ISEL - Année 1. Mathématiques. Fonctions exp, ln et puissance - Rappel. e 2 e. ; (e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 ; e ln 1 3 ; ln( ln ln 2 3

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Marie-Thérèse Cousineau
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1 ISEL - Année Mathématiques Fonctions exp, ln et puissance - Rappel Simplication. Simplier les expressions suivantes: 8; 3 a 3 a 7 ; e. e; e e ; (e x + e x ) (e x e x ) ; e ln 3 ; ln( e) + ln( e ). Exprimer en fonction de ln et ln le nombre: ln + ln 3 3. La liste suivante comporte un intrus, lequel? Résolution d'équations. Résoudre les équations suivantes: ln + ln A = ln( e 3 + e ln 3 ); B = ln e; C = e ln ; D = 3 ln eln eln 3+ln e 3x = ; (e x e x ) = 0; x+3 = 3 x+ ; x = x; x + x = 3. Résoudre l'équation suivante après avoir déterminé l'ensemble de dénition de l'expression: 3 Limites, dérivées. Déterminer les ites suivantes: ln(x + ) + ln(x + 3) = ln(x + 7) ln x x e x e ; x 0 e x ; x ln( + x) x 0 x ; x ( e) + ln x ln x + ; (x ln x); e x e x + x ;. Après avoir déni l'intervalle de dérivabilité, dériver les fonctions suivantes: e x +x ; e e x ; ln(e x 3); ln( x x + ); x ln x x; xx ; (3x + ) 3x + ; (x + ) 0, Etude de fonctions. Soit la fonction f dénie par f(x) = ex e x + (a) Etude de f. i. Montrer que f est dénie sur IR et qu'elle est impaire. ii. Etudier la ite de f en. En déduire f(x). iii. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

2 (b) Etude de sa réciproque. i. Montrer que f réalise une bijection de IR sur ], [. ii. Soit y ], [. Si y = f(x), exprimer x en fonction de y. Expliciter alors la fonction réciproque g de f. iii. Donner le tableau de variations de g. (c) Courbe représentative. Tracer les courbes C f et C g dans le même repère en précisant les tangentes au point O(0, 0).. Une fonction logistique. On appelle ainsi une fonction du type: f : t x 0 + e a bt où x 0, a et b sont des réels positifs donnés. Nous proposons de prendre x 0 = 0, a = et b = 0.. (a) Donner le domaine de dénition de f et étudier ses ites. (b) Calculer sa dérivée et en déduire son sens de variation. (c) Tracer la courbe représentative de f. (d) Montrer que cette courbe admet le point Ω(, ) comme centre de symétrie. (e) Vérier que f satisfait à la relation f = f(0 f) 0 C'est en 836 que Pierre Verhulst introduit les fonctions logistiques pour aner le modèle exponentiel de Malthus décrivant l'évolution d'une population: après une phase exponentielle au début, la courbe s'inéchit (au point d'inexion) et se rapproche d'un "plafond". En économie, ces fonctions modélisent aussi la demande d'un certain produit. Correction. Simplication. 8 = (8) = (9 ) = ((3 ) ) = 3 = 3 e e = e e 3 a 3 a 7 = a 3 a 7 3 = a = a e. e = e. e = e.+ = e. = e e = e = e 3 = e e (e x + e x ) (e x e x ) = e x e x = e 0 = e ln 3 = e ln(3) = 3 ln( e) + ln( e ) = =

3 . ln + ln ln 3 99 Or 00 = 0 = ( ), donc + ln = ln( ) = ln( 00 ) = ln(00) ln + ln ln + ln = ln(( ) ) = ln( ) = (ln + ln ) (rmq: log + log log 99 + log 00 = log(00) = log(0 ) = ) 3. L'intrus est A car B = C = D =.. Résolution d'équations. On utilise la bijectivité des fonctions exp et ln, ou on fait un changement de variables pour se ramener à une équation du second degré. e 3x = e 3x = e 0 3x = 0 x = 3 L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = { 3 }. (e x e x ) = 0 e x e x = 0 e x = e x x = x x = 0 L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = {0}. x+3 = 3 x+ x 3 = 3 x 3 x 3 x = 3 3 ( ) x = ex ln( 3 ) = e ln( 9 8 ) x ln( 3 ) = ln(9 8 ) x = ln( 9 8 ) ln( 3 ) L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = { ln( 9 8 ) ln( )}. 3 x = x, 0 est solution de cette équation, mais y a-t-il d'autres solutions? Supposons x 0, alors x ( ) x = x x = x = x = x = x = x = or la fonction x x est paire, donc x = ( ) ( ) x = ou x = L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = {0,, }. x + x = 3 x + { X x = 3 + X 3 = 0 X = x > 0 { X + 3X = 0 X = x > 0 Or = > 0, on a solutions réelles: X = > 0 et X = > 0, d'où x = = et x = =. L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = {, }.. Pour que cette expression existe, il faut x + > 0, x + 3 > 0 et x + 7 > 0, d'où x ], + [. Soit x >, donc ln(x+)+ln(x+3) = ln(x+7) ln((x+)(x+3)) = ln(x+7) (x+)(x+3) = x+7 x +3x = 0 Or = > 0, on a solutions réelles: x = > et x = <. L'ensemble des solutions de cette équation est donc S = {}. 3

4 .3 Limites, dérivées.. e x = x 0 x ln x x e x e = ln x ln e = x e x e e e x x 0 x (nombre dérivé) e x = 0 car X = (nombre dérivé) X 0 X ln( + x) ln( + x) ln( + X) = = car = (nombre dérivé) x 0 x x 0 x X 0 X ln x = car x ( e) + ln x + (x ln x) = e x e x + x = +(ln x ) = 3 et x ( e) ln x x( ) = + car x e x + x = + car e x +(ln x + ) = 0+ x ( e) ln x = 0 (croissances comparées) x x e x = 0 + pour x IR, (e x +x ) = (x + )e x +x (croissances comparées) pour x IR, (e e x ) = ( e x ) e e x = 0e x e e x = 0e e x x pour x > ln 3, (ln(e x 3)) = pour x ], [ ], + [, (ln( x x + )) = ex e x 3 (x+) (x ) (x+) x x+ = (x )(x + ) pour x IR +, (x ln x x) = (ln x + ) = ln x (on a une primitive de ln) pour x IR +, (x x ) = (e x ln x ) = (x ln x) e x ln x = (ln x + )x x pour x [ 3, + [, ((3x + ) 3x + ) = ((3x + ) 3 ) = 3 3 (3x + ) 9 = 3x + pour x IR, ((x + ) 0, ) = 0. x (x + ) 0,8 0.x = (x + ) 0,8. Etude de fonctions. Soit la fonction f dénie par f(x) = ex e x + (a) Etude de f. i. f est dénie pour x tel que e x + 0, or pour tout réel x, e x + >, donc D f = IR. Si x D f, x D f et f( x) = e x e x + = ex +e = f(x). x Par conséquent, f est impaire. On peut donc restreindre l'étude de f à IR ou IR +. ii. x e x = 0 donc f =. Par imparité de la fonction, on en déduit + f =. iii. f est dérivable sur IR et x IR, f (x) = ex (e x +) e x (e x ) (e x +) = ex (e x +) > 0 donc f est strictement croissante sur IR. (Tableau variations: f croissante et f =, + f = ; f(0) = 0)

5 (b) Etude de sa réciproque. i. f est continue et strictement croissante sur IR donc f réalise une bijection de IR sur f(ir) =], [. ii. Soit y ], [. y = ex e x + y(ex + ) = (e x ) y + = e x ( y) + y y = ex ln( + y y ) = x La fonction réciproque de f est donc dénie pour tout x ], [ par g(x) = ln( +x). x (rmq: comme x ], [, on a bien +x x > 0) iii. Tableau de variations de g: en étudiant le signe de g (x) = (+x)( x) pour x ], [ on montre que g est croissante sur ], [ et g =, g = + ; g(0) = 0. (rmq: on peut montrer que si f est croissante alors sa réciproque g est aussi croissante) (c) Courbe représentative. Les courbes C f et C g sont symétriques par rapport à la droite y = x. C f admet des asymptotes horizontales d'équation x = et x = en respectivement et +. L'équation de sa tangentes en (0, 0) est y = f (0)(x 0) + f(0) = x. C g admet des asymptotes verticales en et, l'équation de sa tangente en (0, 0) est y = x. (rmq: on a aussi g (0) = ) f (g(0)). Une fonction logistique. f : t (a) D f = IR et f = 0, + f = 0. (b) f est dérivable sur IR et pour tout x IR, 0 + e 0.t f (x) = 0 ( ) ( 0.)e 0.t ( + e 0.t ) = e 0.t ( + e 0.t ) > 0 donc f est strictement croissante sur IR. (c) La courbe représentative de f admet des asymptotes horizontales d'équation y = 0 et y = 0 en respectivement et +, et passe par le point (, ) (cf question suivante). (d) Faisons un changement de repère pour que Ω(, ) devienne le centre. Soit M un point de coordonnées (t, y) dans le repère (0, i, j ), notons (T, Y ) ses coordonnées dans le repère (Ω, i, j ), on a OM = OΩ + ΩM, donc { t = + T y = + Y. Si la fonction f est impaire dans ce nouveau repère (Ω, i, j ), alors le centre de ce repère, c'est-à-dire Ω, est un centre de symétrie de C f. On remarque que si t IR, alors T IR et T IR. De plus 0 M C f y = f(t) Y + = + e Y = 0 e 0.T Y = ( 0.(T +) + e 0.T + e 0.T ) Or T ( e 0.T +e 0.T ) est impaire, donc Ω(, ) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f. (e) On a pour tout réel t: f (t) = e 0.t ( + e 0.t )

6 Or 0 f(t)(0 f(t)) = e 0.t 0( + e 0.t ) = e 0.t ( + e 0.t ) = f (t) par conséquent la relation est vraie. (rmq: cette égalité vériée par f est une équation diérentielle) 6

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