Calcul approché d intégrales

Transcription

1 Uversté Clude Berrd Lyo I Agrégto tere de Mthémtques : Orl Aée 0 0 Clcul pproché d tégrles I Voc ue verso rdcle de l leço Pour ue présetto plus clssque, voc l orgl Éocés Défto des méthodes ) Cotexte et but Sot f ue focto cotue sur u tervlle [, b] de R, vec < b Plutôt que de so tégrle, o cherche ue vleur pprochée de l vleur moyee de f b) Subdvsos Pour N, o pose : O remrque u pssge que l o : I b {0,, }, {0,, }, x () f(t) dt + b x () + x() b et x () x () Lorsque est fxé ss mbguïté, o remplcer x () pr x Remrque Ds cette leço, o s ppue toujours sur ue subdvso régulère de l tervlle d tégrto D utres méthodes utlset d utres subdvsos, dot o e prler plus : subdvso létore pour l méthode dte Mote-Crlo ; subdvso dot les pots s ccumulet ux bords de l tervlle pour l méthode de qudrture de Guss vor CAPES 000 c) Prcpe des méthodes O présete cq méthodes désgées pr ue lettre mjuscule L méthode X cosste à défr ue sute (X ) N dot l lmte est I L dée de chcue des méthodes cosste à remplcer, sur chque tervlle [x, x + ], l focto f pr ue focto smple, plus précsémet ffe pr morceux ou polyomle pr morceux, dot o clcule explctemet l tégrle Grâce à cette dée, o trouve pour chque N ue fmlle de coeffcets p () (0 ) ou p () j (0 j ) (p comme pods), et o déft : X 0 p () f(x () ) ou X j0 p () j f(x () j ) Remrque Pour que l formule sot excte (X I) s f est costte, l fut mposer : 0 p (), ou j0 p () j As, ue méthode est ue moyee podérée des vleurs de f ux pots de l subdvso

2 d) Défto précse des méthodes Voc les pods (p () ) ssocés ux dfféretes méthodes subdvsos rectgles à guche rectgles à drote R (g) x () 0 x () x () x () x () x () x () 0 x () x () R (d) 0 trpèzes T T 4 pot méd M Smpso S 6 x () x () x () Exemple Voc commet lre ce tbleu L sute de l méthode des trpèzes est défe pr : T f(x() 0 ) + f(x() ) + f(x() ) O remrque que le clcul de T + près celu de T demde le clcul de ouvelles vleurs de l focto f ; pr comprso, le clcul de T demde vleurs supplémetres de l focto, ms le g de précso obteu e psst de T à T est be melleur (vor c-dessous) E prtque, o clculer doc e géérl des vleurs de l forme T k Remrque O vot fclemet les formules : T R(g) + R (d), S 4T T Le le etre S et T ser u peu explqué plus bs Mjorto de l erreur T + M Remrque Pourquo dot-o mjorer l erreur? Eh be, j ds m boîte à outls ue méthode très rpde pour estmer l vleur moyee d ue focto : c est C est très rpde, ms ss doute peu précs À quel pot les méthodes précédetes sot-elles melleures? C est l mjorto de l erreur qu le dt À chque méthode est ssocé u eter d, de sorte que l méthode est excte (e X I) pour ue focto polyômle de degré d (pr morceux, e sur chque tervllee [x (), x () + ]) et pour ue focto ssez régulère, l erreur X I est mjorée pr C/ d+, où C est ue costte qu e déped que de f Pour le vor, o commece pr trvller sur u tervlle [x (), x () + ], ou, ce qu revet u même ux ottos près, o commece pr trvller vec sur l tervlle [, b], pus o ft l somme des erreurs commses sur chque tervlle

3 Théorème Les qutre sutes (R (g) ), (R (d) ), (T ), (M ), (S ) coverget vers I Plus précsémet, o les mjortos d erreurs suvtes, pour N : s f est C, lors : I R (g) (b ) f et I R (d) (b ) f ; s f est C, lors : I T (b ) f ; s f est C, lors : I M (b ) f 4 ; s f est C 4, lors : I S (b )4 f (4) Démostrto Ic, o e prouve que l premère prte Pour les sutes (R (g) cel résulte de l défto de l tégrle de Rem Pour (T ), o utlse l relto T (R (g) ), (R (d) ) et (M ), + R (d) )/ pour tout Pour (S ), o utlse l relto S (4T T )/ pour tout U équvlet de l erreur (stuto géérque) S o suppose l focto ecore plus régulère, o peut obter u équvlet, vore u développemet symptotque de l erreur Voc u exemple smple que l o peut peut-être retrouver stu Pour smplfer ss perte réelle de géérlté, o suppose que [, b] [0, ] Proposto Sot f de clsse C de [0, ] ds R telle que f() f(0) Alors : ( ) f R (g) f() f(0) Démostrto L premère étpe cosste à décomposer R (g) foctos costtes : 0 f R (g) k+ k+ k+ 0 f(t) dt k+ f( ) dt comme somme d tégrles de (f(t) f( )) dt : Tylor-Lgrge sute ux yeux! ((t )f ( ) + (t ) ) f (θ t,k ) dt [ (t f xk ) ( ) f ( ) } {{ } u + ] xk+ k+ + k+ (t ) (t ) f (θ t,k ) dt }{{} v f (θ t,k ) dt Ce qu est jol, c est que le terme u ressemble fort à ue somme de Rem pour f : Atteto, o déjà dvsé pr b! u ( ) k f + (f() f(0))

4 II Sous l hypothèse que f() f(0), l vet : u (f() f(0))/ Le terme v se mjore sémet : k+ (t ) v f f dt 6 f 6 O e dédut que v est églgeble devt u, pus l proposto Remrque O vot be que s o pousst le développemet de Tylor u peu plus lo, o obtedrt u équvlet de v, etc Présetto détllée Méthode des rectgles O remplce f pr l vleur qu elle pred sur u bord, guche ou drot, de l tervlle Sur l tervlle [x, x + ], o remplce l tégrle de f pr l re de l u des rectgles c-dessus, ce qu doe les formules : R (g) b 0 (x + x )f(x ) 0 f(x ), R (d) f(x ) Proposto S f est C sur [, b] et µ sup [,b] f, o : b f R (g) b µ (b ), b f R (d) b µ (b ) Pour fre l preuve, o commece pr le cs Pr l églté des ccrossemets fs : x [, b], f(x) f() µ (x ), pus o tègre : b f(x) dx (b )f() b (f(x) f()) dx µ (x ) dx µ (b ) Pour quelcoque, o pplque l églté précédete à chque [x, x + ], pus l églté trgulre : o trouve termes d erreur µ (b ) /, ce qu doe l proposto Exemple Applquos à l focto f : [0, ] R, x /( + x) Pour fxé, o : R (g) L exemple est clssque pour llustrer les sommes de Rem : cette sute coverge vers l O µ, doc l proposto doe meux : R (g) l /() Exemple (v ) O repred le même Sot k N Pour quelle vleur de l méthode des rectgles doe-t-elle ue précso de 0 k? 4

5 Méthode des trpèzes Idée ïve à prtr de l précédete : comme o e vot ps de rso de prvléger l drote pr rpport à l guche, o se dt qu o v fre l moyee des méthodes des rectgles, e pproxmer f pr l moyee des vleurs qu elle pred ux deux extrêmtés O pose doc, pour N : T R(g) + R (d) Iterprétto grphque : l moyee des res des rectgles est uss l re du trpèze délmté pr l focto ffe qu pred les mêmes vleurs que f e x et e x + Cec justfe morlemet que l pproxmto sot be melleure Proposto S f est C sur [, b] et µ sup [,b] f, o : b f T µ (b ) b Preuve (ssez turelle) O commece pr O dot mjorer : f(x) dx f() + f(b) (b ) x x + Ue dée de preuve smple : cosdérer b comme ue vrble, et étuder l focto défe pr : g(x) f(t) dt f() + f(x) (x ) (x [, b]) Il mporte de remrquer que g() 0 L focto g est dérvble et o : g (x) f(x) f (x) f() + f(x) (x ) (x [, b]) Il mporte de remrquer que g () 0 L focto g est dérvble et o : g (x) f (x) f (x) (x ) f (x) f (x) O mjore f, et o coclut pr tégrtos : g (x) g (t) dt f (x) (x ) (x [, b]) µ (t ) dt µ 4 (x ), g(x) g µ (t) dt 4 (t ) dt µ (x ) (x [, b]), et c est f pour! Pour psser à quelcoque, o pplque l églté précédete à chque tervlle [x, x + ] et o somme 5

6 Autre dée de preuve (cf Smpso) Pour, o prt de l expresso : (x )(b x)f () (x) dx, et o motre pr deux tégrtos pr prtes be pesées que c est (à ue costte multplctve près) l erreur f T Exemple O repred le même : f(x) /( + x) s x [0, ] O fclemet : µ, et : ( ) T O peut doc ocer fèremet : T l /(6 ) E ft, o : (T l ) /(6 ) Exemple (v ) O repred le même Sot k N Pour quelle vleur de l méthode des trpèzes doe-t-elle ue précso de 0 k? Méthode du pot méd ou de l tgete L dée c est grphquemet lmpde S, o remplce l courbe de f pr l tgete à l courbe u pot méd, dot l bscsse est c ( + b)/ L équto de l tgete est : y f(c) + (x c)f (c) c b c b O costte que l re du trpèze délmté pr l tgete est égle à l re du rectgle délmté pr l drote d ordoée f(c), cr l dfférece symétrque est formée de deux trgles sométrques (L formule ( ) c-dessous se/le démotre lytquemet) O pproxme l tégrle sur [, b] pr : ( ) (b ) f(c) (f(c) + (x c)f (c)) dx Psst à quelcoque, et pplqut ces dées à chque tervlle [x, x + ], o pose doc : M (x + x )f b 0 ( ) x + x + 0 f ( x + x + L térêt de cette terprétto de l méthode du pot méd pr l tgete, c est de doer leu à ue preuve très turelle Proposto S f est C sur [, b] et µ sup [,b] f, o : b f M µ (b ) b 4 ) 6

7 Preuve (turelle s l e est!) O commece pr O ote c ( + b)/ et o explote ( ) O dot mjorer : f(x) dx (b ) f (c) ( f(x) f(c) (x c)f (c) ) dx Mrcle : o recoît c le début d ue formule de Tylor! Plus précsémet, o dédut de l formule de Tylor-Lgrge à l ordre que Il vet lors : x [, b], f(x) f(c) (x c)f (c) µ (x c) f(x) dx (b ) f (c) µ (x c) dx µ (b ) 4 Le pssge à quelcoque est stdrd Exemple O repred le même : f(x) /( + x) s x [0, ] O vu : µ M ( + ) + k k + O peut doc ocer : T l /( ) E ft, o : (T l ) /( ) Exemple (v ) O repred le même Sot k N Pour quelle vleur de l méthode du pot méd doe-t-elle ue précso de 0 k? 4 Méthode de Smpso O st que l méthode de Smpso cosste à remplcer, sur chque tervlle [x, x + ], l focto f pr u polyôme de degré qu pred les mêmes vleurs que f e x, x + et x +x + Problème : retrouver les coeffcets! ) Premère méthode pour retrouver l formule Idée Pour ue rso u peu mystéreuse, l méthode de Smpso s obtet à prtr de l méthode des trpèzes pr l méthode dte d ccélérto de l covergece de Romberg Supposos que l églté de l méthode des trpèzes sot u équvlet (o e st ps le démotrer, d lleurs c est fux pour certes foctos f, ms ce est ps grve, cr o dque seulemet u procédé heurstque) (peut-être que C /, ms o s e fche) : +x () T C Pour fre terver x() + x () +, o veut fre jouer T Plus précsémet, o veut fre ue combso lére de T et T de l forme S α T + β T telle que : lm S f (c est le mmum!) ; + b S o ( ) (pour pouvor dre qu o ccéléré l covergece) L premère codto mpose : α + β Pour l deuxème, costtos que : T C 4, 7

8 et doc : α T + β T α C + β O est meé à predre α + β 4 C ( ) 4 + o C α + β 4 0 As, o est codut à chosr : ( ) + o { α + β, α + β 4 0,, ou { α, β 4, ce qu doe : S 4T T Il se trouve que c est l méthode de Smpso Remrque Vu qu o supprmé le terme e /, o s tted à ce que l méthode doe u terme d erreur e / E rélté, o verr que l erreur est e / 4 b) Deuxème méthode pour trouver l formule Lemme (utle!) Étt doés tros réels dstcts, b, c et tros réels quelcoques y, y b, y c, l exste u uque polyôme P de degré u plus tel que P () y, P (b) y b, P (c) y c Démostrto U tel polyôme est détermé pr tros coeffcets : P (t) ut + vt + w pour tout t Les codtos du lemme se trduset pr u système lére e u, v et w dot l mtrce est (l trsposée d )ue mtrce de Vdermode : le système est doc de Crmer Démostrto (vrte) Sot R [X] l espce des polyômes de degré u plus Pour x R, l évluto ev x : P P (x) est ue forme lére sur cet espce L pplcto R [X] R P ( P (), P ( ) ) +b, P (b) est lére Or, elle est jectve, cr u polyôme de degré u plus yt tros rces dstctes est écessremet ul Pr églté des dmesos à l source et u but, l e résulte qu elle est bjectve Remrque E comprt les deux preuves, o e dédut que le détermt de Vdermode est ps ul lorsque les pots d terpoltos sot dstcts Proposto (Formule des tros veux) Soet deux réels < b et c ( + b)/ Alor, pour tout polyôme P de degré u plus : b P (x) dx 6 P () + ( ) + b P + 6 P (b) Idée O compred l formule de l proposto comme ue expresso de l forme lére I : R [X] R, P b comme combso lére de (ev, ev c, ev b ) Démostrto Il sufft de tester l formule sur l bse (, X, X ) de R [X] P 8

9 Remrque Il se trouve que l formule des tros veux est e ft vlble pour les polyômes de degré églemet Ce est ps u hsrd : tout polyôme de degré peut s écrre sous l forme : P (t) k(t c) +P (t), où k est u réel et P est u polyôme de degré Or, l tégrle de (t c) vut zéro, comme l ttestet le dess et le clcul suvts c b [ (t c) (t c) 4 dt 4 ] b 0 C est ce qu explque que l erreur est e / 4 et o e / c) Formule pour l méthode de Smpso O utlse l proposto sur [x (), x () + ] (rppelos que (x() somme sur, ce qu codut à poser : + x () + ( S 6 f(x() ) + f(x() + ) + ) 6 f(x() + ) 0 )/ x() + ) et o ft l Le coeffcet ssocé à x () + est /, cr ce pot pprtet qu à u tervlle Le coeffcet ssocé à x () est /6 + /6 / s, cr x () pprît ue fos comme extrêmté guche et ue fos comme extrêmté drote d u tervlle ; ef c est /6 s 0 ou As : S b d) Mjorto de l erreur [ 6 f(x() 0 ) + f(x () ) + f 0 ( x () Proposto S f est C 4 sur [, b] et µ 4 sup [,b] f (4), o : b f S µ 4(b ) Esqusse de preuve Pour, o prt de l expresso : (x ) (b x) f (4) (x) dx, + x () ) ] f(x() ) et qutre tégrtos pr prtes motret que c est (à peu près) l erreur f (b )S Exemple (v ) O repred le même Sot k N Pour quelle vleur de l méthode de Smpso doe-t-elle ue précso de 0 k? 9