ÉTUDIER DES ONDES STATIONNAIRES SUR UN RESSORT HÉLICOÏDAL TENDU ET UNE CORDE TENDUE.

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Marie-Thérèse Beauséjour
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1 Méaique Osillatios et odes Odes méaiques ÉTUDIER DES ONDES STATIONNAIRES SUR UN RESSORT HÉLICOÏDAL TENDU ET UNE CORDE TENDUE. Géérer des odes statioaires logitudiales sur u ressort hélioïdal et des odes statioaires trasversales sur ue orde. Mesurer les fréquees propres f e fotio du ombre de œuds. Détermier les logueurs d'ode orrespodates λ et la vitesse d'ode. UE157 3/16 UD Fig. 1: Ageemet de mesure pour l'étude d'odes statioaires sur ue orde tedue (à gauhe) et u ressort hélioïdal tedu (droite). NOTIONS DE BASE GENERALES Des odes méaiques apparaisset par exemple sur u ressort hélioïdal tedu ou sur ue orde tedue. Das le as du ressort, o parle d'odes logitudiales, ar la déviatio est parallèle au ses de propagatio. Das le as de la orde e revahe, il s'agit d'odes trasversales. Das les deux as, il se forme des odes statioaires si le support est fixé à l'ue de ses extrémités, ar l'ode iidete et l'ode réfléhie à l'extrémité fixe de même amplitude et de même logueur d'ode se superposet. Si l'autre extrémité est égalemet fixée, les odes e peuvet se propager que si des oditios de résoae sot remplies. Soit (x,t) la déviatio logitudiale / trasversale à l'emplaemet x le log du support au momet t. Das e as, 2 (1) 1( x, t) os(2 f t x) est ue ode siusoïdale se déplaçat vers la droite sur le support. (x,t) Fig. 2: Représetatio pour défiir la déviatio loale (x,t) x 1 / 5

2 UE157 La fréquee f et la logueur d'ode sot orrélées par l'équatio: (2) f : vitesse d'ode Lorsque ette ode veat de la gauhe à x = est réfléhie à ue extrémité fixe, il se forme ue ode se déplaçat à gauhe. 2 (3) 2( x, t) os(2 f t x) Les deux odes se superposet e odes statioaires 2 (4) ( x, t) 2 si(2 f t) si( x) Ces superpositios s'appliquet idépedammet du type d'ode et du support. Si la seode extrémité est égalemet fixée et qu'elle se trouve à x = L, il faut qu'à tous les momets t la oditio de résoae (5) 2 ( L, t) si( L) soit remplie. Il e résulte pour la logueur d'ode 2 L bzw. 2 1 (6a) L 1 L 1 2 ou et selo l'équatio (2) pour la fréquee (6b) f 1 2 L E d'autres termes, la oditio de résoae (5) exige que la logueur L représete très préisémet u multiple etier de la demi-logueur d'ode. La fréquee de résoae doit oveir à ette logueur d'ode, représetat le ombre de œuds d'osillatios. Elle est ulle s'il e se forme qu'u ati-œud sur la omposate fodametale (voir Fig. 3). L à u géérateur de vibratios qu'u géérateur de fotios amèe à émettre des osillatios de faible amplitude et de fréquee réglable f. Cette extrémité peut égalemet être osidérée omme ue extrémité à peu près fixe. LISTE DES APPAREILS 1 Aessoires p. osillatios de ressort 173 (U563) 1 Aessoires pour odes de orde 1854 (U855681) 1 Géérateur de vibratios 171 (U561) 1 Géérateur de fotio FG (U ) ou 1 Géérateur de fotio FG (U ) 1 Dyamomètre de préisio, 2 N 1315 (U233) 1 Déamètre à ruba de pohe, 2 m 1263 (U173) 1 Paire de ordos de séurité, 75m, rouge/bleu (U13816) MONTAGE Odes de ressort hélioïdal Fixer la barre de trépied oudée das le support au dos du géérateur de vibratios. Aroher ue extrémité du ressort hélioïdal das la barre de trépied oudée et fixer la brohe à l'autre extrémité à l'aide de la vis moletée. À l'aide de la brohe, fixer le ressort hélioïdal au géérateur de vibratios pour le tedre. Régler la logueur (effetive) L du ressort hélioïdal (Fig. 4a) à 3 m. Le as éhéat, adapter la positio de la barre de trépied oudée. Braher le géérateur de fotios au géérateur de vibratios. Odes de orde Fig. 3: Odes statioaires = = 1 = 2 Das l'expériee, le support ue orde ou u ressort est fixé à ue extrémité. L'autre extrémité est reliée das u éart Avat la mise e servie, retirer la séurisatio au trasport (vis ave érou) de la plaque de base. Visser la barre de trépied ourte sur la plaque de base. Visser la barre de trépied logue das la barre de trépied ourte. Glisser le dispositif de revoi et le support pour le dyamomètre sur la barre de trépied et les fixer à la barre. Fixer la barre de trépied ave la brohe das le support au dos du géérateur de vibratios. Aroher le dyamomètre au support. Le as éhéat, effetuer au préalable le alibrage du poit zéro. Aroher la orde e aouthou au dyamomètre et la faire passer sous le dispositif de revoi vers le géérateur de vibratios. Veiller à e qu'elle soit si possible parallèle au pla de travail. Faire passer la orde à travers la brohe sur l'exitateur de vibratios du géérateur de vibratios et la barre de trépied ave la brohe. Das u premier temps, fixer la orde ave la vis moletée uiquemet à la barre de trépied ave la brohe. Cet ageemet sert à déharger la tratio trasversale pour la membrae du haut-parleur (Fig. 5). 2 / 5

Tedre la orde à l'aide du dyamomètre (F,6 N) et, ave la vis moletée, la serrer légèremet à la brohe de l'exitateur de vibratios. Braher le géérateur de fotios au géérateur de vibratios.

3 UE157 Fig. 4a: Illustratio de la logueur (effetive) L du ressort hélioïdal tedu. Fig. 4b: Illustratio de la logueur (effetive) L de la orde tedue. Choisir l'éart etre le pied ave le dispositif de revoi et le géérateur de vibratios de maière à e que la logueur (effetive) L de la orde (Fig. 4b) s'élève à 9 m. Tedre la orde à l'aide du dyamomètre (F,6 N) et, ave la vis moletée, la serrer légèremet à la brohe de l'exitateur de vibratios. Braher le géérateur de fotios au géérateur de vibratios. RÉALISATION Mesurer et oter les logueurs effetives L du ressort hélioïdal et de la orde tedue (Fig. 4a, b). Sur le géérateur de fotios, séletioer la forme d'ode «Sius». Régler le régulateur d'amplitude à 5 V (positio 12 h). Augmeter letemet la fréquee tat pour le ressort hélioïdal que pour la orde e pas de,1 Hz e ommeçat par 1 Hz. Former les fréquees de résoae où il e se forme auu œud (ati-œud), où il se forme u œud aisi que deux, trois, quatre et iq œuds, et les oter das les Tab. 1 et 2. Augmeter suessivemet la fore de serrage de la orde à 1, N et 1,4 N. Pour ela, remoter le dyamomètre sur la barre de trépied. Répéter à haque fois la mesure et oter les fréquees de résoae das le Tab. 2. Pour détermier diretemet la masse surfaique de la orde, mesurer la logueur totale L et la masse m de la orde. EXEMPLE DE MESURE Logueur de ressort hélioïdal tedu L: Logueur de orde tedue L:,31 m,9 m Tab. 1: Resoat frequey as a futio of the umber of odes for waves alog a oil sprig f / Hz 7,7 1 15,4 2 23, 3 3,6 4 38,6 5 45,7 Tab. 2: Fréquee de résoae e fotio du ombre de œuds pour les odes de orde à différetes fores de serrage. f / Hz F=,6 N F= 1, N F= 1,4 N 7,9 9,8 12,1 1 15,7 19,6 24, 2 23,4 29,4 35,7 3 3,9 39,2 47,3 4 39,4 49,5 59,2 5 47,5 58,7 71,7 Logueur totale de orde L : Masse de orde m : 1,5 m 3,3 g Fig. 5: Illustratio de la déharge de tratio trasversale de la orde tedue. 3 / 5

4 UE157 ÉVALUATION Détermiatio de la vitesse d'ode Si l'o applique la fréquee de résoae par rapport au ombre de œuds, les poits de mesure, selo l'équatio (6b), se situet sur ue droite de la pete (7) 2L. 2L La logueur L, état oue, o peut alors aluler la vitesse d'ode. Représeter graphiquemet les fréquees de résoae f pour les odes du ressort hélioïdal (Tab. 1) et les odes de orde (Tab. 2) par rapport au ombre de œuds et adapter à haque fois des droites (Fig. 6, Fig. 7). À partir des petes de droites, détermier les vitesses d'odes et les oter das les Tab. 3 (odes de ressort hélioïdal) et 4 (odes de orde). f / Hz 5 Tab. 3: Pete de la droite adaptée et vitesse d'ode qui e résulte pour les odes du ressort hélioïdal, logueur du ressort hélioïdal (tedu) L =,31 m. / Hz / m/s 7,6 4,7 Tab. 4: Pete des droites adaptées, vitesses d'odes qui e résultet et arrés de elles-i pour les odes de orde ave différetes fores de serrage, logueur de la orde (tedue) L =,9 m. F / N / Hz / m/s 2 / m 2 /s 2,6 7,9 14,2 22 1, 9,8 17,6 31 1,4 11,9 21, Fig. 6: Fréquee de résoae e fotio du ombre de œuds pour les odes du ressort hélioïdal f / Hz Fig. 7: Fréquee de résoae e fotio du ombre de œuds pour les odes de orde ave les fores de serrage F =,6 N (bleu), F = 1, N (vert) et F = 1,4 N (rouge). Détermiatio des logueurs d'odes orrespodat aux fréquees de résoae f Caluler les logueurs d'ode ue fois à partir des logueurs L et du ombre de œuds et ue autre fois à partir des fréquees de résoae f et des vitesses d'odes pour les odes du ressort hélioïdal (Tab. 1, Tab. 3) et les odes de orde (Tab. 2, Tab. 4) selo les équatios (6a) et (2) et les oter das les Tab. 5 et 6. Tab. 5: Logueur d'ode e fotio du ombre de œuds pour les odes du ressort hélioïdal, logueur du ressort hélioïdal (tedu) L =,31 m. L 2 1 f,62 m,62 m 1,31 m,31 m 2,21 m,21 m 3,16 m,16 m 4,12 m,12 m 5,1 m,1 m 4 / 5

5 UE157 Tab. 6: Logueur d'ode e fotio du ombre de œuds pour les odes de la orde, logueur de la orde (tedue) L =,9 m. L 2 1 f F=,6 N F= 1, N F= 1,4 N 1,8 m 1,8 m 1,8 m 1,77 m 1,9 m,9 m,9 m,89 m 2,6 m,61 m,6 m,6 m 3,45 m,46 m,45 m,45 m 4,36 m,36 m,36 m,36 m 5,3 m.3 m,3 m.3 m Comme o pouvait s'y attedre, les logueurs d'ode orrespodet très bie. 2 / m 2 /s F / N Fig. 8: Carré de la vitesse d'ode 2 des odes de orde e fotio de F. Détermiatio de la masse surfaique de la orde À paramètres équivalets, la vitesse d'ode déped de la fore de serrage F, omme le motret la Fig. 7 et le Tab. 4 pour les odes de la orde. Das e as : (8) F 2 1 F. µ µ F : Fore de serrage : masse surfaique Caluler les arrés des vitesses d'odes 2, les oter das le Tab. 4, les représeter graphiquemet par rapport à la fore de serrage F et adapter ue droite (Fig. 8). À partir de la pete de la droite, utiliser l'équatio (8) pour détermier la masse surfaique de la orde e format ue valeur iverse. (9) µ 1 kg g,31 3,1 m m m. 323 kg Détermier la masse surfaique diretemet à partir de la logueur mesurée et de la masse d'u segmet de orde. m 3,3 g g (1) µ 3,14. L 1,5 m m Les valeurs pour les masses surfaiques orrespodet à 1 % près. 3B Sietifi GmbH, Rudorffweg 8, 2131 Hamburg, Allemage, Copyright 216 3B Sietifi GmbH

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