Année Universitaire 2015/2016 Session 1 d automne

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1 Année Univeritaire 2015/201 Seion 1 d automne Parcour / Étape : IM300 & IN301 Code UE : J1IN3W01 Épreuve : Algorithmique et tructure de donnée 1 Date : Mardi 5 janvier 201 Heure : heure Durée : 1 heure 30 Document : non autorié Épreuve de M. Alain Griffault Collège Science et Technologie SUJET + CORRIGE Avertiement La plupart de quetion ont indépendante. L epace laié pour le répone et uffiant (auf i vou utiliez ce feuille comme brouillon, ce qui et fortement déconeillé). Le ujet et an doute un peu long. La note maximale et de 23/20 20/20. Quetion Point Score Inertion dan le ABR, Ta et AVL 4 L évaluation d expreion 7 Le arbre rouge et noir 12 Total: 23 Exercice 1 : Inertion dan le ABR, Ta et AVL (4 point) Soit la lite de clé L = (,, 2,, 2, 3). Pour chacune de tructure, en partant d un arbre binaire vide, vou devez deiner l arbre aprè chacune de inertion de élément de la lite L. (a) (1 point) Arbre binaire de recherche (ABR) : inertion de L = (,, 2,, 2, 3)

2 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 (b) (1 1 / 2 point) Ta min : inertion de L = (,, 2,, 2, 3) (c) (1 1 / 2 point) AVL : inertion de L = (,, 2,, 2, 3) Page 2 ur 12

3 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 Exercice 2 : L évaluation d expreion (7 point) L objectif et l écriture d un algorithme qui évalue une expreion arithmétique bien parenthéée à l aide d une pile. Informellement, le expreion arithmétique conidérée n utilient que l addition, notée +, la outraction, notée et la multiplication, notée. Par exemple : Expreion Bien parenthéée Évaluation Explication 35 Vrai 35 (5 + 15) Vrai 20 (((5 + 15) ( 3 + )) 5) Vrai 55 (35) Faux - Trop parenthéée Faux - Pa uffiamment parenthéée ( ) Faux - Pa uffiamment parenthéée ( ) Faux - Pa uffiamment parenthéée (5 + c) Faux - c n et pa un nombre (5 + 15( Faux - Mauvai parenthéage Le expreion ont tockée dan de tableaux d objet. Aini (((5 + 15) ( 3 + )) 5) et repréentée par : indice valeur ( ( ( ) ( -3 + ) ) - 5 ) Définition : Une expreion arithmétique E et bien parenthéée i et eulement i : Un nombre E = ou bien (E1 op E2) avec E1 et E2 deux expreion bien parenthéée et op un opérateur arithmétique binaire. Pour évaluer une expreion bien parenthéée à l aide d une pile, le principe ont le uivant : Le tableau contenant l expreion et parcouru itérativement. En fonction du type de chaque élément, le traitement diffère. Le opérateur et le nombre ont tocké dan la pile. Le parenthèe ouvrante ont ignorée. Le parenthèe fermante déclenchent l unique calcul poible, et tocke le réultat de ce calcul dan la pile. À la fin de l itérative : Si l expreion et une expreion bien parenthéée, le réultat et l unique objet contenu dan la pile. La réciproque n et pa vraie. Avec l aide de compteur, il et poible de déterminer lor de l évaluation i l expreion et bien parenthèée. Ce point ne era pa traité dan cet exercice. (a) (1 1 / 2 point) Voici par exemple, le état de la pile lor de l exécution de l algorithme pour (3 (4 + )) x x x x x Deiner le état de la pile lor de l exécution de l algorithme pour l expreion ((3 4) ). 4 x x Page 3 ur 12

4 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 (b) (4 1 / 2 point) Pour cette quetion, vou pourrez utilier le fonction uivante, de complexité Θ : fonction etnombre(val v:objet): booleen; // Retourne Vrai i v et un nombre, Faux inon fonction etparentheeouvrante(val v:objet){retourne v== ( ; fonction etparentheefermante(val v:objet){retourne v== ) ; fonction etoperateur(val v:objet){retourne v== + ou v== - ou v== x ; fonction etaddition(val v:objet){retourne v== + ; fonction etsoutraction(val v:objet){retourne v== - ; fonction etmultiplication(val v:objet){retourne v== x ; aini que le primitive liée à la tructure de pile. fonction valeur(val P:Pile d objet): objet; fonction pilevide(val P:Pile d objet): booleen; fonction creerpile(ref P:Pile d objet): vide; fonction empiler(ref P:Pile d objet, val x:objet): vide; fonction depiler (ref P:Pile d objet): vide; fonction detruirepile(ref P:Pile d objet):vide; Écrire une fonction evaluer(val T:Tableau d objet): entier qui utilie une pile pour évaluer une expreion arithmétique contenue dan un tableau. Vou ferez l hypothèe que le tableau paé en paramètre contient une expreion bien parenthèée. f o n c t i o n e v a l u e r ( v a l T: Tableau d o b j e t ) : e n t i e r ; // Hypothee : T e t bien p a r e n t h e e e var P : P i l e d o b j e t ; op1, op2, r e : e n t i e r ; op : c a r a c t e r e ; c r e e r P i l e (P ) ; pour i de 0 a longueur (T) 1 f a i r e { i etnombre (T[ i ] ) ou etoperateur (T[ i ] ) a l o r e m p i l e r (P,T[ i ] ) ; inon i etparentheefermante (T[ i ] ) a l o r { op2 = v a l e u r (P ) ; op = v a l e u r (P ) ; op1 = v a l e u r (P ) ; i e t A d d i t i o n ( op ) a l o r e m p i l e r ( op1 + op2 ) ; inon i e t S o u t r a c t i o n ( op ) a l o r e m p i l e r ( op1 op2 ) ; inon // op e t une m u l t i p l i c a t i o n e m p i l e r ( op1 op2 ) ; r e = v a l e u r (P ) ; r e t o u r n e r r e ; Une verion (non demandée) qui contrôle le fait que l expreion et bien parenthèée. f o n c t i o n e v a l u e r ( v a l T: Tableau d o b j e t ) : e n t i e r ; var P : P i l e d o b j e t ; op1, op2, re, cpt po, c p t p f, cpt op : e n t i e r ; op : c a r a c t e r e ; c r e e r P i l e (P ) ; cpt po = 0 ; cpt op = 0 ; c p t p f = 0 ; pour i de 0 a longueur (T) 1 f a i r e { Page 4 ur 12

5 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 i etparentheeouvrante (T[ i ] ) a l o r cpt po += 1 ; inon i etnombre (T[ i ] ) a l o r e m p i l e r (P,T[ i ] ) ; inon i etoperateur (T[ i ] ) a l o r { cpt op += 1 ; e m p i l e r (P,T[ i ] ) ; inon i etparentheefermante (T[ i ] ) a l o r { c p t p f += 1 ; op2 = v a l e u r (P ) ; op = v a l e u r (P ) ; op1 = v a l e u r (P ) ; i e t A d d i t i o n ( op ) a l o r e m p i l e r ( op1 + op2 ) ; inon i e t S o u t r a c t i o n ( op ) a l o r e m p i l e r ( op1 op2 ) ; inon i e t M u l t i p l i c a t i o n ( op ) a l o r e m p i l e r ( op1 op2 ) ; inon r e t o u r n e r NULL; inon // l o b j e t ne f a i t pa p a r t i e d une e x p r e i o n bien p a r e n t h e e e r e t o u r n e r NULL; // La p a r t i e p r e f i x e d une e x p r e i o n d o i t v e r i f i e r l a r e l a t i o n u i v a n t e i non ( ( cpt po >= cpt op ) et ( cpt op >= c p t p f ) ) a l o r r e t o u r n e r NULL; i cpt po == c p t p f e t etnombre ( v a l e u r (P) ) a l o r { r e = v a l e u r (P ) ; i p i l e V i d e (P) a l o r r e t o u r n e r r e ; d e t r u i r e P i l e (P ) ; r e t o u r n e r NULL; (c) (1 point) Donner et jutifier la complexité de votre fonction evaluer(val T:Tableau d objet): entier. Une imple boucle pour qui n utilie que de fonction de complexité Θ. La complexité et donc en Θ(n) où n et la longueur du tableau, et donc de l expreion. Page 5 ur 12

6 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 Exercice 3 : Le arbre rouge et noir (12 point) Un arbre rouge et noir et un ABR comportant un bit de tockage upplémentaire par noeud : a couleur, qui peut valoir oit Rouge, oit Noir. Cette couleur permet, comme le facteur d équilibrage d un AVL, que l arbre oit approximativemet équilibré. Définition : Un ABR et un arbre rouge et noir il atifait le propriété uivante : 1. Chaque noeud et oit Rouge, oit Noir. 2. Chaque feuille NIL et Noir. 3. Si un noeud et Rouge, alor e deux fil ont Noir. 4. Chaque chemin imple reliant un noeud q à une feuille decendante contient le même nombre de noeud Noir. Ce nombre et appelé hauteur noire du noeud et et noté hn(q). Par extenion, pour un arbre rouge et noir A de racine r, la hauteur noire de A notée hn(a) et égale à hn(r). Dan toute le figure d arbre rouge et noir, le ommet Noir ont repréenté par de carré, le ommet Rouge par de cercle, et le ommet indéterminé par de carré aux angle arrondi. Le ommet Nil de couleur Noir ont repréenté par de petit carré. La figure uivante repréente un arbre rouge et noir aprè l inertion de valeur (,, 2,, 2, 3). À chaque noeud, la hauteur noire et préciée entre parenthèe. (2) (a) i. ( 1 / 2 point) Pour chaque noeud q, préciez la valeur hn(q) et jutifiez le fait que l ABR uivant n et pa un arbre rouge et noir. La racine étant Rouge, e fil devraient être Noir. ii. ( 1 / 2 point) Pour chaque noeud q, préciez la valeur hn(q) et jutifiez le fait que l ABR uivant n et pa un arbre rouge et noir. Le chemin depui la racine contiennent 1 ou 2 noeud Noir. iii. ( 1 / 2 point) Colorez l arbre uivant afin que la hauteur noire de la racine oit 3. (3) (2) (2) La racine et Rouge ou Noir. Page ur 12

7 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 iv. ( 1 / 2 point) Completez l unique coloriage poible de l arbre uivant en préciant le hauteur noire de chaque noeud. (2) (2) (b) L objectif de quetion uivante et de montrer qu un arbre rouge et noir et approximativement équilibré. Soit r la racine d un arbre rouge et noir A, et hn(a) = hn(r) la hauteur noire de A. i. ( 1 / 2 point) Donnez un minorant de la hauteur de A notée h(a) en fonction de hn(a). h(a) hn(a) ii. ( 1 / 2 point) Déduire de la propriété : Si un noeud et rouge, alor e deux fil ont Noir. un majorant de la hauteur de A notée h(a) en fonction de hn(a). Entre deux noeud Noir, il y a au plu un noeud Rouge. On en déduit : h(a) 2 hn(a) iii. ( 1 / 2 point) Rappel : Un arbre parfait complet de hauteur h contient 2 h 1 noeud ; et pour tou le arbre binaire de n noeud, h log 2 (n). En uppoant que l arbre rouge et noir A contienne n noeud, donnez un encadrement de h(a) en fonction de n. Pour tout arbre binaire A contenant n noeud, on a log 2 (n) h(a). Pour tout ARN A contenant n noeud, on a 2 hn(a) n 2 2 hn(a). On en déduit que pour tout ARN : hn(a) log 2 (n) 2 hn(a). pui que pour tout ARN : hn(a) log 2 (n) 2 hn(a) 2 log 2 (n). De deux quetion précédente, on déduit : hn(a) h(a) 2 hn(a) 2 log 2 (n). Concluion : log 2 (n) h(a) 2 log 2 (n) iv. ( 1 / 2 point) Un arbre rouge et noir étant un ABR, la recherche d un élément dan un arbre rouge et noir utilie l algorithme de recherche dan un ABR. Donnez la complexité dan le pire de ca, de l algorithme de reherche d un élément dan un arbre rouge et noir A contenant n noeud. Le pire de ca correpond à une recherche infructueue, car il faut parcourir une branche depui la racine juqu à une feuille. Pour un ARN, il va donc falloir dan le pire de ca parcourir une branche de longueur h(a), qui d aprè la quetion précédente vérifie log 2 (n) h(a) 2 log 2 (n). La complexité et donc en O(ln(n)) ou bien en O(log 2 (n)). C et équivalent. Page 7 ur 12

8 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 (c) L objectif de quetion uivante et d écrire la fonction d inertion dan un arbre rouge et noir. Comme pour le AVL, l inertion dan un arbre rouge et noir e déroule en deux phae : la première inère le nouvel élément en utiliant la fonction d inertion dan un ABR ; pui la econde phae maintient le propriété de couleur de noeud pour maintenir approximativement l équilibre de l arbre. Comme dan un AVL, pour maintenir le propriété, l algorithme remonte du ommet ajouté ver la racine. L inertion dan un arbre rouge et noir utilie le même fonction de rotation droite et gauche que l inertion dan un AVL. y x x γ Rotation Droite(T,y) y β Rotation Gauche(T,x) Le quetion précédente ont montré que pluieur coloriage peuvent être aocié à un même arbre rouge et noir. De choix ont donc néceaire pour écrire la fonction d inertion. Dan cet exercice, le voici : 1. La feuille ajoutée prend initialement la couleur Rouge. 2. La racine de l arbre poède toujour la couleur Noir. Dan la uite de l exercice, vou uppoerez que vou dipoez de la tructure uivante. type cellulearn = t r u c t u r e { i n f o : o b j e t ; gauche, d r o i t, pere : ommet ; c o u l e u r : mot ; // Rouge ou Noir ; type ommet=ˆcellulearn ; f o n c t i o n getcouleur ( v a l : ommet ) : mot ; i == NIL a l o r r e t o u r n e Noir ; inon r e t o u r n e ˆ. c o u l e u r ; f o n c t i o n etcouleur ( r e f : ommet, v a l c : mot ) : vide ; ˆ. c o u l e u r = c ; et de toute le primitive de ABR (fildroit(), filgauche(), pere(),...) pour pouvoir écrire la fonction d inertion. f o n c t i o n ARN Inerer ( r e f r : ommet, v a l v : o b j e t ) : vide ; var : ommet ; = ABR Inerer ( r, v ) ; // e t l e ommet qui c o n t i e n t l a n o u v e l l e v a l e u r v etcouleur (, Rouge ) ; β γ. etcouleur ( r, Noir ) ; // La r a c i n e e t t o u j o u r c o l o r i e e en Noir. Aprè avoir colorié Rouge le ommet ajouté, l arbre vérifie le propriété 1, 2 et 4 de arbre rouge et noir. Seule la propriété 3 Si un noeud et Rouge, alor e deux fil ont Noir. n et peut-être pa vérifiée. L algorithme va maintenir le propriété vraie, et faire en orte que la propriété 3 finie par le devenir. Nou allon ditinguer quatre ca. i. (1 point) Ca 0 : et la racine ou le père du ommet et de couleur Noir. f o n c t i o n etca0 ( v a l : ommet ) : boolean ; // r e t o u r n e v r a i e t l a r a c i n e ou i l e pere de e t Noir, faux inon. r e t o u r n e r == r ou getcouleur ( pere ( ) ) == Noir ; Page 8 ur 12

9 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 Expliquer pourquoi i etca0() retourne Vrai, l arbre et rouge et noir à la fin de l algorithme. La contrapoée de la propriété 3 et Si au moin un fil et Rouge, alor le père et Noir. Le ca 0 atifait donc la propriété 3 entre et p. L arbre et donc un arbre rouge et noir. Dan le dein qui uivent, de couleur Rouge et un ou arbre rouge et noir, qui contient le ommet ajouté ( et oit le ommet ajouté, oit un de e ancètre lor de l itération du proceu), p et le père de, gp et le grand-père de et o l oncle de. Seule la propriété 3 entre et p n et pa vérifiée. ii. (1 1 / 2 point) Ca 1 : Le père du ommet ajouté et de couleur Rouge, et l oncle (qui exite car le père Rouge ne peut pa être la racine qui et Noir) du ommet ajouté et de couleur Rouge. Le père de ne peut pa reter rouge. Une olution conite à appliquer la tranformation uivante qui repoue le problème ver la racine. gp gp o p o p Ca 1 San oublier le ca ymétrique du ca deiné, complétez le code de deux fonction uivante : f o n c t i o n etca1 ( v a l : ommet ) : boolean ; // r e t o u r n e v r a i i l o n c l e de e t Rouge, faux inon. // on a i t que pere ( ) e t Rouge. // l o n c l e e t Rouge i l e deux f r e r e ont de l a meme c o u l e u r r e t o u r n e r getcouleur ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ) ) == getcouleur ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ) ) ; f o n c t i o n t r a i t e r C a 1 ( v a l : ommet ) : ommet ; // C o l o r i e pere, o n c l e e t grand pere, p u i r e t o u r n e l e grand pere etcouleur ( pere ( pere ( ) ), Rouge ) ; etcouleur ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ), Noir ) ; etcouleur ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ), Noir ) ; r e t o u r n e r pere ( pere ( ) ) ; Page 9 ur 12

10 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 iii. (1 1 / 2 point) Ca 2 : Le père du ommet ajouté et de couleur Rouge, et l oncle (qui exite car le père Rouge ne peut pa être la racine qui et Noir) du ommet ajouté et de couleur Noir. De plu le lien (fil gauche ou droit) entre et pere() et le même que celui entre pere() et pere(pere()). Le père de ne peut pa reter rouge. Une olution conite à appliquer la tranformation uivante : gp gp p o p o coloriage rotation p gp o San oublier le ca ymétrique du ca deiné, complétez le code de deux fonction uivante qui réoud le problème de la propriété 3. f o n c t i o n etca2 ( v a l : ommet ) : boolean ; // r e t o u r n e v r a i i l o n c l e de e t Noir e t // i l e r e l a t i o n (, pere ( ) ) e t ( pere ( ), pere ( pere ( ) ) ) ont i d e n t i q u e, // faux inon. // on a i t que pere ( ) e t Rouge. // l o n c l e e t Noir i l e deux f r e r e ne ont pa de l a meme c o u l e u r r e t o u r n e r ( non ( getcouleur ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ) ) == getcouleur ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ) ) ) ) e t ( == f i l D r o i t ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ) ) ou == f i l G a u c h e ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ) ) ) ; f o n c t i o n t r a i t e r C a 2 ( v a l : ommet ) : ommet ; // C o l o r i e pere e t grand pere, une r o t a t i o n p u i r e t o u r n e etcouleur ( pere ( ), Noir ) ; etcouleur ( pere ( pere ( ) ), Rouge ) ; i == f i l G a u c h e ( pere ( ) ) a l o r r o t a t i o n D r o i t e ( pere ( pere ( ) ) ; inon rotationgauche ( pere ( pere ( ) ) ; r e t o u r n e r ; Page 10 ur 12

11 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 iv. (1 1 / 2 point) Ca 3 : Le père du ommet ajouté et de couleur Rouge, et l oncle (qui exite car le père Rouge ne peut pa être la racine qui et Noir) du ommet ajouté et de couleur Noir. De plu le lien (fil gauche ou droit) entre et pere() et différent de celui entre pere() et pere(pere()). Le père de ne peut pa reter rouge. Une olution conite à appliquer la tranformation uivante : gp gp p o p o coloriage rotation gp o p p gp rotation o San oublier le ca ymétrique du ca deiné, complétez le code de deux fonction uivante qui réoud le problème de la propriété 3. f o n c t i o n etca3 ( v a l : ommet ) : boolean ; // r e t o u r n e v r a i i l o n c l e de e t Noir e t // i l e r e l a t i o n (, pere ( ) ) e t ( pere ( ), pere ( pere ( ) ) ) ont d i f f e r e n t e, // faux inon. // on a i t que pere ( ) e t Rouge. // l o n c l e e t Noir i l e deux f r e r e ne ont pa de l a meme c o u l e u r r e t o u r n e r ( non ( getcouleur ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ) ) == getcouleur ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ) ) ) ) e t ( non ( == f i l D r o i t ( f i l D r o i t ( pere ( pere ( ) ) ) ) ou == f i l G a u c h e ( f i l G a u c h e ( pere ( pere ( ) ) ) ) ) ) ; f o n c t i o n t r a i t e r C a 3 ( v a l : ommet ) : ommet ; // C o l o r i e e t grand pere, deux r o t a t i o n p u i r e t o u r n e l e pere de var p : ommet ; p = pere ( ) ; pp = pere ( p ) ; etcouleur (, Noir ) ; etcouleur ( pp, Rouge ) ; i == f i l D r o i t ( p ) a l o r { rotationgauche ( p ) ; r o t a t i o n D r o i t e ( pp ) ; inon { r o t a t i o n D r o i t e ( p ) ; rotationgauche ( pp ) ; r e t o u r n e r p ; Page ur 12

12 UE J1IN3W01 : Algorithmique et tructure de donnée 1 Seion 1, Année 2015/201 v. (1 1 / 2 point) Itération du proceu : Le ca 2 et 3 ne néceitent pa de continuer la remontée ver la racine. Le ca 1 qui change la couleur du grand-père de peut engendrer d autre modification. Le critère d arrêt de l itération correpond oit à la racine, oit à un père Noir, c et à dire au ca 0. Complétez le code de la fonction uivante : f o n c t i o n ARN Inerer ( r e f r : ommet, v a l v : o b j e t ) : vide ; var : ommet ; = ABR Inerer ( r, v ) ; // e t l e ommet qui c o n t i e n t l a n o u v e l l e v a l e u r v etcouleur (, Rouge ) ; tant que non etca0 ( ) f a i r e { i etca1 ( ) a l o r = t r a i t e r C a 1 ( ) ; inon i etca2 ( ) a l o r = t r a i t e r C a 2 ( ) ; inon // c e t l e ca 3 = t r a i t e r C a 3 ( ) ; etcouleur ( r, Noir ) ; // La r a c i n e e t t o u j o u r c o l o r i e e en Noir. vi. (1 point) Donnez la complexité dan le pire de ca de votre fonction ARN_inérer. O(ln(n)) ou bien O(log 2 (n)). C et équivalent. Page 12 ur 12

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