Modélisation des mécanismes

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1 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD Compétences visées: B2-10, B2-11, B2-12, B2-21, B2-22, C2-11, C2-12, F1-06, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Contenu : TD 0 Support de cours : Système d orientation de phare TD 1 Mécanisme d inclinaison des pales d un hélicoptère TD 2 Coupe-tube TD 3 Robot Spirit TD 4 Micromoteur TD 5 Machine à vapeur TD 6 Robot d inspection de tubes de centrale nucléaire TD 7 Ouvre-barrière Sinusmatic Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 1

2 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 0 Compétences visées: B2-10, B2-11, B2-12, B2-21, B2-22, C2-11, C2-12, F1-06, F2-07 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles v1.0 Support de cours Système d orientation de phare 1 Présentation Le support utilisé pour illustrer les différentes notions du chapitre 5 est un système de phare directionnel de Renault Espace IV assurant au faisceau lumineux une orientation horizontale fonction de l assiette (inclinaison) du véhicule. L assiette d un véhicule est modifiée par la charge du véhicule, le profil de la route ou les conditions de conduite (phase de freinage ou d accélération). Cette modification entraîne une variation d inclinaison de l axe du faisceau lumineux produit par les phares du véhicule. Ceux-ci peuvent alors éblouir d autres conducteurs ou simplement mal éclairer la chaussée. axe du faisceau lumineux correct axe du faisceau lumineux incorrect Voiture non chargée Voiture chargée On utilise alors un correcteur de phare, pour gérer l orientation des phares d une voiture automobile depuis l habitacle. Le système étudié est un correcteur de portée statique, qui corrige la portée lorsque le véhicule est à l arrêt et conserve cette correction lorsque le véhicule roule (le correcteur de portée statique ne tient compte que de la variation d assiette due à la charge). Des correcteurs de portée dynamiques existent, qui compensent à chaque instant les variations de l assiette de la voiture. tige du correcteur 1 biellette de poussée 2 corps 0 support lié à la carosserie 0 axe de rotation du bloc d orientation bloc d orientation 3 Le système est constitué du bloc d orientation 3 contenant les phares inclinable selon un axe pouvant être réglé, d une biellette de poussée 2, du correcteur constitué d un corps fixe par rapport au véhicule 0 et d une tige 1 pouvant sortir ou rentrer par rapport au corps 0. Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 4

3 CPGE PCSI - S2I Système d orientation de phare TD 2 Détermination des liaisons Question 1 En analysant les surfaces de contact entre les solides, déterminer les mouvements possibles et en déduire les liaisons, entre les différents solides : liaison entre 1 et 0 : liaison entre 2 et 1 : liaison entre 3 et 2 : liaison 1 entre 3 et 0 : liaison 2 entre 3 et 0 : 3 Graphe de liaisons Question 2 Construire le graphe de liaisons associé au modèle des liaisons du système d orientation de phare déterminé précédemment. Question 3 Intuitivement, quelle est la liaison équivalente entre 3 et 0. Dessiner le graphe des liaisons correspondant. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 4

4 CPGE PCSI - S2I Système d orientation de phare TD 4 Schéma cinématique Question 4 Réaliser le schéma cinématique en deux dimensions (2D) en utilisant le graphe des liaisons simplifié puis en perspective (3D) du système d orientation de phare. B A B A y y C z O x C z O x B A y B A y C z x C z x C C 5 Modélisation plane Question 5 Justifier qu une modélisation plane du système d orientation du phare peut être définie dans le plan ( y, z ). Question 6 Réaliser le schéma cinématique plan du système d orientation sur la figure ci-après. Lycée Michelet - Vanves Page 3 / 4

5 CPGE PCSI - S2I Système d orientation de phare TD B A B A y y C z O x C z O x 6 Analyse géométrique Question 7 En supposant que la tige 1 sort de 4 mm, déterminer graphiquement la nouvelle position des points A, B et C (le schéma est à l échelle 0,8). En déduire la variation de l angle du correcteur. B A y C z O x Question 8 Procéder au paramétrage sur le schéma cinématique plan réalisé précédemment. Réaliser les figures de changement de bases associées à chaque angle introduit. Question 9 Question 10 Écrire la fermeture angulaire. Écrire la fermeture linéaire. Question 11 Déterminer la loi entrée-sortie reliant le paramètre de translation de la tige 1 par rapport à 0 à l angle de rotation du support 3 par rapport à 0. Question 12 Faire l application numérique en relevant les valeurs sur la figure de la Q7 et vérifier le résultat obtenu graphiquement de l angle de rotation pour une sortie de tige de 4 mm. Lycée Michelet - Vanves Page 4 / 4 D après: A. CAIGNOT - J-M. CHATEAU - N. MALESYS - S. GERGADIER - D. VIOLEAU

6 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 1 Compétences visées: B2-12, B2-21, F1-06 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Mécanisme d inclinaison des pales d un hélicoptère 1 Présentation Un hélicoptère crée sa portance grâce au mouvement de rotation du rotor principal 8 entraîné à l aide d une turbine. F #» z 0 #» y 7 E Pour permettre à l hélicoptère de se déplacer suivant les différentes directions, les pales 7 prennent, suivant un axe radial, une incidence qui varie au cours de la rotation du rotor. Le dispositif qui transmet les consignes du pilote et qui permet d imposer cette variation d incidence est le plateau cyclique (3 et 4) dont l orientation est fixée par l intermédiaire de plusieurs vérins hydrauliques (1 et 2). Les figures ci-dessous montrent l inclinaison des pales en fonction de la position du plateau cyclique pour différentes phases de vie de l hélicoptère. C D #» z 1 B #» z 1 O A x #» 0 #» y 0 Hélicoptère à l arrêt - les pales sont en position horizontale (incidence nulle) Hélicoptère en vol stationnaire - les pales présentent la même incidence Hélicoptère en déplacement - les pales ne présentent pas la même incidence Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 2

7 CPGE PCSI - S2I Mécanisme d inclinaison des pales d un hélicoptère TD 2 Modélisation Question 1 En observant le mécanisme et les surfaces en contact, donner les liaisons entre les pièces 1 à 8 et tracer le graphe de liaisons. Vous utiliserez le paramétrage fourni sur la première figure. Une fois le modèle mis en place, on peut le résoudre avec un logiciel de simulation numérique (SolidWorks + Meca3d par exemple). Une simulation Feuille1a été conduite avec ce logiciel pour une évolution du déplacement des vérins donnés. L évolution de l angle des pales est donné sur la figure ci-dessous. ) Angle pale1 ( ) Angle pale2 ( ) Temps (s) Question 2 Déterminer le mouvement des tiges des vérins pour chacune des zones et donner le mouvement de l hélicoptère en vous servant des explications de la page précédente. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 2 D après: N. MALESYS - S. GERGADIER

8 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 2 Compétences visées: B2-12, B2-21, F1-06, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Coupe-tube 1 Présentation Un coupe-tube est un petit mécanisme facilement transportable qui permet de couper des tubes, en cuivre pour la plomberie notamment, facilement. Le coupe-tube est composé 11 pièces détaillées sur l éclaté suivant : #» y #» z #» x Objectif L objectif de ce TD est de déterminer les liaisons entre les différents ensemble cinématique puis de réaliser un schéma cinématique du coupe-tube de manière à pouvoir expliquer son fonctionnement. Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 3

9 CPGE PCSI - S2I Coupe-tube TD 2 Modélisation On distingue les classes d équivalence cinématique suivantes : S0 : corps {01, 04a, 04b} S1 : vis de commande {09, 07, 08} S2 : coulisseau {02, 06} S3 : rouleau a {03a} S4 : rouleau b {03b} S5 : disque {05} Question 1 À l aide des zooms sur les surfaces de contact de la Figure 1, déterminer les liaisons entre chaque classe d équivalence cinématique en justifiant bien les surfaces en contact et en donnant les caractéristiques de la liaison : point, direction, axe... A C B A F E (a) Liaison entre S0 et S1 (b) Liaison entre S0 et S3 (a et b) (c) Liaison entre S0 et S2 ainsi que S2 et S5 Figure 1 Zoom sur les différentes zones de contacts Question 2 Réaliser un graphe de liaisons en utilisant les 6 classes d équivalence cinématique. Utiliser les points et les axes définies sur les différentes vues pour caractériser chaque liaison. S0 est le bâti. Question 3 Réaliser un schéma cinématique en représentation plane dans le plan ( x, y ) en prenant soin de prendre une couleur par classe d équivalence cinématique et en respectant la disposition des pièces (comme dans la réalité). Question 4 Expliquer le fonctionnement du système à l aide du schéma cinématique. Question 5 Colorier, sur chacune des vues de la figure page suivante, les 6 classes d équivalence cinématique des 6 couleurs différentes choisis précédemment pour le schéma cinématique. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 3

10 CPGE PCSI - S2I Coupe-tube D après: A. CAIGNOT - S. GERGADIER Lycée Michelet - Vanves TD Page 3 / 3

11 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 3 Compétences visées: B2-10, B2-11, B2-22, F1-06, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Robot Spirit 1 Présentation Le robot Spirit a été conçu par la NASA pour étudier la composition chimique de la surface de la planète Mars. Pour réaliser cette fonction, le robot doit satisfaire plusieurs exigences à l aide des solutions techniques listées ci-dessous : un corps, appelé «Warm Electronic Box», dont la fonction est d assurer la liaison entre les divers composants. Il supporte les batteries qui sont chargées par des capteurs solaires. Il protège également l électronique embarquée des agressions extérieures ; une tête périscopique orientable dont la fonction est d orienter le système appelé «Pancam» (Panoramic Camera) qui se trouve à 1,4 m de hauteur. Ce dernier fournit une vue en 3 dimensions de l environnement. Le traitement des images acquises par les caméras du système Pancam permet à Spirit de réaliser une cartographie des terrains et donc de trouver de manière autonome son chemin en évitant les obstacles. Cette autonomie de déplacement est renforcée par l utilisation de quatre caméras de direction situées sur le corps ; un bras articulé dont la fonction est d amener quatre outils (une foreuse, un microscope et deux spectromètres) à proximité d une roche à étudier. L étude de la roche par ces quatres outils se fait par des carottages horizontaux ; six roues, animées chacune par un motoréducteur, dont la fonction est d assurer le déplacement de Spirit sur un sol caillouteux. Les deux roues avant et arrière possèdent de plus un moteur permettant au robot d effectuer des changements de direction jusqu à un demi tour sur place ; un système de communication et des antennes hautes et basses fréquences, dont la fonction est de permettre à Spirit de communiquer avec la Terre. Le cahier des charges à satisfaire est donc : Exigence Critères Niveaux Déployer le bras et positionner les quatre outils à proximité de la roche Hauteur d étude de la roche Position des 4 outils Précision de la mise en position des 4 outils Durée du déploiement du bras 0 h 1,2 m position horizontale 0,5 cm 2 minutes maxi Adapté de X-ENS PSI 2005 Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 5

12 CPGE PCSI - S2I Robot Spirit TD Figure 1 Représentation d artiste du robot Spirit et prise de vue de la cible depuis la caméra panoramique implantée sur la tête périscopique Objectif L objectif de ce TD est de déterminer la position des outils en fonction de la cinématique du mécanisme et de vérifier qu il satisfait les performances du cahier des charges. 2 Modélisation cinématique et paramétrage du bras articulé x 2 y 2 O 2 3 z 0 y z 3 z 4 4 O 3 y 3 4 x 3 O O O 0 1 x 0 x 1 z 0 y 0 x 0 Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 5

13 CPGE PCSI - S2I Robot Spirit TD Le corps du robot est repéré 0. On lui attache un repère R 0 (O 0, x 0, y 0, z 0 ) et le point O 0 est à la hauteur h 0 du sol, supposé constante ; La liaison entre le solide 1 et le corps 0 du robot est modélisée par une liaison pivot parfaite d axe (O 0, z 0 ). On attache au solide 1 le repère R 1 (O 0, x 1, y 1, z 1 ), on pose O 0 O 1 = a 1x1 + c 1z1 et θ 1 = ( x 0, x 1 ) avec π/2 θ 1 π/2 ; La liaison entre le bras 2 et le solide 1 est modélisée par une liaison pivot parfaite d axe (O 1, y 1 ). On attache au solide 2 le repère R 2 (O 1, x 2, y 2, z 2 ), on pose O 1 O 2 = a 2x2 et θ 2 = ( x 1, x 2 ) avec π/4 θ 2 π/4 ; La liaison entre l avant bras 3 et le bras 2 est modélisée par une liaison pivot parfaite d axe (O 2, y 2 ). On attache au solide 3 le repère R 3 (O 2, x 3, y 3, z 3 ), on pose O 2 O 3 = a 3x3 et θ 3 = ( x 2, x 3 ) avec 0 θ 3 π ; La liaison entre le solide 4 et l avant bras 3 est modélisée par une liaison pivot parfaite d axe (O 3, y 3 ). On attache au solide 4 le repère R 4 (O 3, x 4, y 4, z 4 ), on pose O 3 O 4 = b 4y4 c 4z4 et θ 4 = ( #» x 3, #» x 4 ) avec π θ 4 π ; La liaison entre le solide 5 (sur lequel se trouvent les quatre outils d étude de la roche) et le solide 4 est modélisée par une liaison pivot parfaite d axe (O 4, z 4 ). Les positions relatives θ 1, θ 2, θ 3, θ 4 de chaque solide sont pilotées par 4 actionneurs indépendants notés M 1, M 2, M 3, M 4 constitués d un moteur, d un réducteur irréversible et d un codeur. Données : h 0 = 0,5 m a 1 = 0,1 m c 1 = 0,1 m a 2 = 0,5 m a 3 = 0,8 m b 4 = 0,1 m c 4 = 0,15 m On définit les positions particulières du bras articulé suivantes : la position de repos, notée P r (θ 1 = π/2, θ 2 = 0, θ 3 = π), est la position du bras articulé lorsqu il n est pas en fonctionnement ; la position initiale de déploiement, notée P i (θ 1 = 0, θ 2 = π/4, θ 3 = π/2), est la position adoptée par le bras avant de se déployer complètement vers la roche ; la position horizontale, notée P h (θ 1 = 0, θ 2 = 0, θ 3 = 0) ; la position verticale, notée P v (θ 1 = 0, θ 2 = π/4, θ 3 = 0). On considère par la suite que l ensemble {4 + 5} reste toujours immobile l un par rapport à l autre et que l ensemble {4 + 5} reste toujours horizontal par rapport au sol (i.e. : z 0 = z 4 ). Question 1 Réaliser le graphe de liaisons du bras articulé du robot Spirit. Question 2 Pour les positions P i, P h et P v, compléter le schéma cinématique à l échelle 1/10 (1 m dans la réalité est représenté par 0,1 m sur la feuille), puis déterminer l expression littérale du vecteur position O #» 0 O 3 dans le repère R 0. Effectuer l application numérique. Lycée Michelet - Vanves Page 3 / 5

14 CPGE PCSI - S2I Robot Spirit TD Position initiale : P i (θ 1 = 0, θ 2 = π/4, θ 3 = π/2) z0 sol x 0 Position verticale : P v (θ 1 = 0, θ 2 = π/4, θ 3 = 0) z0 sol x 0 Lycée Michelet - Vanves Page 4 / 5

15 CPGE PCSI - S2I Robot Spirit TD Position horizontale : P h (θ 1 = 0, θ 2 = 0, θ 3 = 0) z0 sol x 0 Question 3 Déterminer la relation sur les angles θ 1, θ 2, θ 3, θ 4 permettant de satisfaire la condition d horizontalité de l ensemble {4 + 5}. Question 4 Calculer la hauteur maximale d étude de la roche par rapport au sol en gardant l outil horizontal. Construire un schéma cinématique en couleurs dans le plan (O 0, x 0, z 0 ) pour cette position particulière. Conclure quant au respect du critère de hauteur d étude de la roche du cahier des charges. Lycée Michelet - Vanves Page 5 / 5 D après: N. MALESYS - S. GERGADIER

16 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 4 Compétences visées: C2-11, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Micromoteur On étudie la cinématique d un micromoteur thermique utilisé dans le modélisme. x 0 θ 3 x 2 CA = λ(t) x 0 CB = R x 1 BA = L x 2 S 3 A S 2 x 1 θ 2 λ B θ 1 y0 S 1 S 0 C Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 2

17 CPGE PCSI - S2I Micromoteur TD Objectif L objectif du TD est de déterminer la loi entrée-sortie d un micromoteur de modélisme, dont la modélisation est fournie, puis de choisir un des paramètres du moteur pour respecter la cylindrée souhaitée. Question 1 Question 2 Tracer les figures de changement de bases (figures géométrales). Réaliser la fermeture angulaire pour trouver une relation sur les différents angles. Question 3 Écrire la fermeture linéaire et en déduire la loi entrée-sortie reliant l angle d entrée θ 1 à la translation de sortie λ. La cylindrée du micromoteur correspond au volume de fluide déplacé par le piston (S 3 ) pour une rotation complète (1 tour) du vilebrequin (S 1 ). La cylindrée souhaitée du moteur est de 6 cm 3. On a R = 10 mm et L = 35 mm. Question 4 Déterminer le diamètre D P du piston permettant de respecter cette cylindrée. Pour augmenter la cylindrée, donner les moyens à notre disposition. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 2 D après: A. CAIGNOT - S. GERGADIER

18 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 5 Compétences visées: C2-11, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Machine à vapeur 1 Présentation On étudie le fonctionnement d une machine à vapeur utilisée sur les maquettes de modèle réduit. Le mécanisme est constitué de 4 classes d équivalence cinématique (voir Figure 1) : le bâti S0, qui est fixé sur le bateau, constitué du corps 1 et de la bague 8 ; le cylindre S1, qui reçoit la vapeur pour déplacer le piston, constitué du cylindre 2 et de l axe de cylindre ; le piston S2, qui va mettre en mouvement le volant d inertie ; le volant d inertie S3, dont la rotation sera reliée aux aubes du bateau, qui est composé du volant 4, de l axe principal et de l axe de volant. Axe de volant Piston Cylindre 2 Volant 4 Corps 1 Bague 8 Axe de cylindre Axe principal Figure 1 Description du mécanisme de la machine à vapeur Objectif On souhaite déterminer le débattement angulaire du cylindre au cours du mouvement de manière à savoir où positionner les entrées/sortie de vapeur d eau. Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 2

19 CPGE PCSI - S2I Machine à vapeur TD 2 Modélisation La modélisation de la machine à vapeur est donnée sur le schéma cinématique paramétré de la Figure 2. Au bâti S 0 est associé le repère R 0 (A, x 0, y 0, y 0 ). On pose AC = L x0. Le cylindre S 1 est en liaison pivot d axe (A, z 0 ) avec le bâti S 0. La liaison est paramétrée par l angle θ 10 = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ). Le piston S 2 est en liaison pivot glissant d axe (A, x 1 ) avec le cylindre S 1. La liaison est paramétrée par le vecteur AB = λ(t) x1. Le volant S 3 est en liaison pivot d axe (B, z 0 ) avec le piston S 2. La liaison est paramétrée par l angle θ 31 = ( x 1, x 3 ) = ( y 1, y 3 ). On pose CB = R x 3. Le volant S 3 est en liaison pivot d axe (C, z 0 ) avec le bâti S 0. La liaison est paramétrée par l angle θ 30 = ( x 0, x 3 ) = ( y 0, y 3 ). x 3 y0 S 2 B θ 31 x 1 S 1 S3 θ 10 A C θ 30 x0 S 0 Figure 2 Modélisation de la machine à vapeur et paramétrage Question 1 Question 2 Tracer les figures de changement de bases (figures géométrales). Réaliser la fermeture angulaire pour trouver une relation sur les différents angles. Question 3 Écrire la fermeture linéaire et en déduire la loi entrée-sortie reliant l angle d entrée θ 30 à la translation de sortie λ en fonction de R et L. Question 4 de L. Exprimer l angle du cylindre S 1, θ 10, en fonction de l angle du volant S 3, θ 30, de R et On suppose que R = 10 mm et L = 74 mm. Question 5 À l aide de votre calculatrice, déterminer le débattement angulaire maximal du cylindre (angle θ 10 ) lors de son mouvement d oscillation (lorsque l angle θ 30 varie entre 0 et 2π). Question 6 Proposer une méthode graphique pour retrouver ce résultat et l appliquer en reproduisant la géométrie du mécanisme à l échelle 1. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 2 D après: A. CAIGNOT - S. GERGADIER

20 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 6 Compétences visées: C2-11, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Robot d inspection de tubes de centrale nucléaire 1 Présentation Le robot positionneur TRIBAR permet de contrôler les tubes des générateurs de vapeur d une centrale nucléaire. Pour cela, le robot doit : réaliser les déplacements le plus rapidement possible pour respecter la cadence de contrôle de 10 tubes à l heure ; positionner un tube pour guider la sonde contrôle au droit des tubes précisément, ce qui nécessite une précision de positionnement des doigts d accrochage. Le robot est donc constitué de trois doigts d accrochage venant se positionner au droit des tubes et d un doigt constitué de la sonde de contrôle. Les trois doigts d accrochage sont déplacés par trois vérins à vis. Pour se déplacer le robot fixe deux doigts et déplace le troisième en commandant deux vérins. Objectif L objectif de ce TD est de déterminer les lois de mouvement à imposer aux deux vérins pour commander le déplacement du robot d inspection. Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 2

21 CPGE PCSI - S2I Robot d inspection de tubes de centrale nucléaire TD 2 Modélisation Le modèle retenu pour le robot est donné sur le schéma cinématique plan suivant. y2 x 1 (1b) B (2b) (1a) (2a) y0 y1 x 2 A θ 1 O C θ 2 x 0 (0) On cherche à déterminer comment piloter les vérins pour que le doigt se déplace dans le plan selon une loi souhaitée. On associe le repère R 0 (O, x 0, y 0, z ) aux pieds fixes, le repère R 1 (A, x 1, y 1, z ) au vérin 1 (composé du corps 1a et de la tige 1b) et le repère R 2 (B, x 2, y 2, z ) au vérin 2 (composé du corps 2a et de la tige 2b). Les angles θ 1 et θ 2 sont définis par : θ 1 = ( x 0, x 1 ) = ( y 0, y 1 ) et θ 2 = ( x 0, x 2 ) = ( y 0, y 2 ). On pose OB = x x 0 + y y 0, AB = λ1 x1 et CB = λ 2y2. La distance AC est constante et égale à L. Question 1 Réaliser deux fermetures géométriques (linéaires) entre les points A, O, B et entre C, B, O. Question 2 En déduire les expressions de λ 1 en fonction de x, y et L ainsi que λ 2 en fonction des mêmes paramètres. Question 3 Quelles lois doit-on donner aux 2 vérins pour obtenir un mouvement de translation selon y0 uniquement? Même question pour obtenir un mouvement de translation selon x 0 uniquement. Les vérins ont une course de 10 cm. Lorsqu ils sont complètement rentrés, la longueur AB = BC vaut L. Question 4 Déterminer la position maximale que pourra atteindre le point B selon y 0. La précision de déplacement d un vérin est de ±0,1 mm. On suppose qu un des deux vérins est fixé et l autre se déplace de la précision donnée. Question 5 Tracer la trajectoire du point B lors de ce déplacement (en exagérant l échelle). Faire de même si c est l autre vérin qui bouge et que le vérin considéré est fixé. En déduire approximativement la zone d erreur de positionnement du doigt. Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 2 D après: S. GERGADIER - D. VIOLEAU

22 CPGE - Sciences de l Ingénieur - Chapitre 5 PCSI Modélisation des mécanismes TD 7 Compétences visées: A3-08, B2-12, B2-21, C2-11, F1-06, F2-07 v1.0 Lycée Michelet 5 Rue Jullien Vanves - Académie de Versailles Ouvre-barrière Sinusmatic 1 Présentation La société Ellipse Industrie commercialise une barrière télécommandée appelée Sinusmatic. Le système Sinusmatic permet l ouverture ou la fermeture, dans un plan vertical, des barrières de parking et de péages d autoroute. La particularité de la barrière Sinusmatic résulte de la cinématique brevetée de son renvoi d angle qui transforme le mouvement circulaire continu d un moto réducteur en mouvement oscillant d un quart de tour. L entraînement est obtenu par un moteur électrique et un réducteur à engrenages (non représentés), dont l arbre de sortie, noté AS, est lié à la manivelle C1. L avantage de ce mécanisme est d autoriser des temps de manœuvres très courts, sans choc aux extrémités de la course de la barrière. La séquence ci-dessous (Figure 1) permet d observer le fonctionnement du système pour une rotation d un tour de l arbre d entrée. Figure 1 Évolution de la sortie (barrière) pour un tour de l arbre d entrée (arbre de sortie du moto-réducteur) Objectif L objectif de ce TD est de déterminer les conditions géométriques nécessaires pour que ce système vérifie la cinématique annoncée par le constructeur : ouverture/fermeture d un quart de tour pour un tour complet de l arbre de sortie du moto-réducteur. Lycée Michelet - Vanves Page 1 / 4

23 CPGE PCSI - S2I Ouvre-barrière Sinusmatic TD 2 Modélisation des contacts Question 1 À partir de la description, proposer un diagramme de la chaîne d énergie partielle de l ouvre barrière. La Figure 2 donne un aperçu en perspective du mécanisme de transformation de mouvement et la Figure 3 précise les classes d équivalence cinématique qui seront utilisées. Barrière C4 Croisillon C3 Noix C2 C D y 0 Manivelle C1 x 0 B A z 0 Bâti C0 Figure 2 Vue en perspective du Sinusmatic (a) bâti C0 (b) Manivelle C1 (c) Noix C2 (d) Croisillon C3 (e) Barrière C4 Figure 3 Classes d équivalence cinématique du Sinusmatic Lycée Michelet - Vanves Page 2 / 4

24 CPGE PCSI - S2I Ouvre-barrière Sinusmatic TD La fonction du Sinusmatic est donc de transformer la rotation de l arbre de sortie du moto-réducteur d axe vertical (A, y 0 ) par rapport au bâti, en une rotation d axe horizontal de la barrière (D, x 0 ). Question 2 Question 3 À partir des figures 2 et 3, déterminer le graphe des liaisons du Sinusmatic. Sur la Figure 4 (page 4), réaliser le schéma cinématique spatial du Sinusmatic. 3 Modélisation du mouvement 3.1 Paramétrage Une étude sur les liaisons équivalentes (notion qui sera traitée ultérieurement) a permis de simplifier le mécanisme : C1 Pivot d axe (A, y 0 ) Linéaire annulaire d axe (B, y 3 ) C0 C3 Pivot d axe (D, x 0 ) C4 Pivot d axe (C, z 4 ) Pour réaliser l étude géométrique, on pose : R 0 (A, x 0, y 0, z 0 ) le repère associé au bâti C0 ; R 1 (A, x 1, y 0, z 1 ) le repère associé à la manivelle C1 avec α = ( x 0, x 1 ) = ( z 0, z 1 ) ; R 4 (D, x 0, y 4, z 4 ) le repère associé à la barrière C4 avec β = ( y 0, y 4 ) = ( z 0, z 4 ) ; R 3 (C, x 3, y 3, z 3 ) le repère associé au croisillon C3 avec : θ = ( x 3, x 4 ) = ( y 3, y 4 ), le paramètre angulaire associé à la liaison pivot d axe (C, z 4 ) entre C3 et C4, γ = ( z 1, z 3 ) = ( y 1, y 3 ), un des paramètres angulaires de la liaison linéaire annulaire d axe (B, y 3 ) entre C1 et C3 ; AB = R z 1, AC = L y 0 et BC = λ y Loi entrée-sortie Question 4 Réaliser les figures géométrales associées aux paramètres angulaires α, β, θ et γ. Question 5 Écrire la fermeture géométrique (linéaire) relative aux points A, B et C. En projetant cette fermeture dans la base b 1, montrer que la longueur λ et que l angle γ sont constants et indépendant de l angle θ. Pouvait-on le prévoir directement en observant le schéma cinématique? Lycée Michelet - Vanves Page 3 / 4

25 CPGE PCSI - S2I Ouvre-barrière Sinusmatic TD D après le graphe des liaisons (chaine fermée) et les figures géométrales (de changement de bases), on remarque qu il est possible d écrire le vecteur y 3 dans la base b 0 de deux façons différentes : en passant par la base b 4 ou en passant par la base b 1. Question 6 Déterminer les deux expressions de y 3 dans la base b 0 et en déduire la relation entre le paramètre d entrée α et le paramètre de sortie β (en fonction de l angle γ). Question 7 En déduire la valeur de l angle γ qui permet de respecter le cahier des charges : pour un demi-tour de l arbre d entrée du mécanisme (angle α), la barrière doit faire un quart de tour (angle β). Quelle relation a t-on alors entre R et L? La particularité du système réside, en partie, dans la géométrie du croisillon qui impose une orthogonalité des axes y 3 et z 4. Question 8 Écrire la relation d orthogonalité entre les vecteurs y 3 et z 4 et montrer que l on retrouve la loi entrée-sortie du mécanisme très rapidement. 4 Document réponse C D y 0 x 0 B A z 0 Figure 4 Schéma cinématique spatial du Sinusmatic Lycée Michelet - Vanves Page 4 / 4 D après: N. MALESYS - S. GERGADIER