risque.

15 Stratégies d investissement avec horizon incertain Dans la modélisation présentée ici, l'horizon d'investissement est incertain et déterminé par une table de mortalité. A chaque période, on simule donc le risque de décès conjointement aux rendements des titres - les deux risques étant supposés indépendants. La méthode proposée ici pour évaluer les stratégies d'investissement consiste à combiner les simulations de Monte Carlo avec un modèle d'utilité espérée (représentant les objectifs de l'investisseur). Cette dernière permet en effet de définir l'équivalent certain, i.e. ici le revenu certain et stationnaire perçu tout au long de la vie équivalent au profit de revenu obtenu. Pour évaluer l'impact de l'aversion au risque, on détermine successivement, l'équivalent certain en l'absence d'aversion à l'égard du risque, l'équivalent certain pour chaque histoire simulée (prenant en compte l'instabilité de la consommation de période à période), dont on calcule la moyenne (EC expost), et l'équivalent certain sur l'ensemble des histoires (EC ex ante). Pour rendre compte de la performance du portefeuille on calcule ses rendements annuels, son facteur de croissance. Le cadre d'analyse est donc celui du cycle de vie. Les rendements des titres sont supposées suivrent une loi normale (identique) à chaque période. En fonction de la contribution fixée, du rythme de version de la pension (et des modalités), du portefeuille stationnaire déténu, on simule les trajectoires des revenus obtenus, on calcule les rendements moyens du portefeuille, les probabilités de ruine à différents agents. La structure du portefeuille est supposée constante au cours du temps. La contribution est définie par un niveau initial et par son taux de croissance. Enfin le prélèvement est défini par un fixe, la valeur du portefeuille à la retraite, et par le taux de liquidation du portefeuille. Les politiques de prélèvement combinent une part fixe et une part variable dépendante de la valeur du portefeuille. La pension de la période t (notée pt) est donc supposée être de la forme : pension en t = fixe + a*(valeur du portefeuille à l'âge de la retraite) + b*(valeur du portefeuille en t)

16 Les données doivent être mises sur la feuille "parametres". Ces données sont : l'âge initial, l'âge de la retraite, l'âge terminal (supposé certain), la valeur initiale du portefeuille; les caractéristiques des titres (rendements moyens, volatilités, corrélations); la structure du portefeuille utilisé; les paramètres de la contribution et de la politique de prélèvement après la retraite. La synthèse des résultats est sur la feuille "resultats". Les statistiques sur l'évolution de la richesse et des revenus (prélevés puis versés) sont sur les feuilles "revenus" et "richesse". Les probabilités de ruine sont calculés sur la feuille "richesse" et certaines sont reportées sur la feuille "resultats". En supposant que l'investisseur a des préférences à la von Neuman & Morgenstern (utilité espérée), avec la fonction puissance comme fonction d'utilité élémentaire, on est cette fois capable de calculer l'équivalent certain des trajectoires de consommation. Cet équivalent est calculé pour une espérance de vie exogène (fixée à 95 ans). Les valeurs obtenues pour l'équivalent certain illustre notamment l'impact du risque de ruine. Même à des niveaux faibles, celui-ci fait baisser considérablement la valeur de l'équivalent certain.

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18 Stratégies d investissement conditionnelles indexées sur le cycle de vie Dans la modélisation présentée ici, l'horizon d'investissement est incertain et déterminé par une table de mortalité. A chaque période, on simule donc le risque de décès conjointement aux rendements des titres - les deux risques étant supposés indépendants. La méthode proposée ici pour évaluer les stratégies d'investissement consiste à combiner les simulations de Monte Carlo avec un modèle d'utilité espérée (représentant les objectifs de l'investisseur). Cette dernière permet en effet de définir l'équivalent certain, i.e. ici le revenu certain et stationnaire perçu tout au long de la vie équivalent au profit de revenu obtenu. Par rapport aux autres modélisations, celle présentée ici permet de définir des stratégies conditionnelles au cycle de vie. Le taux d'épargne, les parts investies dans les titres sélectionnés peuvent être définis pour chaque âge possible. Le lancement de la procédure suppose que l'ait au préalable défini le fichier des données, et se déroule en 3 étapes: la définition de l'univers de titres; la définition des stratégies (d'épargne et de portefeuille); le lancement des simulations. Pour évaluer l'impact de l'aversion au risque, on détermine successivement, l'équivalent certain en l'absence d'aversion à l'égard du risque, l'équivalent certain pour chaque histoire simulée (prenant en compte l'instabilité de la consommation de période à période), dont on calcule la moyenne (EC expost), et l'équivalent certain sur l'ensemble des histoires (EC ex ante). Pour rendre compte de la performance du portefeuille on calcule ses rendements annuels, son facteur de croissance.

19 Les données doivent être mises sur les feuilles "parametres" et "stratégies". Ces données sont : l'âge initial, l'âge de la retraite, l'âge terminal (supposé certain), la valeur initiale du portefeuille; les caractéristiques des titres (rendements moyens, volatilités, corrélations); la structure du portefeuille utilisé; les paramètres de la contribution et de la politique de prélèvement après la retraite. La synthèse des résultats est sur la feuille "resultats". Les statistiques sur l'évolution de la richesse et des revenus (prélevés puis versés) sont sur les feuilles "revenus" et "richesse". Les probabilités de ruine sont calculés sur la feuille "richesse" et certaines sont reportées sur la feuille "resultats".

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