Expérience du chaos. Est-il toujours possible de connaitre l évolution d un système qui répond à des équations données?

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1 Expérience du chaos Problématique : Est-il toujours possible de connaitre l évolution d un système qui répond à des équations données? Plan I) Etude expérimentale 1) Circuit électrique 2) Acquisition II) Etude théorique 1) Mise en équation 2) Résolution numérique III) Comparaison des résultats et influence des paramètres 1) Similitude entre les résultats 2) Caractère fractal

2 Présentation du chaos Conditions nécessaires : Un système dynamique : Déterministe Non linéaire Non intégrable Caractérisation des systèmes chaotiques : sensibilité aux conditions initiales «Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. (...). Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.». La signature du chaos, H. Poincarré(198) «Cela implique, que deux états qui ne diffèrent que par d infimes quantités peuvent évoluer vers deux états totalement différents. Partant de là s il y la moindre erreur dans l observation d un état au temps présent, et de telles erreurs semblent inévitables dans n importe quel système réel, il se pourrait bien qu il soit impossible de faire une prédiction valable de ce que deviendra cet état dans un futur lointain.» L effet papillon, E. Lorenz(1963)

3 Mise en place expérimentale Description générale Le système à l étude ici est constitué d une boussole placée dans un champ magnétique composé d un champ tournant et d un champ fixe. Dispositif de création du champ Le champ magnétique est créé par deux paires de bobines de Helmotz alimentées par deux courants périodiques en quadrature

4 Description du circuit électrique U1 U2 Le but du circuit est que les bobines L1 reçoivent une tension de même amplitude mais déphasé de π/2 A la fréquence de 3Hz, R 1 =8Ω, R 2 =3Ω, L 1 =1.2H, L 2 =1.2H et C=.1F conviennent. Pour créer la composante fixe, j ai utilisé une paire de bobine de Helmotz supplémentaire alimentée par une alimentation stabilisée en mode générateur de courant de telle sorte que, le champ fixe ainsi créé dans l enceinte, soit de même norme que le champ tournant.

5 Dispositif d acquisition Au moyen d une potence, j ai fixé un appareil photo qui a la capacité de filmer avec un haut taux d image par seconde : entre 12 et 48 fps. Grâce au logiciel Latis Pro, j ai pu faire l acquisition automatique de quelques milliers de points sur une dizaine de secondes de fonctionnement.

6 Malheureusement, les résultats obtenus n étaient pas exploitable car Latis donne l argument principal de l angle mesuré d où des problèmes de continuité Avant :. Temps Après traitement : Nombre d image Description du programme : Détection d un saut (2 valeurs consécutives écartées de plus de 5 radians par exemple) Détection du sens du saut Ajout aux valeurs initiales des écarts cumulés

7 Etude théorique Calculs préliminaires Calcul du moment d inertie du système Description du système : solide formé d un cylindre creux de hauteur h et d une barre transverse de longueur L et de rayon a L=51.5 mm a=3 mm Rext=7 mm h=26 mm Rint=5 mm D où Mesure du moment magnétique de l aimant : On réalise la mesure du moment magnétique au moyen de deux bobines de Helmotz. L aimant placé dans cette configuration répond alors à l équation : Aux petites oscillations, la période s écrit en fonction de M, B et Jz d où :

8 Mise en équation du système Référentiel d étude : lié au support, supposé galiléen Soit θ l angle qui repère la boussole par rapport à une direction donnée. En appliquant le théorème du moment cinétique au solide projeté sur l axe (Oz) (axe de rotation de la boussole), on obtient l équation : Où K représente le rapport du module du champ fixe sur celui du champ tournant et l angle que fait le champ tournant avec une direction arbitraire à l origine du temps. représente Mise sous cette forme, on trouve le degré de liberté 3 du système :

9 Résolution numérique du système Voici un exemple de résolution numérique avec Maple qui illustre bien la dépendance aux conditions initiales :

10 ,,39,77 1,16 1,55 1,94 2,33 2,71 3,1 3,49 3,88 4,26 4,65 5,4 5,43 5,81 6,2 6,59 6,97 7,36 7,75 8,14 8,52 8,91 9,3 9,69 1,7 1,46 1,85 11,24 11,62 12,1 12,4 12,79 13,17 13,56 13,95 14,34,,18,35,52,7,87 1,5 1,23 1,4 1,58 1,75 1,92 2,1 2,28 2,45 2,63 2,8 2,98 3,15 3,33 3,5 3,68 3,85 4,3 4,2 4,38 4,55 4,73 4,9 5,8 5,25 5,43 5,6 5,77 5,95 6,12 6,3 6,47 6,65,35,69 1,4 1,38 1,73 2,8 2,42 2,77 3,11 3,46 3,8 4,15 4,5 4,84 5,19 5,53 5,88 6,22 6,57 6,92 7,26 7,61 7,95 8,3 8,65 8,99 9,34 9,68 1,3 1,37 1,72 11,7 11,41 11,76 12,1 Comparaison des résultats Similitude entre les résultats expérimentaux 5-5 theta pour K=.5 Les perturbations induites par le champ fixe sont à peine visible. On retrouve le comportement rotatif asymptotique theta pour K= Comportement chaotique theta pour K=4 2-2 On distingue clairement les actions de chacun des champs

11 ,6625 1,325 1,9875 2,65 3,3125 3,975 4,6375 5,3 5,9625 6,625 7,2875 7,95 8,6125 9,275 9,9375 1,6 11,2625, , ,925 1, , ,85 2, , ,775 3, , ,7 4, , ,625 4, , ,55 5, , ,475,8,16,24,32,4,48,55,63,71,79,87,95 1,3 1,11 1,19 1,27 1,35 1,43 1,5 1,58 1,66 1,74 1,82 1,9 1,98 2,6 2,14 2,22 2,3 2,38 2,45 2,53 2,61 2,69,,19,38,56,75,94 1,13 1,31 1,5 1,69 1,87 2,6 2,25 2,44 2,63 2,81 3, 3,19 3,38 3,56 3,75 3,94 4,13 4,31 4,5 4,69 4,88 5,6 5,25 5,44 5,63 5,81 6, 6,19 6,37 6, theta pour K= Comportement qui pourrait être qualifié de semi périodique avec quelques perturbations theta pour K=7,8,6,4,2 -,2 Le champ fixe devient dominant : on retrouve les oscillations périodiques de la configuration asymptotique. -,4 -,6 -,8 Influence des frottements sur le comportement du système : theta avec frottement pour K= theta avec frottement pour K=2 On remarque que l apparition de frottement fluide tend à stabiliser la solution.

12 Similitude avec les résultats de la simulation Diagrammes de phase du système dans le cas où K=4 avec les mêmes conditions initiales (sauf phase avec le champ tournant) : Diagramme expérimental Diagramme théorique Points communs significatifs : les extrema de vitesse sont les mêmes l étendue de θ est la même présence des mêmes motifs Causes probables des différences : imprécision du pointé sur la vidéo imprécision du calcul de la vitesse manque d information sur la phase du champ tournant à l origine imperfections du dispositif de création de champ (écartement entre les bobines)

13 Caractère fractal Les systèmes dynamiques chaotiques se distinguent des autres par le caractère fractal de leur portrait de phase. Pour mettre en évidence ce caractère, j ai créé une procédure Maple qui trace le nombre de point compris dans une région en fonction de la taille de cette région. La courbe ainsi obtenue dans un graphique log-log est une droite dont la pente indique la dimension fractale. Conclusion De part leur sensibilité, l étude des systèmes chaotiques est complexe et leur évolution s avère impossible à prédire au delà d un certain temps caractéristique du système. On peut cependant y trouver un certain ordre puisque leur comportement est déterministe. On comprend alors l importance de la précision des mesures dans la modélisation des systèmes complexes tels que la météo.

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