Evaluation stochastique des contrats d épargne : agrégation des trajectoires de l actif & mesure de l erreur liée à l agrégation

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1 Evaluaion sochasique des conras d éargne : agrégaion des raecoires de l acif & mesure de l erreur liée à l agrégaion - Oberlain NEUKAM-EUGUIA (Winer & Associés) - Frédéric PLANCHE (Universié Lyon Laboraoire SAF Winer & Associés) 9.8 (WP 8) Laboraoire SAF 5 Avenue ony Garnier Lyon cedex 7 h://

2 Evaluaion sochasique des conras d'éargne : agrégaion des raecoires de l'acif & mesure de l'erreur liée à l'agrégaion Oberlain Neukam. Frédéric Planche Universié de Lyon - Universié Claude Bernard Lyon ISFA Acuarial School WINER & Associés Résumé Dans ce aier nous nous inéressons à l oimisaion du ems de calcul de la valeur des oions observées sur les conras d assurance vie dans le cadre des simulaions mone carlo. Nous roosons une echnique rès simle à mere en œuvre qui consise à regrouer le faisceau des raecoires du rocessus iniial en foncion des quaniles. Ce regrouemen erme aussi d esimer direcemen le oids (ie. la robabilié d occurrence) que nous accordons à chacun des scenarios discréisés. La mesure de la disance enre le rocessus iniial e le rocessus discréisé es réalisée au moyen de la norme L. Nous monrons que cee disance décroi selon le nombre de raecoires du rocessus discréisé. Le rocessus discréisé es ensuie uilisé dans l évaluaion des conras d assurance vie. Nous consaons qu un choix udicieux de la discréisaion erme de correcemen esimer la valeur d une oion euroéenne. Enfin dans le cadre de l évaluaion des conras en euro l erreur liée au remlacemen des raecoires du rocessus iniial ar celles du rocessus discréisé eu êre réduie à moins de 5 %. MOS-CLEFS : Conras Euros MG UC Garanie Plancher Bes Esimae Modèles sochasiques Simulaion Quanile. Conac : Corresonding auhor. Conac : Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) - 5 avenue ony Garnier Lyon Cedex 7 France. WINER & Associés 55 avenue René Cassin Lyon France. Version du mars.

3 SOMMAIRE INRODUCION... 3 CARACERISIQUES GENERALES DU PROCESSUS DISCREISE DEFINIION LOI DU PROCESSUS... 4 S DISANCE L ENRE E 3 CAS PARICULIER D UN MOUVEMEN BROWNIEN GEOMERIQUE LOI DU PROCESSUS DISANCE DANS L EVALUAION D UNE OPION EUROPEENNE ILLUSRAIONS... 4 APPLICAION A L EVALUAION D UN POREFEUILLE D EPARGNE DESCRIPION DU CONRA Évaluaion de la garanie Sraégie financière e modélisaion du orefeuille d acifs CALCUL DU PRIX DE L OPION DE AUX MINIMUM GARANI Processus iniial Processus discréisé APPLICAION Hyohèses de modélisaion Résulas CONCLUSION... 6 BIBLIOGRAPHIE...

4 INRODUCION La mise en œuvre d un modèle acif / assif our l évaluaion des rovisions d un conra d assurance vie requier un volume de calculs rès imoran dans le cadre de simulaions de ye Mone-Carlo. En effe our chaque raecoire de l acif l ensemble du assif doi êre simulé du fai des ineracions fores enre l acif e le assif au ravers des rachas e ariciaions aux bénéfices (cf. PLANCHE e al. [5]). On arle alors de "simulaions dans les simulaions" (SdS). Diverses aroches on éé déveloées our conourner la difficulé raique de mise en œuvre des aroches SdS armi lesquelles les lus usiées son les oimisaions insirées de l échanillonnage d imorance (cf. DEVINEAU e LOISEL [9]) e les echniques de rélicaion de orefeuille (cf. REVELEN [9] e SCHRAGER [8]). ouefois les echniques d oimisaion son conçues a riori our le calcul des quaniles du surlus acif / assif dans le cadre de la déerminaion du caial économique e as forcémen bien adaées au calcul de la rovision dans une logique bes esimae. Les aroches de orefeuille réliquan s avèren our leur ar mal adaées au conexe des orefeuilles d éargne français du fai de la comlexié des clauses de ariciaion aux bénéfices. De ce fai les raiciens on arfois recour à une méhode consisan à résumer les évoluions ossibles de l acif en un nombre limié de raecoires caracérisiques. Cela condui à rooser un nombre limié de scénarios d évoluion our l acif chacun de ces scénarios éan affecé d une robabilié de survenance. La difficulé es de consruire les scénarios de manière oimale afin d obenir une bonne aroximaion de la valeur de la rovision. L obecif de ce ravail es de rooser une méhode de consrucion de ces raecoires caracérisiques e de fournir des ouils our mesurer l imac sur le résula de cee simlificaion. CARACERISIQUES GENERALES DU PROCESSUS DISCREISE. DEFINIION S à valeur dans observé sur l inervalle de ems. S ourra rerésener la cours d un acif de ye acions ou le rendemen d un On considère un rocessus En raique rocessus de rix. On remlace le faisceau de raecoires de ce rocessus ar un rocessus simlifié consrui de la manière suivane : - À l insan on fixe une ariion de s s - On ose ; E S S s s (.) ;... Discréisaion Page 3

5 - On défini le rocessus en sélecionnan l une des raecoires raecoire éan ondérée ar les robabiliés Pr S s s. chaque En d aures ermes on effecue des regrouemens de raecoires en foncion des quaniles de S. On ourra ar exemle choisir les bornes des inervalles de sore que ce que l'on reiendra comme méhode ar défau ar la suie. En raique on es en général amené à simuler des raecoires de S S i N e on uilise alors l aroximaion de E S S s s : N i S avec i i i Si s s e N. On eu noer que dans ce rocessus il exise alors deux sources d erreurs : - le remlacemen des raecoires de S ar le rocessus obenu en sélecionnan l une des raecoires chaque raecoire ayan la robabilié Pr S s s ; - le mode de consrucion ar simulaion qui condui en remlaçan des esérances héoriques ar des esérances emiriques à inroduire des flucuaions d échanillonnage. Cee discréisaion es en général effecuée dans le cadre de l évaluaion d oions dans des conras d assurance e les roecions son donc effecuées en robabilié risque neure ce que l on suosera ar la suie ce qui revien à faire l hyohèse qu il exise un réel r el r que e S soi une maringale. Dans ce aier on s inéresse aux roriéés du rocessus que nous aellerons ar la suie ar rocessus discréisé associé à S. Nous nous aellerons à quanifier l erreur générée sur des rix d oions dans l évaluaion des garanies financières des conras d éargne. ou d abord nous allons nous inéresser aux caracérisiques du rocessus. Elles assen ar la déerminaion de la loi de ce rocessus. Nous éudierons cee loi dans un conexe général ne nécessian as de sécifier la loi sous-acene au rocessus iniial S (secion.). La disance (au sens de la norme L ) enre le rocessus iniial e le rocessus discréisé erme de donner une remière vision de l erreur due au remlacemen des raecoires de S ar les raecoires du rocessus (secion.3).. LOI DU PROCESSUS Le rocessus es discre en ce sens qu il ne eu rendre qu un ensemble fini de rend valeurs ossibles i... avec les. On eu noer que les ne son as aléaoires car les bornes des valeurs ossibles. Ainsi robabiliés Discréisaion Page 4

6 inervalles de discréisaion si elles déenden du ems ne son as aléaoires. Le rocessus S. En effe 3 es bien défini e son esérance es idenique à celle du rocessus iniial E E S S s s En uilisan la définiion E SS s s S s s Pr Pr S s s. E ES S s s ES car les ensembles S s s Ss s S s s E car es une ariion de. son disoins.3 DISANCE L ENRE E S On cherche à mesurer la disance (au sens de la norme L ) enre le rocessus iniial e le rocessus discréisé. Cee disance es définie ar : (.) S E S d L On eu calculer exliciemen cee disance en uilisan : Résula : X S S s s où S L X d X d La démonsraion de ce résula es simle : V V (.3) 3 On raelle que our un ensemble A de mesure non nulle e une variable aléaoire inégrable X on a E X A E X A Pr A Discréisaion Page 5

7 Preuve : Nous nous inéressons au calcul de E ariion de les ensembles écrire que : S d. s s éan une S s s son deux à deux disoins. On eu donc ES d E S d S s s En osan E S d Ss s E S d Ss s X S S s s on a bien : E S d E X E X d L alicaion du héorème de Fubini monre que our ou : E E E E X X d X X d d où le résula. On en dédui en ariculier la roriéé suivane : Proriéé : Preuve : L S V S d (.4) Par consrucion le rocessus converge vers S lorsque ems vers l infini e la foncion es une foncion décroissane. Ainsi f S L f f d où le résula. 3 CAS PARICULIER D UN MOUVEMEN BROWNIEN GEOMERIQUE Arès avoir sécifier les rinciales roriéés du rocessus discréisé dans un cadre général ne nécessian de sécifier de la loi du rocessus iniial S nous allons mainenan nous inéresser au cas où S es un mouvemen brownien géomérique comme dans le modèle de BLACK e SCHOLES [973]. Dans les deux remières secions de cee arie nous allons en déduire les roriéés du rocessus discréisé. Dans la roisième arie nous monrerons que le Discréisaion Page 6

8 rocessus erme modulo un choix udicieux de la ariion de déar d évaluer correcemen le rix d une oion euroéenne. 3. LOI DU PROCESSUS On suose que S es un mouvemen brownien géomérique de la forme suivane : Dans ce cas. Y S S ex r B (.5) S sui une loi log-normale de aramères S m r. La densié de la loi log-normale s écri : f y y ln m ex (.6) y Y Y Y y y : On eu alors en déduire la densié de la loi ronquée y ln m f y ex x (.7) y y y y s ln m avec y F y F y e F y S réariion de la loi normale cenrée réduie. On remarque que : e on en dédui que E X S EY E Y E Y Y y y S S s s S S S S E. Mais on a : avec la foncion de e en osan ln u y y y ln m y E Y ex m dy y dy du m u dy ex on rouve que : b EY ex u m u du ex b Discréisaion Page 7

9 avec b ln y m e donc : ex m EY ex du ex m b u b b * b b b On rerouve bien avec un unique inervalle el que b d une loi log-normale Finalemen : où b E Y ex m. e b b b b b l esérance usuelle E S S s s S E Y S ex m s ln m S b b b b. S ex r (.8) En résumé dans le modèle de Black & Scholes la loi de que S r ' b ex avec une robabilié el que : es une loi discrèe elle b b e b b ' s ln m S m r e 3. DISANCE DANS L On obien une formule fermée de la disance L. Pour cela il suffi de déerminer le momen d ordre de Y : y y ln m y EY yex dy. Discréisaion Page 8

10 ln En osan u y m on a : ex e du m u y u m dy y dy ex on rouve que : avec b ln b E Y ex u m u du ex y m b e donc : b ex b E Y u u m u du ex u u m du b b b ex u m du ex b b m v dv ex b b b ex m La variance es déduie de cee dernière exression : V Y EY EY b b E Y ex m b b b b ex m ex m b b b b ex m ex 3.3 EVALUAION D UNE OPION EUROPEENNE On s inéresse à l erreur de calcul induie sur le rix d une oion de vene euroéenne lorsque l on remlace la disribuion des raecoires de S ar la disribuion simlifiée avec les Discréisaion Page 9

11 raecoires E S S s s chacune affecée d une robabilié. En fai come enu du caracère euroéen de l oion seule come la valeur au erme il s agi donc ici d une discréisaion de S e as vériablemen du rocessus comle. On doi donc calculer E c K e le comarer à cs E K S. En uilisan la formule de Black & Scholes on raelle que : S c S K r K d S d ex r (.9) avec d On a : ln K ln m S K r S d d d. c S K r E K K (.) On a nécessairemen qui croi en foncion de car s K alors c ce qui n es as inéressan. On suose que K alors : En uilisan (.) e les résulas de la secion 3. on a : Lorsqu on combine (.) e (.) on a :. Si el que c S K r K (.) ' c S K r K Sex r (.) ' c S K r K S r ex ' K S ex r Mais b (car s ) d où ex b b K b b S r c S K r b K b S ex r (.3). Discréisaion Page

12 avec b s ln m S. Si on choisi la ariion el que * s * * K alors K K ln m ln m S S s K ainsi on a b d b d d d où : c S K r ex c S K r K d S d ex r K d S d r S e e Dans le modèle de BS une condiion our que le rix de l oion dans le rocessus discréisé soi égale au rix de l oion dans le rocessus coninue es que la ariion de * s s soi choisie elle que s * K. En résumé uisque s s es une ariion de il exise un unique el que s K s e le rix de l oion euroéenne lorsque l on remlace la disribuion des raecoires de c S K r S ar la disribuion simlifiée es : si < si cs S s r s K c S s r K s S (.4) Dans le cas d une suie d oions à différenes daes (ar exemle our le calcul de rovisions sur un conra en uniés de come) le choix des bornes des inervalles de discréisaion en foncion de la règle ci-dessus aliquée à chaque dae erme le conrôle du rix de chaque oion. 3.4 ILLUSRAION DE LA DISCREISAION On suose que le rocessus de rix de l acif es un rocessus de Black & Scholes don les aramères son S 85 % e 5%. Le aux sans risque es esimé à r 5%. On réalise raecoires du rocessus des rix. La discréisaion reenue es elle que les bornes des inervalles s son choisies de sore que. Les quaniles uilisés our les bornes des inervalles de discréisaion son en raique esimés emiriquemen à arir des raecoires simulées ils ourraien dans ceraines siuaions (modèle de Black e Scholes noammen) êre calculés exliciemen. Discréisaion Page

13 Les simulaions son faies sur an ( ) e avec un as mensuel ( h / ). Les grahiques ci-dessous ermeen de comarer de façon visuelle les raecoires du rocessus iniial à celles du rocessus discréisé. Figure Processus coninu e rocessus discréisés On noe bien que l augmenaion du nombre d ensemble de la ariion accroi sensiblemen le nuage du faisceau de raecoires du rocessus discréisé. Cela indui une meilleure connaissance de la disribuion du rocessus. Ceendan les valeurs exrêmes son foremen sous-esimées. Une discréisaion des raecoires du rocessus iniial en raecoires discréisées erme déà d obenir une bonne aroximaion de la densié au erme du rocessus coninu. Discréisaion Page

14 Figure Densiés au erme ( an) du rocessus coninu e du rocessus discréisé Avec une discréisaion en raecoires soi fois moins de raecoires que celles du rocessus iniial la densié au erme du rocessus discréisé es rès roche de celle du rocessus iniial. Cee bonne aroximaion de la densié du rocessus des rix condui à réduire la disance au sens de la norme L enre le rocessus iniial e le rocessus discréisé : Discréisaion Page 3

15 Figure 3 Disance au sens L enre le rocessus discréisé e le rocessus coninu On eu noer que le gain marginal en récision décroi rès raidemen en foncion du nombre de raecoires reenu e qu à arir de raecoires on obien un comromis saisfaisan enre récision e coû en ermes de ems de calcul. 4 APPLICAION A L EVALUAION D UN POREFEUILLE D EPARGNE La echnique de discréisaion des raecoires de l acif es uilisée afin réduire les ems de calcul ou en oimisan les résulas obenus. Dans cee secion nous nous inéressons à l évaluaion d une garanie de aux minimum sur un conra en Euros. 4. DESCRIPION DU CONRA On considère un rodui d éargne en euros dans lequel les coisaions on éé revalorisées à un aux de 35 % (aux minimum garani sur un an de 6 % du ME e ariciaion aux bénéfices sous déducion du aux minimum garani e au moins égale à 85 % des résulas de la gesion financière e à 9 % des résulas echniques). En raique le aux de revalorisaion de l éargne es le maximum enre le aux minimum garani (ici 35 %) e 85 % des résulas de la gesion financière auxquels il convien de raouer 9 % des résulas echniques : avec : g f R max MG; 85% R 9% R (.5) Discréisaion Page 4

16 - MG es le aux annuel minimum garani ; - f R le rendemen financier du orefeuille d acifs sur l année. - R : le rendemen echnique du aux roduis echniques ; n f Si on ose R 85% R 9% R alors on eu encore écrire que R g max ; n n n MG R R MG R (.6) n MG R eu s aarener au flux d une oion de aux de ye Floor. ouefois la loi n n du rocessus de rendemen ne R n es as exliciemen connue. En effe R déend de l évoluion des acifs financiers mais es aussi imacé ar les risques echniques els que la moralié e les rachas mais aussi ar les décisions de gesion. La forme exlicie de cee loi es donc difficile à déerminer. L évaluaion de ce conra nécessie d avoir recours à des echniques de simulaions. 4.. ÉVALUAION DE LA GARANIE L évaluaion de la garanie éargne Euros es effecuée êe ar êe. Les rovisions mahémaiques individuelles son calculées suivan une aroche rérosecive qui vise à caialiser les rimes invesies ar les assurés nees des rachas effecués au aux de revalorisaion accordé en alicaion des clauses conracuelles. La rovision mahémaique individuelle déend du nombre de nouvelles ars souscries (coisaion) e es obenue ar alicaion de la formule suivane : EA = Éargne acquise à g EA EA C C R R (.7) C = Nombre de ars à * valeur de la ar ( ) R = Racha sur la ériode c = aux de chargemen sur les coisaions ( c = 35 %) g R = aux de caialisaion à l année. = es le aux de rélèvemen obligaoire. Il es fixé à 8 % e es comosé de : - aux CSG = 8 % - aux CRDS = 5 % - aux de rélèvemen social = % aux CAPS = % deuis le //9 (le aux CAPS a évolué de 3 % à % à arir du //9 au ire de la mise en lace du financemen du RSA). On eu en déduire le flux à lié à la garani de MG : n F EA C C R MG R (.8) Discréisaion Page 5

17 4.. SRAEGIE FINANCIERE E MODELISAION DU POREFEUILLE D ACIFS On suose que le orefeuille d acifs es consiué d un acif sans risque e d un acif risqué. L acif sans risque rodui un rendemen annuel r de 5%. On suose que l acif risqué es un rocessus de Black & Scholes qui rodui un rendemen annuel de 85 % avec une volailié de 5 % S 85 % e 5%. L allocaion cible du orefeuille d acif es définie dans le ableau suivan : Acif Allocaion cible Acif sans risque 8% Acif risqué % L obecif es de recomoser le orefeuille d acif à la fin de chaque année afin de resecer l allocaion cible. 4. CALCUL DU PRIX DE L OPION DE AUX MINIMUM GARANI 4.. PROCESSUS INIIAL Le rix de la garanie de MG à l aide du rocessus iniial l aide de l équaion suivane : f C 85% i 9% Ns i S eu êre obenu à r FloorLe EA C R MG R R e (.9) Où : f - R r R i - i R ln S ln S es le rendemen de l acif risqué enre e - ; - es le oids de l acif sans risque ; - es le oids de l acif risqué. 4.. PROCESSUS DISCREISE Dans nore exemle nous avons considéré que le orefeuille d acif éai affecé ar une seule source de risque : le risque acion. Dans la mesure où la garanie que nous souhaions évaluer es une garanie de rendemen la echnique de discréisaion s aliquera sur le rocessus de rendemen. Ainsi l alicaion de la echnique de discréisaion à ce orefeuille d acif s effecuera uniquemen sur l acif risqué e es consiuée de cinq éaes : - Éae : simulaion des raecoires ossibles de la valeur de l acif risqué S ; - Éae : déerminaion du faisceau des raecoires du rocessus de rendemen de R ln S ln S ; l acif risqué Discréisaion Page 6

18 - Éae 3 : déerminaion de la ariion de l ensemble des valeurs ossibles du rocessus de rendemen de l acif risqué r r. Dans nore cas les ensembles de cee ariion son des inervalles don les bornes seron les quaniles du rocessus des rendemens. - Éae 4 : discréisaion du faisceau des raecoires du rocessus de rendemen : une raecoire du rocessus discréisé es obenue en faisan la moyenne des valeurs du rocessus de rendemen conenues dans un des ensembles de la ariion : R E R R r r ; - Éae 5 : déerminaion du oids Pr R r r (qui es aussi la robabilié d occurrence) de chacune des raecoires. On eu en déduire la valeur de la garanie de MG à la dae : f r C 85 9 % % (.) FloorLe EA C R MG R R e Où : f - R r R - es le oids de l acif sans risque ; - es le oids de l acif risqué. Discréisaion Page 7

19 4.3 APPLICAION 4.3. HYPOHESES DE MODELISAION Nous disosons d un orefeuille de assurés âgés ous de 45 ans e ayan souscri à un conra éargne sur 8 ans. Le MG es fixé à 35 %. On suose que la moralié du orefeuille es modélisée ar la H-. Les rachas annuels son fixés à % du nombre de conra. On alique des frais de rachas de % si le racha inervien sur les rois remières années d exisence du conra. L ensemble des aramères es reris dans le ableau suivan : Hyohèses de roecion Iniulé Paramères Nombre de conra Age moyen 45 Maurié du conra 8 ans Versemen iniial sur le conra euro Versemen ériodique aux minimum garani 35% aux de ariciaion au bénéfice % aux de racha % aux de frais sur racha % aux de frais de gesion 5% aux de rélèvemen sur les roduis financiers 8% Moralié H RESULAS Comme récisé dans la secion 4.. la discréisaion a éé réalisée sur le rocessus des rendemens de l acif risqué. L évaluaion 4 de la garanie de MG sur le conra en Euro dans les deux modèles (Modèle iniial e modèle discréisé) monre que lorsque le nombre de raecoires du rocessus discréisé es suérieur à l écar enre les deux évaluaions es inférieur à %. Le grahique suivan erme de visualiser la valeur de l oion du MG sur le conra euros en foncion du nombre de raecoires du rocessus discréisé. 4 Les résulas son obenus sur la base de simulaions. Ce chiffre qui semble à riori largemen suffisan laisse ou de même enrevoir une erreur oenielle de 5% sur le rix de la garanie de MG. Discréisaion Page 8

20 Figure 4 Évoluion du rix en foncion du nombre de raecoires du rocessus discréisé Le grahique suivan monre l évoluion du raor enre la valeur de la garanie de MG dans le modèle discréisé e la valeur de la garanie de MG dans le rocessus iniial. Figure 5 Évoluion du raio enre le rix dans les deux modèles en foncion du nombre de raecoire du rocessus discréisé On noe une rès fore volailié du raio lorsque le nombre de raecoires es lus ei que 5. Le raio commence à se sabiliser auour de 95 % lorsque le nombre de raecoires es suérieur à. Le raio converge ensuie rès faiblemen vers % en ce sens qu une augmenaion d une raecoire ( à +) se radui ar un gain marginal sur la récision des résulas obenus. Une discréisaion en raecoires donne une valeur esimée à rès de 95 % du rix réel de la garanie de MG. Ainsi il n es as nécessaire d accroire indéfinimen le nombre de raecoires du rocessus discréisé un discréisaion en raecoires suffi à fournir une aroximaion correce de la valeur du MG. ouefois il convien d esimer correcemen les robabiliés d occurrence de chacune des raecoires. Ce qui nécessie de connaire la disribuion du rocessus iniial. Discréisaion Page 9

21 Le rix de la garanie de MG es déerminé à arir des valeurs inferieures au MG la convergence vers le rix réel es lus raide que la convergence du rocessus discréisé vers le rocessus iniial. Ainsi dans la suie nous ravaillerons avec une discréisaion en raecoires Imac de la maurié des conras en euros Les grahiques suivans ermeen de visualiser l imac de la maurié du conra en Euros sur la valeur obenue dans le modèle discréisé. Figure 6 Évoluion du rix dans les deux modèles en foncion de la maurié des conras Figure 7 Raor des rix dans les deux modèles en foncion de la maurié du conra Lorsque la maurié du conra es égale à an l erreur de valorisaion de la garanie de MG à l aide du rocessus discréisé es resque nulle le raor enre le rix obenu du modèle Discréisaion Page

22 discréisé e le rix dans le modèle iniial es %. Ce raio décroi ensuie de façon coninue our se fixer à rès de 875% our un conra de maurié ans Imac de l Age des assurés Les grahiques suivans ermeen d observer l imac de l âge des assurés sur la valeur de la garanie de MG obenue à ravers les deux rocessus. Figure 8 Raor des rix dans les deux modèles en foncion de l âge des assurés Figure 9 Raor des rix dans les deux modèles en foncion de l âge des assurés L augmenaion de l âge de l assuré imace faiblemen l erreur de valorisaion de la garanie de MG liée au remlacemen des raecoires du rocessus iniial ar les raecoires synhéiques du rocessus discréisé. Pour des assurés d âge comris enre e 67 ans la variaion de cee erreur es dans l absolu sricemen inferieure à 3 %. Cee Discréisaion Page

23 variaion es de la même amleur que l erreur de rééchanillonnage liée à la echnique de simulaion. Nous ouvons donc conclure que l âge des assurés n a as d imac sur l erreur liée à la discréisaion des raecoires du rocessus iniial. 5 CONCLUSION Dans ce aier nous nous sommes inéressés à une echnique simle de réducion du ems de calcul de la valeur des oions observées sur des conras d assurance vie. Cee echnique rès simle à mere en œuvre consise à regrouer le faisceau des raecoires du rocessus iniial en foncion des quaniles de la disribuion à chaque insan. Ce regrouemen erme aussi d esimer direcemen le oids (ie. la robabilié d occurrence) que nous accordons à chacun des scénarios discréisés. L uilisaion de ces deux informaions nous a ermis modulo un choix udicieux de la ariion de de correcemen esimer la valeur d une oion euroéenne. Pour mémoire ces oions son renconrées dans les garanies lancher sur les conras en UC. Nous avons aussi monré que sur un conra en euro l erreur liée au remlacemen des raecoires du rocessus iniial ar celles du rocessus discréisé évoluai en foncion de la maurié du conra sans ouefois êre imacée ar l âge de l assuré. De lus la convergence du rix obenu à l aide du modèle discréisé es lus raide que la convergence du rocessus discréisé vers le rocessus iniial. ouefois sur un conra de maurié 8 ans le remlacemen des raecoires du rocessus iniial ar seulemen raecoires synhéiques du rocessus discréisé condui à une erreur de 5 % sur la valeur de la garanie de MG. Ce nombre de raecoires du rocessus discréisé erme ainsi de donner une esimaion correce de la valeur du MG. L uilisaion de cee echnique nécessie ouefois de connaire la disribuion du rocessus iniial. En effe oure la consiuion des raecoires discréisés il es indisensable de ouvoir esimer la robabilié d occurrence de celles-ci. La comaraison du faisceau de raecoires du rocessus iniial à celui du rocessus discréisé monre clairemen que ce dernier sous-esime foremen les valeurs exrêmes du rocessus iniial. Ainsi si la echnique de discréisaion eu donner une bonne esimaion de la valeur moyenne dans une logique bes esimae son uilisaion dans le cadre d esimaion des valeurs exrêmes (SCR VAR ) eu conduire à des résulas biaisés. Ceendan le choix d une ariion don les valeurs exrêmes son foremen affinées ourrai évenuellemen conduire à réduire ce biais. Ce asec n a as éé raié ici e ourrai faire l obe de déveloemens fuurs. 6 BIBLIOGRAPHIE BLACK F. SCHOLES M. [973] «he ricing of oions and cororae liabiliies» Journal of oliical Economy vol. 8 n Discréisaion Page

24 DEVINEAU L. LOISEL S. [9] "Consrucion d un algorihme d accéléraion de la méhode des «simulaions dans les simulaions» our le calcul du caial économique Solvabilié II" Bullein Français d Acuaria vol. 9 n 7. PLANCHE F. HEROND P.E. JACQUEMIN J. [5] Modèles financiers en assurance. Analyses de risque dynamiques Paris : Economica. REVELEN J. [9] "Relicaing Poroflio e caial économique en assurance vie" Mémoire d ingénieur ISFA / Ecole Cenrale de Lyon SCHRAGER D. [8] "Relicaing Porfolios for Insurance Liabiliies" Acuarial Sciences Discréisaion Page 3

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