Chapitre VI. Intégrales doubles

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1 Chapitre VI Intégrales doubles. PARTIES QUARRABLES..... PAVÉS..... PARTIES PAVABLE PARTIES QUARRABLES.... INTÉGRALE OUBLE ÉFINITION PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES E L INTÉGRALE OUBLE CALCUL 'UNE INTÉGRALE OUBLE CALCUL SUR UN PAVÉ CALCUL SUR UN OMAINE QUARRABLE CALCUL 'AIRES CALCUL E VOLUME CHANGEMENT E VARIABLES ANS UNE INTÉGRALE OUBLE COORONNÉES QUELCONQUES FONCTION COMPOSÉE CHANGEMENT E VARIABLES AFFINE COORONNÉES POLAIRES EXEMPLES IVERS INTÉGRALE OUBLE SUR UN OMAINE AMETTANT UN ÉLÉMENT E SYMÉTRIE CALCUL E L INTÉGRALE OUBLE PAR UTILISATION ES COURBES E NIVEAU MASSE, CENTRE INERTIE, MOMENT INERTIE MASSE UNE PLAQUE PLANE CENTRE INERTIE UNE PLAQUE PLANE MOMENT INERTIE UNE PLAQUE PLANE... 0 Part LEILA RICHA

2 CHAPITRE 6 /0. Parties Quarrables.. Pavés On appelle pavé fermé borné de R toute produit cartésien P = I J où I et J sont des intervalles de R. [, ] [, ] P = a a b b est un eemple d un pavé fermé borné de R... Parties pavable On appelle partie pavable de R toute réunion d un nombre fini de pavés bornés de R..3. Parties quarrables Soit une partie bornée de R. On note : + A ( ) A ( ) la borne inférieure des aires des parties pavables de R contenant. la borne supérieure des aires des parties pavables de R contenus dans. On dit que est quarrable si et seulement si A ( ) A + ( ) et on note A( ) le réel défini par : A( ) = A ( ) = A + ( ) = ; dans ce cas, on appelle aire de, A + HL A - HL AHL Figure Figure Figure 3

3 CHAPITRE 6 3/0. Intégrale ouble.. éfinition Soit f une fonction continue sur un rectangle U de R. U = [a, b] [c, d]=i J. Partageons l intervalle I comme suit: a =... m = b Nous notons PI = (,,..., m) cette partition. e même partageons l intervalle J en posant : c = y y... yn = d y j+ y j i i+ Figure 4 Nous notons PJ = ( y, y,..., yn ) cette partition. Ainsi le rectangle U est partagé en sousrectangle : S = [, ] [ y, y ] ij i i+ j j+ Nous avons : Aire(U)=(d - c)(b - a) et Aire( Sij ) = ( y j+ y j )( i + i ) La fonction f étant continue sur le rectangle U, est continue sur tout sous-rectangle S ij de U, et y est ainsi bornée. Ce qui entraîne l eistence de min Sij f et de ma S f. Posons: ij m n W( P, f) = (ma f)( y y )( ) i= j= Sij j+ j i+ i m n LP (, f) = (min f)( y y)( ) i= j= Sij j+ j i+ i

4 CHAPITRE 6 4/0 Si v ij est un point de ij fonction, alors la somme: m n i= j= S tel que ( ij ) SPf (, ) = fv ( )( y y)( ) f v n est ni un minimum ni un maimum de la ij j+ j i+ i est nommée somme de Riemann relative à f. Nous avons alors les inégalités suivantes: min ( ) f f v ma f L(P, f) S(P, f) W(P, f) Sij ij Sij Nous disons que f est intégrable sur U, si lorsque n et m tendent vers l infini ces trois sommes tendent vers une même limite. Nous appelons cette limite intégrale double de f sur U et nous la notons: U f = f (, y) ddy U Théorème Soit U un rectangle. Toute fonction définie et continue dans U est intégrable dans U. Théorème Soit U un rectangle et soit f une fonction définie dans U, bornée et continue sauf peut-être sur un nombre fini de courbes de classe C. Alors f est intégrable dans U. Proposition Soit A une région de R dont la frontière est une courbe (ou la réunion d'un nombre fini de courbes de classe C ). Si A est bornée (i. e pouvant être comprise dans un rectangle U) et si f est une fonction continue dans A alors f est intégrable sur A. A U EN EFFET Soit A une région de R dont la frontière est une courbe (ou la réunion d'un nombre fini de courbes) de classe C. A est supposée bornée donc pouvant être comprise dans un rectangle U. Soit f une fonction définie dans A. Nous voulons calculer l'intégrale double de f sur A.. Pour cela prolongeons la fonction f sur tout le rectangle U, en posant: fu ( P) = 0 P U A f ( P) = f( P) P A U La fonction f U est continue dans U, sauf peut-être sur la frontière de A. qui est une courbe de classe C. On pose alors f = f A U U

5 CHAPITRE 6 5/0 Théorème 3 Toute application f : bornée et continue sur une partie quarrable de R est intégrable sur... Propriétés élémentaires de l intégrale double Théorème 4 Soient f et g deu fonctions définie et continues dans une partie quarrable U. Alors ( f + g) = f + g; kf = k f; k R U U U U U Théorème 5 Soient f et g deu fonctions définie et intégrables dans une partie quarrable U, avec X U; f( X) g( X) f g U Théorème 6 Soit A une région bornée de R, réunion de deu régions B et C n'ayant en commun qu'un nombre fini de courbes. Si f est une fonction définie et continue dans A sauf peut-être sur un nombre fini de courbes de classe C alors f = f + f A B C Autrement dit : A= BUC avec BI C = o Théorème 7 (Inégalité de Cauchy Schwarz) Si f et g sont deu fonctions intégrables sur une partie quarrable de R, alors f et fg f g g sont intégrables sur et : ( ) ( )( ) o U

6 CHAPITRE 6 6/0 3. Calcul d'une intégrale double 3.. Calcul sur un pavé Théorème 6 Soit f une fonction intégrable sur un rectangle (pavé) U=[a, b] [c, d]. Si pour tout: [ a, b] f ( y) = f (, y) est intégrable sur [c, d] alors: d la fonction de : f (, y) dy est intégrable sur [a, b] c b d et f = ( (, ) U a c ) f y dy d eemple Calculer E y y 0 0 rép. e Soient Cas particulier abcd,,, ( ) 4 = [ ab, ] [ cd, ] u: [ a, b] R continue v: [ c, d] R continue Alors l application f : R R tel que a b et c d, définie par f ( y, ) u( v ) ( y) d ( )( ( ) ) b ( ) ( ) = ( ) u v y ddy u d v y dy a c On dit alors que l intégrale double est à variable séparée. eemple 4 4 Calculer ( )( ) ydyd = d ydy 3 rép Calcul sur un domaine quarrable Théorème de Fubini ère Version ab, Soient : ( ), :[, ] R tel que a b = est intégrable sur et : g g a b R, deu fonctions de classe C tel que g g

7 CHAPITRE 6 7/0 { } = ( y, ) R ; a bet g( ) y g( ) f : R continue Alors est quarrable f est intégrable sur b g ( ) f = ( (, ) a g ( ) ) f y dy d Ceci montre que l intégrale double se ramène à deu intégrales simples emboîtées. g HL g HL a b Figure 5 EXEMPLE. Calculer l'intégrale double de la fonction = y y= > y= {(, ) / 0, } f ( y, ) y = + sur le domaine Figure y + = + = + = ( y ) dyd ( ) 0 y d

8 CHAPITRE 6 8/0 Théorème de Fubini ème Version Soient : cd, ( ) R tel que c d g, g :[ c, d] R = {( y, ) R ; c y det g( y) g( y) } f : R continue Alors est quarrable f est intégrable sur d g ( y) f = ( (, ) c g ( y) ), deu fonctions de classe C tel que g g d f y d dy g HyL g HyL c Figure 7 EXEMPLE. f (, y)= y et est limité par y=, y=, =0, = y. (rép ) Figure 8 3 y 5 y y 7 yddy= y dy dy 3 = = 3 0 0

9 CHAPITRE 6 9/ Calcul d'aires La surface d'un domaine A de R est donnée par S( A) = A ddy EN EFFET b g ( ) b b b A a g ( ) a a a S( A) = ddy = dyd = ( g ( ) g ( )) d = g ( ) d g ( ) d 3 g HL g HL Figure 9 EXEMPLE Calculer la surface du domaine borné par la droite y = et la courbe y = Figure 0 dyd = dyd = Calcul de Volume Si la fonction f(, y) est positive pour tout (, y) de U, et si f(, y) représente une hauteur, l intégrale double est alors interprétée comme étant le volume de la région de l'espace à trois dimensions située au-dessus de l'ensemble U et limitée supérieurement par le graphe de f. Autrement dit, si f(, y) est l'équation d'une surface S, le volume V compris entre la surface S et le plan Oy est donné par: V = U f (, y) ddy

10 CHAPITRE 6 0/0 Eemple {(, )/0 } = y + y 0 0 ( ) y dyd Rép. 6 Cette intégrale est interprétée comme le volume compris entre la partie du plan z=--y située audessus du triangle 0 + y et le plan Oy Figure Part 4. Changement de variables dans une intégrale double. 4.. Coordonnées quelconques. Soit f une fonction des deu variables et y définie sur un ensemble ouvert U. Supposons que = (u, v) et y = y(u, v) sont deu fonctions de classes C sur U. Le jacobien de la, y u, v est par définition le déterminant: transformation de ( ) ( ) ' ' u v u v J = = = y y ' ' y y yu yv u v ' ' ' ' u v v u

11 CHAPITRE 6 /0 On note : J (, y) = ( uv, ) On démonte que : * ( ( ) ( )) f (, y ) ddy = f u, v, y u, v J dudv 4.. Fonction composée On démontre aussi que si J est le jacobien de la transformation (, y) ( u, v) alors le jacobien de la transformation ( uv, ) ( y, ) est J On démontre de même que le jacobien J de la transformation :, y u, v s, t est : ( ) ( ) ( ) J (, y) (, y) ( u, v) = = (,) st (, uv) (,) st 4.3. Changement de variables affine = au+ bv 4 avec ( abcd,,, ) R, ad bc 0 y = cu + dv a b J = ad bc c d = * f (, y ) ddy = f *( u, v ) ad bc dudv EXEMPLE Calculer l intégrale double de la fonction f ( y, ) = sur le pavé : = [,] [,] Effectuons un changement de variables = u y =+ v a = ; b= 0 c = 0; d =+ J = J = { ; } { ; } = y * = u v ( )( ) * ddy = u dudv = ududv = dv udu = 0= 0

12 CHAPITRE 6 / Coordonnées polaires ( y, ) r θ cosθ r sinθ = rcos θ; y = rsinθ J = = = = r (, r θ) y y sinθ rcosθ r θ y = + = r y ; θ ArcTan J r r y r θ y r r y = = = = + = = (, y) θ θ y r r r J y r r (, ) 3 3 EXEMPLE. Soit à calculer l aire d un disque de rayon a: Nous savons que : S = ddy π a π a S = ddy = J drdθ = rdrdθ = dθ = πa * y r π θ Figure. Calculer l intégrale double de la fonction (, ) = (, y) R ; 0, + y y 0 { } En passant en coordonnées polaires on trouve : y y r r θ r = + sur le domaine f y y + 0 sin 0 sinθ

13 CHAPITRE 6 3/0 π =, θ ;0 θ,0 sinθ * r R r ( ) y r πê θ Figure 3 π ( + ) = * ( ) θ = sinθ 3 y ddy r J drd r drdθ 5. Eemples divers 0 0 π 3π = ( cosθ) dθ = f(, y) = y et est le triangle déterminé par y =, +y= et = Figure 4 ydyd = y d = ( ) d = 3 4. f, y) =, = {(,y) / ; 0 y } ( (rép. 3)

14 CHAPITRE 6 4/ Figure 5 5. f (, y) = y, = {(,y) / 0; y } (rép. 6 ) ydyd + ydyd = 6 3 Figure 6 - Part 3 6. Intégrale double sur un domaine admettant un élément de symétrie Etudions l'intégrale: Δ I = f (, y) ddy où Δ est un domaine admettant, soit un centre de symétrie, soit un ae de symétrie (droite ou oblique). a) Si, la fonction f associe deu nombres opposés à deu points P et P' symétriques on a I = 0 ( ) ( ) f P = f P' I = f(, y) ddy = 0 Δ

15 CHAPITRE 6 5/0 En effet, dans le calcul de l'intégrale double I comme limite de sommes σ on peut se limiter a des subdivisions (d) formées de domaines deu à deu symétriques et convenir de choisir, dans deu domaines symétriques, deu points symétriques; on obtient ainsi σ(d) = 0 pour toutes les subdivisions (d) considérées. On en déduit I= omaine qui admet l'ae des comme ae de symétrie avec une fonction f vérifiant π sin y f ( P) = f ( P' ) ; I = dyd = 0 0 -sin Figure 7

16 CHAPITRE 6 6/0 b) Si, la fonction f associe deu nombres égau à deu points P et P symétriques, on démontre de la même façon, ( ) ( ) ' f P = f P' I = f(, y) ddy Δ Δ' désignant un sous-ensemble de Δ tel que, Δ'' désignant l homologue de Δ' dans la symétrie considérée, les domaines Δ' et Δ'' soient disjoints et Δ' Δ''=Δ omaine qui admet l'ae des comme ae de symétrie avec une fonction f vérifiant f P = f P' ; I = ( ) ( ) π sin 0 -sin y dyd π sin y π I = dyd= Figure 8 7. Calcul de l intégrale double par utilisation des courbes de niveau. Théorème Si le domaine d'intégration Δ est engendré par des courbes de niveau f y, = t de la fonction f alors: ( ) (, ) t = tda ( t ) t0 f y ddy Δ où A(t) est la surface de Δ eprimée en fonction de t. Eemple Calculer f (, y) ddy où : Δ Δ est le cercle (, ) = + f y y 0 y +, et t

17 CHAPITRE 6 7/0 Calculer f (, y) ddy où : Δ Δ est le triangle 0 + y, t f ( y, ) = + y ÉMONSTRATION Soit f une fonction de deu variables définie sur un domaine Δ. Notons C(t) la courbe définie par f ( y, ) = t. Nous supposons que : Δ est engendré par les courbes C(t) lorsque t croit de a à b. (t) est la partie du domaine comprise entre C(a) et C(t). Δ= ( b) d = ( t + dt) ( t) Figure 9 Posons : A() t = ddy = airede( t) et d = ( t + dt) ( t) t () Alors : A( t + dt) A() t = ddy = aire de d d Posons : Alors : Ft () f( yddy, ) =. t () Δ F ( b) = f (, y) ddy = L intégrale à calculer F( a ) = 0

18 CHAPITRE 6 8/0 Appliquons la relation de Chasles Nous avons : Ft ( dt) Ft ( ) f( yddy, ) + = Pour tout (, y ) de «d» nous avons: (, ) t f y t + dt d tddy f (, y) ddy ( t + dt) ddy d d d t ddy f (, y) ddy ( t dt) ddy d + d d t ( A( t + dt) A( t) ) F ( t + dt) F ( t) ( t + dt) ( A( t + dt) A( t) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) At+ dt At F t+ dt F t At+ dt At t ( t+ dt) dt dt dt On en déduit lorsque dt tend vers zéro : F' ( t) = t A' ( t) b ( ) = '( ) F '() t dt b ta '() t dt b = a Fb ( ) Fa ( ) = tdat () a a F' t ta t b F Fb ( ) = tdat () et comme ( b) a Δ Or ( a) = 0 F = f (, y) ddy b f (, y) ddy = tda() t Δ c.q.f.d. a Eemple Soit à calculer ( + ) y ddy où Δ est le disque Δ 0 < + y a Eemple 4 a a 3 a + = = = 0 0 ( ) ( π ) π Δ Calculer y ddy t d t t dt y I = + a b π ddy Δ ; Δ étant défini par y + 0. a b Les courbes de niveau f ( y, ) = t engendrent le domaine Δ quand t croit de 0 à. A(t) = πabt. A (t) = πab I π ab = tπ abdt = 0

19 CHAPITRE 6 9/0 8. Masse, Centre d inertie, Moment d inertie 8.. Masse d une plaque plane, ρ où est une partie quarable de R et On appelle plaque plane tout couple ( ) ρ : R+ une application continue appelée densité superficielle de la plaque. On appelle masse d une plaque plane (, ρ ) le réel m défini par m = ρ ( M ) ddy, où M ( y, ) décrit (, ρ ) Eemple Calculer la masse d une plaque plane définie par ( ) ( ) ρ (, y) =.5 la densité superficielle. f = sin ;0 < < π et Figure 0 Sin 5 m = ρ (, y) dyd =.5dyd.5 sind 0 = = 0 0 π π π 8.. Centre d inertie d une plaque plane, ρ de R est le point G de Le centre d inertie d une plaque plane ( ) R défini par : G = (, y) ddy m ρ yg = yρ (, y) ddy m où (, y ) décrit et m la masse de (, ) ρ. Eemple Trouver le centre d'inertie de la plaque précédente. π π G = ρ (, y) ddy.5 dyd 0 0 m = = 5π π Sin 4

20 CHAPITRE 6 0/0 π Sin π yg = y (, y) ddy.5ydyd 0 0 m ρ = = 5π Moment d inertie d une plaque plane Soit H un point ou une droite de R ; pour tout point M de distance de M à H. Le moment d inertie d un fil (, ρ ) de R par rapport à H est le réel H ( ) ( ) (, ) I ρ M d M H ddy = où M ( y, ) décrit. R, on note (, ) d M H la I H défini par : EN PARTICULIER : Le moment d'inertie de par rapport à l'ae des est donné par : ( ) I y ρ M ddy = Le moment d'inertie de par rapport à l'ae des y est donné par : ( ) Iy ρ M ddy = Enfin le moment d'inertie de par rapport à l'origine des aes O est donné par : O ( ) ( ) I = + y ρ M ddy Eemple Calculer le moment d inertie par rapport à O de la plaque homogène formée du disque de centre O et de rayon R. En passant en coodonnées polaires le disque devient : = { 0 θ π ;0 r a} π a 3 π 4 I = ρ y ddy = ρ r sin θdrdθ = a ρ 0 0 4