CHAPITRE 1. Systèmes de numération

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Thibaud Tassé
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1 1 CHAPITRE 1 Systèmes de numération

2 2 Représentation des nombres Nombres cardinaux Un symbole étalon Un nombre est l appariement d une suite de symbole étalon I Symbole étalon IIIIIIII Représente le nombre 8

3 3 Représentation des nombres Nombres ordinaux Une valeur de base (0) On définit les principes de succession succ(0) est le nombre suivant 0 et de correspondance À chaque valeur est associée un symbole (:=) 0, succ(0) := 1, succ(succ(0)) := 2, succ(succ(succ(0))) := 3, etc. Un nombre ordinal indique un rang dans un ensemble ordonné

4 4 Représentation des nombres Système de numération (η) Un couple composé D un ensemble de symbole (S) D un ensemble de règles (R) S = (I, V, X, L, C, D, M) R = ensemble des règles d écriture des chiffres romains IV = 4, LXVI = 66 La valeur d un symbole ne dépend pas de sa position

5 5 Représentation des nombres Système de numération positionnel Ajout d une base (B) au système de numération précédent Le nombre d élément dans l ensemble des symboles est B La valeur maximale d un symbole est B-1 Un symbole «a» à la i ème position vaut a * B i Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de 10

6 6 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de , 10 1, 10 2, 10 3 Unité, dizaine, centaine, millier 545 = La valeur associée à un chiffre dépend de sa position

7 7 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système décimal: B = 10 S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } R = Somme de puissances de , 10-2, 10-3, 10-4 Permet de représenter les fractions 0,85 = 8 0, ,01

8 8 Représentation des nombres Système de numération positionnel Système binaire: B = 2 S = { 0, 1 } R = Somme de puissances de ,1101 On fait l expansion, comme en base = 11,

9 9 Représentation des nombres Le système décimal est le plus utilisé par les humains Les ordinateurs fonctionnent à l électricité Le courant passe (1) Le courant ne passe pas (0) Et utilisent le binaire (base 2) pour simplifier les calculs On utilise aussi les bases 8 (octal) et 16 (hexadécimal) Pour simplifier la notation des nombres binaires

10 10 Représentation des nombres Décimal Binaire Octal Hexadécimal A B C D E F

11 11 Représentation des nombres Il est utile de connaître le plus grand entier positif qu un système de numération positionnel peut représenter. La valeur maximale exprimée dans une base «B» à l aide de «n» symboles est : Max (B, n) = B n - 1

12 12 CONVERSION DE NOMBRES

13 13 Il y a 6 cas de figures possibles pour convertir un nombre d une base à une autre X B Y 10 Y 10 X B X B1 Y B2 X B Y B m X B m Y B X B m Y B n

14 14 X B Y 10 X B (s n s 1 s 0,s -1 s -m ) B Y 10 = n i= m s i B i = = =

15 15 X B Y 10 Schéma de Horner Y 10 = n i= m s i B i s i = d i + d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d 0 d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B d 2 B 1 + d 1 B 1

16 16 Y 10 X B On transforme la partie entière, ensuite la partie fractionnaire On peut se baser sur le schéma de Horner pour trouver l algorithme X B = s n s 1 s 0 B

17 17 Y 10 X B d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d 0 a Y 10 = a B + d 0 Divisions (entières) successives et restes (modulo)

18 18 Y 10 X B avec Y 10 = et B = 3 d n B + d n 1 B + d n 2 B + + d 2 B + d 1 B + d = a 3 + d = 104 reste = 34 reste = 11 reste = 3 reste = 1 reste = 0 reste =

19 19 Y 10 X B d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B d 2 B 1 + d 1 B 1 a Y 10 = a B Multiplications successives, avec les parties fractionnaires

20 20 Y 10 X B avec Y 10 = 0, et B = 3 d m B 1 + d m+1 B 1 + d m+2 B d 2 B 1 + d 1 B 1 0, = a 3 1 0,314 3 = 0,942 0,942 3 = 2,826 0,826 3 = 2,478 0,478 3 = 1,434 0,434 3 = 1,302 0,302 3 = 0,906 0, = 0,

21 21 X B1 Y B2 On fait l expansion du nombre en base B 1 en effectuant les calculs dans la base B 2 s i B1 = d i B2 B 1 = B 1 B2 Y B2 = n i= m i d i B 1 B2

22 22 X B1 Y B2 Il faut connaître l arithmétique de chaque base =? =? 5

23 23 X B1 Y B2 avec X = et Y 5 9 = 14 5 ; 1 9 = 1 5 ; 6 9 = 11 5 ; 5 9 = = 165 9

24 24 X B1 Y B2 Une autre méthode, plus longue, est de passer par une base intermédiaire (habituellement, la base 10) On fait l expansion du nombre en base B 1 vers la base 10 On fait les divisions et les multiplications successives vers la base B 2 à partir de la base 10

25 25 X B Y B m On fait des groupes de «m» symboles On part de la droite pour la partie entière On part de la gauche pour la partie fractionnaire On complète les groupes qui ont moins de «m» symboles par des zéros On remplace les groupes par la valeur dans la base B m On appelle cette technique le groupement.

26 26 X B Y B m avec X B = , et Y B m = Y , D, A8 16

27 27 X B m Y B On remplace chaque symbole de la base B m par la suite de symboles équivalents dans la base B. On appelle cette technique l éclatement.

28 28 X B m Y B avec X B m = 6A, C 16 et Y B = Y 2 6A, C , ,11 2 = 6A, C 16

29 29 X B m Y B n Chaque symbole de la base B m est éclaté en «m» symboles de la base B. Chaque symbole de la base B est ensuite regroupé en groupes de «n» symboles et transformés en symbole de la base B n

30 30 X B m Y B n avec X B m = 4F, A3 16 et Y 8 4F, A , , ,506 8

31 31 Nomenclature de nombres Les préfixes du système décimal + Puissance de 10 - Deca 1 Deci Hecto 2 Centi Kilo 3 Milli Mega 6 Micro Giga 9 Nano Tera 12 Pico Peta 15 Femto Exa 18 Atto Zetta 21 Zepto Yotta 24 Yocto

32 32 Nomenclature de nombres Les préfixes des octets (groupe de 8 bits) en informatique Puissance de 2 Kilo 10 Mega 20 Giga 30 Tera 40 Peta 50 Exa 60

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