FLEXION PLANE SIMPLE (suite)

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1 29/10/05 Page 1sur 9 IV. FLEXION PLANE SIMPLE (suite) ESSAI DE FLEXION PLANE On mesure les déformations jauges extensométriques : mesure des l / l comparateur : mesure des y = flèche = f la loi de Hooke permet de déduire des déformations lanature et la répartition des contraintes Résultats : f est proportionnelle à F f = 0 si C=A ou si C=B f est maximale lorsque C est milieu de [AB] déformation de la ligne moyenne les fibres au dessus du plan (G, x, z ) raccourcissent COMPRESSION (σx > 0 ) les fibres au dessous du plan (G, x, z ) s'allongent TRACTION (σx < 0 ) les fibres du plan (G, x, z ) ne changent pas de longueur PLAN NEUTRE l / l = λ. y La section (S) a pivotée autour de l'axe (G, z) d'un angle ϕ pour venir en (S')

2 29/10/05 Page 2sur 9 V. CONTRAINTES EN FLEXION PLANE SIMPLE V.1 Nature des contraintes Dans les sections droites (S1) L'expérimentation à montré qu'il existe des contraintes normales σx qui générent des déformations normales l / l = εx L'effort tranchant T génére une contrainte tangentielle transversale τxy Dans les sections (S2) parallèles au plan neutre ( et donc (S1) ) : on démontre qu'il existe des contraintes tangentielles longitudinales τyx = τxy ( Théorème de Gauchy : voir chap. Cercles de Mohr des contraintes) V.2 Contraintes normales L'expérimentation a montré que : l / l = λ. y La loi de Hooke donne : σx = E. l / l σx = E. λ. y soit σx = k. y Répartion des contraintes normales dans la section droite (S1)

3 29/10/05 Page 3sur 9 Relation entre σx et Mf z : Dans une section droite (S1) de la poutre, on peut écrire : soit : Dans une section droite (S1) de la poutre, on peut écrire : Or σx = k. y, donc Mf z = - k. Σ( S1) y 2. S et Σ( S1) y 2. S = I(G,z), moment quadratique de la section droite (S1) par rapport à l'axe (G, z) avec :

4 29/10/05 Page 4sur 9 Remarque : contrainte normale maximale I(G,z) est constant le long de la poutre. La contrainte maximale est donc obtenue : dans la section droite où Mf z est maximal et pour y max = v, donc : V.3 Contraintes tangentielles On considère une poutre sollicitée en flexion plane simple Soient (S1) et (S2) deux sections droites très voisines d'abscisses x1 et x2. Après l'étude de l'évolution du torseur de cohésion le long de la poutre, on peut tracer les diagrammes des efforts tranchants Ty et du moment flechissant Mfz : Aux points G1 et G2 on a : Ty1 = Ty2 > 0 Mfz1 > 0; Mfz2 > 0 et Mfz1 > Mfz2

5 29/10/05 Page 5sur 9 On considère le tronçon G1G2 et (S) une section parallèle au plan neutre (G, x, z) et qui passe par le point M d'ordonnée Y : On étudie l'équilibre du tronçon G1G2 : x étant très petit, τxy = cte sur (S2), facette supérieure d'aire = Σx1 X2 S' = b. x En projection sur l'axe, l'équation d'équilibre du tronçon G1G2 s'écrit donc : soit :

6 29/10/05 Page 6sur 9 (1) Lorsque x 0, on peut écrire : Et on a : De plus : droite comprise entre v et Y., moment statique / l'axe (G, z) de la section L'équation (1) exprimant τyx peut donc s'écrire : Remarque : Ty, τxy, et Ms sont algébriques & si la section n'est pas rectangulaire, b est une fonction de Y Exemple : Cas d'une poutre de section rectangulaire de hauteur h et de largeur b

7 29/10/05 Page 7sur 9 V.4 Conditions de résistance σx max σp = σe / S τxy max τp = τe / S VI. Etude de la déformée VI. 1 Définition Les actions mécaniques appliquées provoquent la flexion de la poutre, La ligne moyenne se déforme et la courbe obtenue est appelée courbe déformée. On cherche l'équation y = f(x) de la courbe déformée.

8 29/10/05 Page 8sur 9 VI.2 Equation de la déformée

9 29/10/05 Page 9sur 9 Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne. Tout se passe comme si (S 2 ) avait tourné d'un angle très petit φ autour de l'axe. On considère la fibre m 1 m 2 d'ordonnée y. Cette fibre s'est raccourcie : le point m 2 est passée en m' 2, la déformation de la fibre s'écrit : En appliquant la loi de Hooke on obtient :