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1 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page /6 EXERCICE Un milieu élastique homogène et isotrope subit un changement de configuration plan décrit dans deux repères comme suit : Repère () : { x = a x x Repère (2) : { x = x + 2b x 2 2 = (2 a) x 2 x 2 = x 2 Les paramètres a et b sont des constantes positives. ) Déterminer pour les deux cas : a) Le champ des déplacements b) La rotation de corps rigide c) Le tenseur des déformations d) Les déformations principales 2) Déduire la relation entre les constantes a et b. Faire une représentation dans le plan de Mohr et déduire l angle entre les deux repères () et (2) ) Champ des déplacements Repère () : { u = x x = (a ) x u 2 = x Repère (2) : { u = x x = 2b x 2 2 x 2 = ( a) x 2 u 2 = x 2 x 2 = 2) Rotation de corps rigide Repère () : ω 2 = 2 (u,2 u 2, ) = Repère (2) : ω 2 = 2 (u,2 u 2, ) = b 3) Tenseurs des déformations Repère () : ε = [ a b ] Repère (2) : ε = [ a b ] 4) Déformations principales Repère () : ε I = a ; ε II = a Repère (2) : ε I = b ; ε II = b 5) Les déformations principales doivent être les mêmes d où b = a 6) Représentation dans le plan de Mohr γ b ε II = b = a ε I = b = a ε b 7) Angle entre les deux repère On voit sur le cercle que l angle est de 9 entre le repère principal et le repère (2) alors que le repère () coïncide avec le repère principal. D où l angle entre les deux repères () et (2) est de 45.

2 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 2/6 EXERCICE 2 Une plaque rectangulaire OAB C de section initiale 5 mm est déformée en O A B C tel que montré sur la figure ci-contre. En supposant un champ des déplacements uniformes : ) Calculer la matrice des gradients des déplacements u i / x j 2) Déduire les tenseurs des déformations et des rotations. 3) Calculer les aires OABC et O A B C, déduire la variation relative de volume et comparer à celle donnée par. 4) Calculer de deux manières (à partir de la figure et de ) la variation relative AC AC de la longueur de la diagonale AC. 5) Calculer les déformations principales et leurs directions. Donner l angle entre les directions principales et l axe x x. Retrouver les résultats en utilisant le cercle de Mohr. 6) Si le module de Young du matériau de la plaque est E 28 MPa et son coefficient de Poisson est.3 ; calculer le tenseur des contraintes en supposant un état de déformations planes. 7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales. Déduire les contraintes principales. 8) Calculer la contrainte moyenne et déduire le module de compressibilité volumique K du matériau A A O x.75 O 5 B C..5 B C x ) du /dx (.75.75) / 5 =.67 du 2/dx 2 (.25 (.5) / =.75 du /dx 2 (.75) / =.5 du 2/dx ( -.25 (-.5)) / 5 =.75 la matrice des gradients Grad(U) = ) tenseur des déformations et des rotations = = A 3) Aire OABC : A i 5 = 5 mm B Aire O A B C : A f = (.75.75) 2 ( ) 2 ( ) A f = 523 mm Variation relative de volume A/A (523-5)/5 =.479 Trace( ) =.47 Les variations sont les mêmes O 5 C

3 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 3/6 4) Variation relative de la diagonale AC : La longueur initiale : AC ( 5 ) / mm La longueur déformées : A C ( ) / mm Variation relative : AC/AC ( )/ =.27 En utilisant le tenseur des déformations. La direction de la dilatation est données par n / 2 La dilatation est : d = n T n =.33 5) Déformations et directions principales =.33 =.8 ; V = [ ], V2 = [ ] Angle d orientation est = arctg(.6832/.732) 43.9 Cercle de MOHR : Le centre c.5( ).7 ; rayon R = (r 2 ) /2 ; r c =.4 ; R.63, c R =.33,.8 ; 2 arctg( / r) = , ) Tenseur des contraintes 2 MPa ; 8 MPa = (MPa) 7) possède les mêmes directions principales que s il est diagonalisé par la matrice de rotation de La matrice de rotation en 3D est : R [V V2] R T R = (MPa) 3.83 MPa,.83 MPa et.73 MPa, 8) Module de compressibilité volumique : K = P/( V/V) ; P = m /3 trace( ) pression moyenne. K = /3 trace( ) / trace( ) = 52/ MPa (Vérification K /3 E/( 2 ) ) EXERCICE 3 On considère le tétraèdre OABC ci-contre, soumis à un état de déformation définit par rapport au repère OX X 2 X 3 par le tenseur suivant :..5 ε = [.5.2.]..3 C X 3 On donne OA = OB = OC = a et D milieu de AB. ) Vérifier que les angles AD C et BD C sont bien droits avant déformation O 2) Calculer les nouvelles coordonnées A, B, C et D des points A, B, C et D, respectivement, après déformation. A 3) Déduire les nouvelles valeurs des angles AD C et BD C 4) Vérifier les variations relatives d angles AD C et BD C (en X pourcentage) 5) Que peut-on déduire pour la déformation de l angle AD B et pour la droite AB ; Expliquer. 6) Schématiser l état déformé du tétraèdre. D B X 2

4 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 4/6 ) Vérification des angles droits : on utilise les produits scalaires : Ce qui donne : n étant le vecteur unitaire, à l état non déformé on a : Le produit scalaire : DA DC = a2 4 DA DC = DA DC cos(ad C) cos(ad C) = DA DA DC DC = n DA n DC a a/2 DA = ( ) ( a/2) = a 2 ( ) a/2 DC = ( ) ( a/2) = a 2 ( ) a a/2 DB = ( a) ( a/2 ) = a 2 ( ) ( + + ) = ; ce qui donne un angle de AD C = π 2 De même, le produit scalaire : DB DC = a2 ( + ) = ; ce qui donne un angle de BD C = π 4 2 2) Nouvelles coordonnées à l état déformé, le point A prend les nouvelles coordonnées A tel que : a..5. OA = OA + AA = A + a ε n OA = ( ) + a [.5.2.] ( ) = a ( ) + a (.5)...3 OA = a (.5) De même pour les points B, C et D..5.5 OB = OB + BB = B + a ε n OB = ( a) + a [.5.2.] ( ) = a ( ) + a (.2 ) OB = a (.2 )...5 OC = OC + CC = C + a ε n OC = ( ) + a [.5.2.] ( ) = a ( ) + a (. ) a..3.3 OC = a (.).97 OD = OD + DD = D + ( a a/2 2 2) ε n OD = ( a/2) + ( a ) [.5.2.]..3 2 ( ) = a.5 2 (( ) + (.5))..525 OD = a (.575).5 3) Nouvelles valeurs des angles AD C et BD C :

5 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 5/6 cos(a D C ) = D A D A D C D C = n DA n DC.575 D A = (.525) ; D A = D.525 C = (.4975) ; D C = cos(a D C ) =.56 ; A D C = ) Les variation relatives : cos(b D C ) = D B D B D C D C = n DA n DC D.575 B = (.525) ; D B = cos(b D C ) =.56 ; A D C = AD C A D C = =.3597% AD C 9 BD C B D C = =.3597% BD C 9 5) La somme des deux angles donne exactement les 8, donc l angle AD B reste inchangé Aussi, la droite AB reste droite, aucune cassure au point D ne devrait avoir lieu puisque le tenseur des déformation est constant donc les déplacements sont linéaires et les droites sont conservées X3 X X X X X EXERCICE 4 Une rosette delta en forme de triangle équilatéral, permet de mesurer les dilatations longitudinales selon les trois directions parallèles aux trois cotés du triangle. Elles est disposée à la surface d un solide homogène et isotrope, par rapport à un repère OX X 2, tel que montré sur la figure ci-contre. Déterminer le tenseur des déformations planes si les valeurs mesurées sont : ε a =.3 o / oo ; ε b =.4 o / oo et ε c =.2 o / oo. X 2 ε b 6 ε c 6 ε a 6 X

6 MMC Exercices résolus Etat des déformations en un point Page 6/6 Le tenseur des déformations planes s écrit : ε = [ ε ε 2 ε 2 ε 22 ] La direction de la dilatation ε a est : Ce qui donne n a = [cos () sin ()] = [ ] ε a = [ ] [ ε ε 2 ε 2 ε 22 ] [ ] = ε Soit : ε = ε a =.3 o / oo La direction de la dilatation ε b est : Ce qui donne : La direction de la dilatation ε c est : Ce qui donne n b = [cos (6) sin (6)] = [ ] ε b = 2 [ 3] [ ε ε 2 ε 2 ε 22 ] 2 [ 3 ] = 4 (ε ε 2 + 3ε 22 ) n c = [cos (2) sin (2)] = [ ] ε c = 2 [ 3] [ ε ε 2 ε 2 ε 22 ] 2 [ 3 ] = 4 (ε 2 3 ε 2 + 3ε 22 ) En remplaçant ε par ε a on obtient deux équations à deux inconnus : 4ε b ε a = 2 3 ε 2 + 3ε 22 4ε c ε a = 2 3 ε 2 + 3ε 22 La solution est : ε 22 = 4 6 (ε b + ε c ) 3 ε a =.5 o / oo ε 2 = 3 (ε b ε c ) =.2 3 =.55 o / oo Finalement, le tenseur des déformations s écrit : 3 ε = 2 [ ]