Mathématiques. La symétrie centrale en classe de cinquième. Sommaire : Groupe d'expérimentation Pédagogique

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1 Mathématiques Groupe d'expérimentation Pédagogique La symétrie centrale en classe de cinquième Sommaire : Présentation de la séquence.... page 2 Organisation de la séquence.....page 3 Document élève....page 4 et 5 Commentaires et variantes de la séquence...page 6 Fichiers joints... page 7 et 8 GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 1 sur 1

2 Présentation Titre : Niveau d enseignement concerné : La symétrie centrale Classe de cinquième Objectifs : Découvrir la notion de symétrie centrale à partir de la symétrie axiale vue en sixième En étudier les propriétés de base Exercer de manière ludique, les yeux à repérer les positions des images avant leur construction Scénario : 1 ère partie Utiliser la simulation du mouvement subi par un point sous l effet d une transformation pour caractériser celle-ci Développer la capacité visuelle à situer une image par les symétries axiale et centrale 2 ème partie Utiliser l image d une figure par la symétrie centrale pour en établir les propriétés Apports des TICE : Le logiciel GEOPLANW permet de manipuler plusieurs figures, individuellement ou simultanément pour découvrir leurs caractéristiques ainsi que celles des transformations qu elles subissent L élève peut revenir à des niveaux différents de construction jusqu à l acquisition totale de la ou des notions à découvrir Place de la séquence dans la progression : Avant l étude des figures à centre du programme Pré requis : symétrie axiale Prolongements possibles : Etude des figures à centre Cadre d utilisation : Salle multimédia Durée : Deux séances d une heure Modalités : Classe entière (22-24 élèves) Logiciel utilisé : GEOPLANW 2 Utilisateur(s) : Niveau de maîtrise des logiciels requis : Le professeur. Débutant Les élèves.. Débutants GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 2 sur 2

3 Organisation de la séquence 1- Les élèves sont dans une salle multimédia à deux par poste. 2- Chaque élève dispose d un document. 3- Après une lecture collective de la première étape, il ouvre le fichier «sym1.g2w» et exécute les instructions de cette étape. 4- Au bout de quelques minutes, une pause permet de commenter le travail effectué. L objectif de cette première partie est de rappeler la technique de construction du symétrique d un point par rapport à un axe. 5- Après lecture de l étape 2, l élève doit répondre aux questions relatives à son observation. L objectif de cette étape est de découvrir la symétrie centrale à travers la composition de deux symétries axiales d axes perpendiculaires. 6- Un aspect ludique de l apprentissage est proposé à la troisième étape. L objectif est d exercer l œil à situer les positions des images de point par les symétries axiales et centrales. Le deuxième jeu avec la symétrie centrale se fera avec le fichier «sym2.g2w». 7- Cette séance se termine par une synthèse visant à rappeler la transformation découverte ainsi que la méthode de construction de l image d une figure par cette transformation. Deuxième séance : 1- Les élèves sont à nouveau dans une salle multimédia et deux par poste. 2- Chacun dispose de la deuxième partie du document élève. 3- Après une lecture attentive, il ouvre le fichier «sym3.g2w», puis il répond aux questions posées. 4- Interruption pour analyser les observations et compléter la première propriété admise. 5- Nouvelle manipulation puis rédaction de la deuxième propriété et ainsi de suite. GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 3 sur 3

4 Première Séance : Document Élève SYMETRIE CENTRALE * Ouvrir le fichier sym1. g2w * Etape 1: La mêlée. Déplacer les points A', B' et C' avec la souris de façon qu'ils deviennent symétriques de A, B et C par rapport à (oy). L aide s obtient avec la touche A du clavier (plusieurs fois s'il le faut). Enfoncer la touche P pour vérifier puis ajuster avec la souris (les points a', b' et c' (non dessinés) sont les symétriques de A, B et C par rapport à (oy)). Déplacer les points A", B" et C" de façon qu'ils deviennent symétriques de A', B' et C' par rapport à (ox). On obtient de l'aide en tapant B (plusieurs fois s'il le faut). Enfoncer la touche Q pour vérifier puis ajuster avec la souris (les points a", b" et c" (non dessinés) sont les symétriques de a', b' et c' par rapport à (ox) ). Taper A, B, P, Q autant de fois qu'il le faut pour faire disparaître tous les traits de construction puis taper Ctrl C et recommencer au début avec la nouvelle figure. * Etape 2: Deux symétries axiales pour une symétrie centrale. Garder les points ajustés dans la position où A', B' et C' sont symétriques de A, B et C par rapport à (oy) et A",B" et C" sont symétriques de A',B' et C' par rapport à (ox).. Appuyer sur A et/ou B pour enlever les pointillés (s'ils y sont encore!) Nous voulons cette fois, aller directement du triangle ABC au triangle A"B"C". - Enfoncer la touche S; En observant la figure, compléter le texte suivant : «Connaissant A, pour construire A", je trace le cercle de centre passant par, puis je trace la droite et le point A" que je cherche est le second point d'intersection de cette droite avec ce cercle (le premier étant )» Compléter: Le déplacement de B à B" est un... Le déplacement de C à C" est un... Enfoncer la touche Q. La figure rouge est le résultat d un demi-tour subi par la figure de base autour du point o. Cette transformation est une SYMETRIE CENTRALE de centre o. Une symétrie d'axe vertical, suivie d'une symétrie d'axe horizontal produit une... (En fait, il s'agit de deux symétries axiales d'axes perpendiculaires.) Etape 3 Jeu : Première manche : à l aide des touches A, B, P et Q s assurer qu il ne reste plus que le triangle ABC. Modalités du jeu : chaque élève prépare un triangle ABC pour son voisin en enfonçant simultanément les touches Ctrl et C; le voisin positionne les points A' B' et C' symétriques de A, B et C par rapport à (oy), puis les points A" B" C" symétriques de A', B' et C' par rapport à (ox). Les solutions a', b', c', a", b", c" ne sont pas dessinées. On vérifie en tapant P puis Q : si toutes les distances affichées sont inférieures à 0,3 le joueur marque 1 point. Que le meilleur gagne! (5 fois chacun) Elève A Elève B Deuxième manche : Ouvrir le fichier sym2.g2w Modalités du jeu : chaque élève prépare un triangle ABC pour son voisin en enfonçant simultanément les touches Ctrl et C; le voisin positionne les points A" B" et C" symétriques de A, B et C par rapport à o. Les solutions a', b',c', a", b", c" ne sont pas dessinées. Vérification en tapant Q : si toutes les distances affichées sont inférieures à 0,3 le joueur marque 1 point. On tape Q et on recommence Que le meilleur gagne! (5 à 10 fois chacun) Elève A Elève B GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 4 sur 4

5 Document Élève Deuxième séance : * Ouvrir à présent le fichier sym3.g2w: pour la suite.. Le triangle FGH est symétrique du triangle ABC par rapport à O. 1- Enfoncer les touches Q puis S (3 fois), puis compléter : Que dire de la position du point O sur le segment [AF]?.. Que dire de la position du point O sur le segment [BG]?.. Que dire de la position du point O sur le segment [CH]?.. Propriété 1 : Si deux points M et N sont symétriques par rapport à un point O, alors celui-ci est du segment [MN]. Rappel : Si deux points M et N sont symétriques par rapport à une droite (d), alors celle-ci est la médiatrice du segment [MN]. 2- Faire Ctrl C pour changer la forme du triangle ABC. Qu observe-t-on sur le triangle FGH? Faire une conjecture : Comparer les longueurs suivantes : AB GF BC GH AC.FH Faire à plusieurs reprises la séquence de touche Ctrl C suivi de Ctrl D pour confirmer la comparaison. Terminer par Ctrl D pour effacer l affichage. Remarque: la longueur du segment [AB] est aussi la distance entre les points A et B : AB = d(a,b). Propriété 2 ; conservation des distances : (nous admettons la propriété suivante ) Si G et F sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à O, alors les distances d(g,f) et d(a,b) sont égales. 3- V est un point quelconque du segment [AB] et V' est son symétrique par rapport à O. Faire apparaître les points V et V' en tapant Ctrl V. A, V et B sont alignés et pour chaque point V du segment [AB], on a AV+VB=AB. Déplacer le point V en le saisissant par la souris ; que dire de la position des points F, V et G. (on sait que [FG] est le symétrique de [AB] par rapport à O). Que dire de la longueur FG et de la somme FV'+V'G? Taper Ctrl V pour effacer l affichage. Propriété 3 ; conservation de l alignement ( nous admettons la propriété suivante ) Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques sont aussi trois points alignés. - Faire, à nouveau, Ctrl C pour changer la forme du triangle ABC, puis comparer les aires à l aide de la touche Ctrl R. Faire Ctrl C à plusieurs reprises pour confirmer la comparaison. Aire de ABC.Aire de EFG. Terminer par Ctrl D pour effacer l affichage. Propriété 4 ; conservation des aires : (nous admettons la propriété suivante pour n importe quelle figure) Dans une symétrie centrale, la symétrique d une figure est une figure qui a la même aire. - Faire, à nouveau, Ctrl C pour changer la forme du triangle ABC, puis comparer les angles à l aide de la touche Ctrl G. Faire Ctrl C à plusieurs reprises pour confirmer la comparaison. Terminer par Ctrl G pour effacer l affichage. Compléter : Propriété 5 ; Conservation des angles : (nous admettons la propriété suivante) Dans une symétrie centrale, le symétrique d un angle est un angle de même mesure. GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 5 sur 5

6 Commentaires D autres propriétés peuvent être étudiées à l initiative du lecteur, (symétrique d un cercle etc. ) La leçon se poursuivra largement en cours conventionnel avec de petites démonstrations initiatiques. A la partie jeu, le lecteur peut éventuellement faire afficher le quadrillage et/ou agrandir la tolérance de 0,3 d écart. GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 6 sur 6

7 Sym1.gw2 Sym2.gw2 Sym3.gw2 Fichiers joints Fichier de la première séance. Fichier de la deuxième séance. Fichier de la deuxième séance. A" A y a' c' b' A' C B C' o x C" B' B" b"c" a" GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 7 sur 7

8 Fichiers joints a'a':3.52 b'b':6.28 c'c':5.84 A" A C y a' c' b' A' B C' o x C" B' B" b"c" a" GEP Mathématique Symétrie centrale en cinquième Page 8 sur 8