CHAPITRE 1. Analyse Tridimensionnelle des Contraintes et Critères d Écoulement

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1 CHPITRE nalse Tridimensionnelle des Contraintes et Critères d Écoulement État de contrainte en D Contraintes principales (cercle de Mohr) Critère de défaillance Contrainte de cisaillement ma. (Tresca) Énergie de distorsion ma. (Von Mises) Contrainte normale ma. Notions de base utilisées L'équilibre dans l espace Les notions de contraintes Les notions de déformations Les relations contrainte-déformation-température Les critères de défaillance

2 Notions d équilibre (statique) DCL Équation d Équilibre F=0 M=0 Notion de contrainte Soit un point P appartenant au plan dont la normale est n est une force interne agissant sur une surface infinitésimale au pt P. R F n R P V

3 Notions de contraintes F P n V t V s s t V. Contrainte normale n. Contraintes de cisaillement n nt ns lim 0 F V lim t 0 V lim s 0 ns nt Les notions de déformations (D: dans le plan ) Déformation normales Déformation de cisaillement u u v v C ' u v C' B u u B' v v ' B' B lim 0 B u u u u lim 0 v v v v lim 0 v u

4 Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke ε /E ε ν /E ε ν /E ε ν /E ε /E ε ν /E T=T-T o / E / E / E ε αδt ε αδt ε αδt Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke - (suite) γ γ γ G G G ε ε ε Relation contraintes-déformations γ γ γ E E E ν ( ) α ΔT ν ( ) α ΔT ν ( ) α ΔT G G G

5 État tridimensionnel P Soit P un parallélépipède infinitésimal Tenseur de contrainte ij ij = = ij ij i ij ij ji i, j si i j si i j Équilibre des moments suivant ΔΔΔ ΔΔΔ 0 M = 0 M = 0 M = 0 État Plan de Contrainte Condition: 0 Face Face face négative face positive

6 Contraintes suivant un plan incliné P F F P F section F n F t F Ft F Fn cos F cos Ft cos sin Fn cos F sin cos F cos cos 0, 0 F Transformation des contraintes F ' ' '' '' ' ' ' '' '' '

7 Transformation des contraintes ' ' DCL cos '' ' ' cos '' ' ' cos sin n sin sin Équilibre en Équilibre en cos cos sin sin ' ' ' cos sin coscos sin cos 0 cos sin sin cos sinsin 0 Transformation des contraintes Équilibre en ' cos sin sin cos Équilibre en ' ' cos sin cos sin Trigonométrie cos cos sin cos sincos sin Transformation ' ' cos sin ' ' ' sin cos ' cos sin

8 Eemple Un réservoir sous pression de.5 m de diamètre est fabriqué à partir de plaques de 0mm soudées bout à bout et sont en forme d hélice. Sachant que la pression maimale est de. MPa, calculer : a) les contraintes générées, ma b) la contrainte normale et la contrainte de cisaillement tangentes à la ligne de soudure 0 N t T t Contraintes principales en D C B O D N F = 0 S Soit un élément coupé OBC Contrainte normale S(S, S, S ) ou S(S n, S s ) Cosinus directeurs l, m et n de la normale N OD = = cos O OD m = = cos OB OD n = = cos OC S ( ) = ( ) + ( )m + ( )n S= + m + n = 0 F S= + m + n F = 0 S= + m + n

9 Équilibre C B O D N S=S n Équations d équilibre Si S est parallèle à N, alors Contrainte normale S n ou S (S, S, S ) S s = 0 S ( S) + m + n = 0 + m ( S) + n = 0 + m + n ( S) = 0 S n S = S S = m S S = n S Solution non triviale Déterminant soit nul S S = 0 S Équation cubique des contraintes (contraintes principales) Équations cubique des contraintes I S I S I 0 S I I I 0 Solution pour S ou I I I I, I et I Invariants du tenseur de contrainte ij = = ( + + = + ( + ) + ) Contraintes principales État de contrainte en un point est définit par Soit le tenseur de contrainte ij Soit les invariants du tenseur de contrainte I, I et I

10 Contraintes principales État général I I I 0 contraintes principales directions principales (l, m, n),, si directions distinctes si = toutes les directions sont principales dans plan - si = = état de contrainte hdrostatique État uniaial I = I = 0 Équation cubique se réduit à I racines nulles = = 0 (et = I = ) I 0 État plan de contrainte I = 0 = 0 et = = 0 La direction principale associée à est perpendiculaire au plan ij = = Eemple Déterminer les contraintes est les directions principales de l état de contraintes illustré ij = 00 = = 0 00 ( 00) 0 Contrainte principales = 00 MPa = 00 MPa = 0 MPa

11 Eemple (suite) D après les équations d équilibre l 00 m = 0 00 n Contrainte principales = 00 MPa = 00 MPa = 0 MPa Sachant que l + m + n = m = n 0 / 6 n= m = / 6 Direction principale, n n (65.9, 5., 4. ) -/ 6 / n=m =0 n / / n= m = -/ n -/ Conditions sur n, n et n n. n = 0 n. n = 0 n. n = 0 n n = n Cercle de Mohr Soit P un parallélépipède infinitésimal soumis à un tenseur de contrainte connu ij ' ' '' '' '' ' '' '' '' '' État connu ij suivant (,, ) ' ' ' État équivalent ij suivant (,, )

12 Cercle de Mohr (suite) Il eiste toujours aes orthogonau, et suivant lesquels les contraintes sont principales. Les contraintes de cisaillement dans les plans perpendiculaires à ces aes sont nulles ma min plan - plan - ma,, min,, ma ( ma ) - ( ma ) - ( ma ) - plan - Critère de défaillance C est le cisaillement qui provoque le mouvement relatif des plans d atomes sans changer de volume. C est la présence des dislocations qui permet ce mouvement (déformation plastique). Dislocation

13 Mouvement d une dislocation sous l effet du cisaillement Critère de cisaillement maimal Tresca Le début de l écoulement se produit lorsque la contrainte de cisaillement maimale atteint une valeur critique (S /) ma S S limite d écoulement obtenue à 0. % ma ma ma min ma,, seuil de l'écoulement S S ma min min min,, Conception -S S ma min S FS -S état plan de contrainte ( = 0)

14 Critère de cisaillement maimal Tresca (suite) = = prisme heagonal seuil de l'écoulement S -S -S cas général ( = 0) S S -S projection isometrique Critère d énergie de distorsion maimale Von-Mises Le début de l écoulement se produit lorsque l énergie de distorsion atteint une valeur critique m = + + = + - m - m m m - m Énergie totale U t = Énergie hdrostatique U h + énergie de distorsion U D

15 Critère d énergie de distorsion maimale Von-Mises (suite) Énergie totale U t U t ε ε ε Énergie hdrostatique U h Uh Ut avec m m E E ( ) U m ( E 6E Énergie de distorsion (U D = U t U h avec E G U D h ) G Énergie de distorsion au début de l écoulement pour le cas du chargement uniaial * U D S G Critère d énergie de distorsion maimale Von-Mises (suite) seuil de l'écoulement Von Mises -S S Tresca Le critère prédit que l écoulement se produit lorsque U D = U * D S S -S état plan de contrainte ( = 0) ae du clindre et de l'heagone Von Mises S Tresca -S -S cas général ( = 0) S S -S projection isometrique

16 Critère de la contrainte normale maimale Le début de l écoulement se produit lorsque la contrainte normale maimale atteint une valeur critique (S u ) ma,, ma S u contrainte à la rupture seuil de l'écoulement S ma u S u -S u S u -S u état plan de contrainte ( = 0) Comparaison entre les critères de défaillance S S / S / 5% de différence -S S -S torsion état plan de contrainte ( = 0)

17 Critère de rupture (matériau fragiles) S ut -S uc S ut Mohr -S uc Mohr modifié état plan de contrainte ( = 0)

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Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

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