Mécanique du solide. I) Cinétique des systèmes matériels : 1 Rappel ; composition des vitesses et des accélérations :

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1 Mécanique du solide

2 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Mécanique du solide I) Cinétique des systèmes matéiels : 1 Rappel ; composition des vitesses et des accéléations : Soit (R) un pemie éféentiel (appelé «absolu», (Oxyz)) et (R ) un éféentiel (appelé «elatif», (O x y z )) en mouvement pa appot à (R). (R ) est en tanslation pa appot à (R) : Composition des vitesses : Composition des accéléations : v( M ) v'( M ) + v v'( M ) + v( O') a( M ) a'( M ) + a a'( M ) + a( O') e e

3 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie (R ) est en otation autou d un axe fixe de (R) : (O et O sont confondus) Composition des vitesses : v( M ) v'( M ) + ve v'( M ) + Ω ( R') /( R) OM Composition des accéléations : a( M ) a'( M ) + a e + a c dω ( R') /( R) a( M ) a' ( M ) + OM + Ω( R') /( R) ( Ω( R')/( R) OM ) + ( R')/( R) dt [ Ω v' ( M )] 3

4 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple : un foain su un manège pou enfants Un manège d'enfants toune à une vitesse angulaie constante ω > 0 constante. Le popiétaie pacout la plate-fome pou amasse les tickets. Patant du cente à t 0, il suit un ayon de la plate-fome avec un mouvement unifome de vitesse v. a) Etabli l'équation de la tajectoie de l'homme dans le éféentiel teeste (tajectoie vue pa les paents). b) Détemine la vitesse de l'homme pa appot à la Tee, à pati des équations de la tajectoie puis en utilisant la composition des vitesses. c) Détemine l'accéléation de l'homme pa appot à la Tee, à pati des équations de la tajectoie puis en utilisant la composition des accéléations. 4

5 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Cente d inetie d un système, éféentiel baycentique : Dans le cas de solides ou de systèmes matéiels, on est amené à défini une masse volumique, une masse sufacique ou encoe une masse linéique : m ρ( M ) dτ ; m σ ( M ) ds ( V ) ( S ) ( C ) ; m λ( M ) dl Le cente d inetie d un système sea défini pa : Distibution discontinue : i m GM 0 ; i i OG i m OM i m i Distibution continue volumique : ( V ) ρ( M ) GMdτ 0 ; OG ( V ) ρ( M m ) OMdτ 5

6 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Le cente d inetie possède la popiété d associativité : le cente d inetie G d un système (S), constitué de deux systèmes S 1 et S de masse m 1 et m et de centes d inetie G 1 et G, est défini pa : ( m OG m OG + m OG 1 + m ) 1 1 Quel est le cente d inetie de ce solide? 6

7 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Réféentiel baycentique : Le mouvement du système est étudié dans le éféentiel (R). On appelle éféentiel baycentique (R b ) elatif au éféentiel (R), le éféentiel de cente G et animé d un mouvement de tanslation à la vitesse v (G) pa appot à (R). z (R) (R b ) G v(g) G (R b ) v(g) G (R b ) v(g) x O y La loi de composition des vitesses s écit sous la fome : v( M ) v ( M ) + v( G) b 7

8 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Résultante cinétique et moment cinétique d un système matéiel : Résultante cinétique (ou quantité de mouvement totale du système) : P ρ( M ) v( M ) dτ ( V ) mv( G) Dans le éféentiel baycentique, la ésultante cinétique est évidemment nulle. Moment cinétique : Le moment cinétique pa appot à O du système, dans le éféentiel (R) est : L O OM ( V ) ρ( M ) v( M ) dτ 8

9 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Théoème de Kœnig pou le moment cinétique : L O OM ρ( M ) v( M ) dτ ( OG + GM ) ρ( M )( vb ( M ) + ( V ) L O OG mv( G) ( V ) + GM ( V ) ρ( M ) v b ( M ) dτ v( G)) dτ Soit : L O OG mv( G) + L G, b Remaque : Le moment cinétique baycentique ne dépend pas du point où on le calcule. En effet : L G LG, b LA, b L b 9

10 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Moment cinétique pa appot à un axe : La pojection du moment cinétique L O du système (S) su un axe passant pa O définit le moment cinétique L de (S) pa appot à. (S) Ainsi, en intoduisant le vecteu unitaie u de l axe ( ), on obtient : L O L LO. u On véifie facilement que L est indépendant du point O de l axe. La notion de moment cinétique pa appot à un axe est intéessante losque le système (un solide pa exemple) est justement en otation autou de cet axe. u O 10

11 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Toseu cinétique : Résultante cinétique et moment cinétique d une pat possèdent les popiétés d un concept mathématique appelé toseu que nous allons défini. Notion de toseus : On considèe un ensemble de points M i et à chacun de ces points on associe un vecteu q i (ce vecteu poua ête la vitesse, la quantité de mouvement, une foce qui agit en ce point, ). On définit alos : R * La ésultante : M O ( OM i qi ) * Le moment en O : i q i i On véifie aisément que le moment en deux points O et A véifient la elation : 11

12 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie M A M O + AO R M O + R OA (BABAR!!!) La ésultante R et le moment en O, M O, sont appelés éléments de éduction en O du toseu (T) associé au système de vecteus q i. La donnée des éléments de éduction en un point O définit complètement le toseu puisqu il est alos possible de calcule les éléments de éduction en tout aute point A : R est indépendante de A et M A M O + AO R Toseu cinétique : On véifie que, dans le éféentiel (R), la ésultante cinétique P et le moment cinétique L O en un point O d un système matéiel (S) foment les éléments de éduction d un toseu, appelé toseu cinétique et noté TC ( P, LO ). On a notamment : L A L O + AO P 1

13 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 13 5 Enegie cinétique d un système matéiel : Définition : ) ( ) ( ) ( 1 V c d M v M E τ ρ Théoème de Kœnig pou l énegie cinétique : On monte que : + ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 V b c d M v M G mv E τ ρ b c E c G mv E, ) ( 1 +

14 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie II) Mouvement d un solide : 1 Le solide en mécanique : On appelle «solide» un cops indéfomable : la distance ente deux points quelconques d un solide este constante au cous du temps. Champ des vitesses : Le solide (S) se déplace dans le éféentiel (R). On considèe le éféentiel (R S ) lié au solide (S) d oigine P (point igidement lié au solide). z S (R S ) y S z P M O x (R) y x S 14

15 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Ω Ω On considèe un point M igidement lié au solide ; on note R S / R le vecteu vitesse angulaie instantanée du éféentiel (R S ) pa appot à (R), qui est a pioi une fonction vectoielle du temps. La fomule de Vaignon (loi de déivation dans les éféentiels (R) et (R s )) donne : d( PM ) dt ( R) d( PM ) dt ( R s ) + Ω PM Apès calculs : v( M ) v( P) + Ω PM On constate que les vitesses des points d un solide véifient la loi caactéistique des moments d un toseu, appelé «toseu des vitesses» ou «toseu cinématique», dont : 15

16 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie la ésultante est le vecteu otation le moment en P est la vitesse v (P) Pemie exemple : le mouvement d une oue Ω Ω R S / R. du point P de (S) dans (R). On considèe une oue de ayon b, de cente C, se déplaçant su le sol hoizontal fixe dans (R), en estant dans le même plan vetical. y + M θ C z O I(t) I S (t) I R (t) x 16

17 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On appelle I le point de contact de la oue et du sol à l instant t. On peut en fait distingue tois points au niveau du contact de la oue avec le sol : le point I S du sol qui est fixe dans (R). le point I R de la oue qui, losqu elle oule, ne se touve plus au contact du sol à un instant ultéieu. le point géométique I qui localise le contact. Dans le éféentiel (R) lié au sol, la vitesse du point I S est bien évidemment nulle. La vitesse du point I R de la oue s expime en fonction de celle du cente C : où z v( I R ) v( C) + Ω CI R v( C) + Ω Ω Ωu est le vecteu vitesse angulaie instantanée de la oue. Le mouvement de la oue peut se décompose en un mouvement de tanslation du cente CI 17

18 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie, u d inetie C et en un mouvement de otation autou de l axe C ) à la vitesse angulaie : Ω Ωu & z θu z ( z La vitesse v ( I R ) s appelle vitesse de glissement de la oue su le sol, v g v( I R ). Elle est tangente au sol. La oue oule sans glisse su le sol losque : v g v( I R ) 0 Si on note x l abscisse de C (et donc celle de I), on peut écie : v g x& u x + ( & θ u ) ( bu ) ( x& b & θ) z y u x La condition de non glissement donne alos : 18

19 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Remaque : x & b & θ 0 Cette condition de non glissement evient à écie que : ) OI x IM bθ 19

20 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie èm exemple ; mouvement d une oue su un suppot cylindique La oue de cente C et de ayon b oule sans glissement su un suppot cylindique de cente O et de ayon a, fixe dans (R), tout en estant dans un plan vetical. y b C I ϕ a + u u ϕ O x Détemine le vecteu otation Ω de la oue en fonction de l angle ϕ ( u y, OC). 0

21 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On souhaite écie : ( I) v( C) + Ω u CI v z puisqu il n y a pas glissement de la oue su le suppot cylindique. 0 O : d CI bu ; ( ) (( + ) ) ( + )& ; ( + )& v C a b u a b ϕuϕ a b ϕuϕ Ωbuϕ dt 0 Pa conséquent : Ω a + b b ϕ& 1

22 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Eléments cinétiques ; elations typiques pou un solide : Rotation d un solide autou d un axe fixe : On considèe un solide (S) en otation autou d un axe lié au solide et fixe dans (R) (Oxyz). Tès souvent, le éféentiel d étude sea le éféentiel baycentique (R b ) (Gxyz) et les axes (Oz) et (Gz) seont soient confondus soient paallèles à l axe de otation. Le solide est supposé homogène et on notea : m ρ( M ) dτ ( V ) ( V ) dm On poua ensuite généalise aux épatitions discètes, sufaciques ou linéiques.

23 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Moment cinétique en un point de l axe : On pend l exemple d une pote qui toune autou de ses gonds. z H M (S) y S O y x Ω & θ u z θ A Le solide et le éféentiel lié au solide R (S) (Ox S y S z) toune à la vitesse angulaie l axe (Oz). x S v Ω & θ u autou de z 3

24 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On veut calcule le moment cinétique du solide dans le éféentiel (R) pa appot à un point A situé su l axe de otation : L On intoduit le point H tel que : A AM ( V ) dm v( M ) AM AH + HM alos AM. u z AH Apès calculs : L A HM dm Ω Ω ( V ) ( V ) AH HMdm L A,// + L A, 4

25 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Moment d inetie : On note L L A,//. u z la coodonnée du moment cinétique su l axe : L est appelé moment cinétique du solide pa appot à l axe : L ( V ) HM dm Ω Il est indépendant du point A. On définit le moment d inetie du solide pa appot à l axe : J HM dm ( V ) ( V ) dm ; L J Ω où HM désigne la distance du point M à l axe de otation. J est une caactéistique du solide et ne dépend que de la épatition des masses dans le solide. 5

26 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Quelques exemples : * Tige de longueu b, axe passant pa son cente : J 1 mb 3 * Ceceau de ayon R, axe passant pa son cente : J mr * Disque ou cylinde plein de ayon R, axe passant pa son axe : J 1 mr * Sphèe ceuse de ayon R, axe passant pa un diamète : J mr 3 * Sphèe pleine de ayon R, axe passant pa un diamète : J mr 5 6

27 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Moment cinétique pependiculaie à l axe : L A, Ω ( V ) AH HMdm L A, est pependiculaie au vecteu otation (à l axe (Oz)). Il n est en généal pas nul. On peut monte qu il est nul : * Losque l axe de otation coïncide avec un axe de symétie du solide * Losque le solide est plan dans un plan pependiculaie à l axe de otation en A. 7

28 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Enegie cinétique : L énegie cinétique du système dans (R) est : E c ( V ) 1 dm v ( M ) ( V ) 1 dm Ω Soit : E c 1 J Ω On constate que l énegie cinétique ne dépend pas de la composante L A, du moment cinétique. 8

29 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Utilisation des théoèmes de Kœnig : Avec des notations évidentes : L A AG mv( G) + J GzΩu z + LG, b, Le plus souvent, L G, b, 0 ((Gz) sea un axe de symétie du système). Pou l énegie : E c 1 1 mv ( G) + J Gz Ω 9

30 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Le théoème de Huygens : Le théoème de Huygens pemet de elie les moments d inetie J d un solide pa appot à un axe et J,G du solide pa appot à l axe G paallèle à et passant pa G : J J +, G ma où a désigne la distance ente les deux axes de otation. G G a a 30

31 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple : (cas de la oue) On peut calcule l énegie cinétique de la oue dans le éféentiel du sol. Dans le éféentiel baycentique : E 1 & 1 1 c, b J z, Cθ ( mb ) θ & 1 4 mb & θ y + M θ C z O I(t) I S (t) I R (t) x 31

32 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Le théoème de Kœnig elatif à l énegie donne : E c mv ( C) + mb θ mx + & 1 & 1 4 mb & θ Si on suppose que la oue oule sans glisse, x & b & θ 0 et : E c 3 4 mb θ & 3

33 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple (le pendule double) : Un pendule double est constitué de deux baes OA et AB identiques, homogènes, de masse m, de longueu b et aticulées en A. Les deux baes sont asteintes à se déplace dans le plan vetical (Oxy) et leus inclinaisons sont définies pa les angles α et β (voi figue). O y α G 1 + A β G B x 33

34 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Calcule le moment cinétique pa appot à l axe Oz et l énegie cinétique de ce pendule double. Le moment d inetie d une bae de longueu b pa appot à sa médiatice est 1 mb 3 J. 34

35 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Pou la bae OA : J 4 3 Oz mb ; LA, Oz mb ; Ec, A 4 3 & α 3 mb & α Pou la bae AB : Les théoèmes de Kœnig donnent : L 1 ( OG & mv( G )). u z mb β 3 B, Oz + 1 E c, B mv ( G ) mb β & Apès calculs : 35

36 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie α & β α & 1 ( ( & + β )cos( α β ) mb 3 L B &, Oz mb + & β 1 & α & β & αβ& E c, B mb ( cos( )) + α β 1 6 mb & β Pou l ensemble du pendule double : L Oz L A, Oz + LB, Oz ; Ec Ec, A + E c, B 36

37 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie III) Etude dynamique des systèmes matéiels : 1 Modélisation des actions mécaniques : On s intéesse aux actions mécaniques extéieues qui agissent su un système matéiel (S), en commençant pa quelques exemples classiques. Le poids d un système : La ésultante de tous les poids élémentaies est : P ( V ) dmg 0 M ) ( V ) Le moment ésultant en un point A quelconque est : M A ρ( dτ g mg AM ρ( M ) g 0 dτ AM ρ( M ) dτ g 0 AG mg ( V ) ( V )

38 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On monte ainsi que le poids du système est équivalente à une foce unique P mg 0 qui s applique en G. Les foces de pession su la paoi d un écipient : On considèe un écipient cubique de côté a, contenant une hauteu h d eau (de masse volumique unifome ρ). z h P(z) B P 0 F O x 38

39 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On va monte que l action des foces de pession su une paoi veticale du écipient peut ête caactéisée pa un glisseu. Le calcul de la ésultante des foces de pession est classique : F h ρg 0 0 ( h z) dz u x ρ g 0 a h u x Le moment en O des foces de pession est : M O paoi OM ρg ( h z) dydz u x zu z g 0 ( h 0 ρ paoi z) dydz u x M O On constate que l on peut écie : 0 h zρ g 0 ( h z) adz u y ρ M O g 0 3 h a 6 u h OB F avec OB u z y 3 39

40 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie L action des foces de pession su la paoi est donc caactéisée pa une foce unique F passant pa le point B. On obtient bien un glisseu dont les éléments de éduction en B sont : h F ρg a * Le moment en B est nul : M 0 B * La ésultante est égale à 0 x u 40

41 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Couple s exeçant su un système en otation autou d un axe fixe : On pend l exemple d un couple céé pa deux foces opposées. La ésultante des foces est nulle et le moment des deux foces au point O est indépendant du point où on le calcule. Un couple epésente un exemple de toseu de ésultante nulle. Le moment est donc indépendant du point considéé. F 1 M 1 M F Le moment en un point A quelconque est en effet : (avec F 1 + F 0 ) 41

42 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie M M Il est bien indépendant du point A. Exemples : 1 + M AM1 F1 + AM F M M 1 F1 * Foces que l on exece quand on toune la poignée d une fenête * Action d un champ électique su un dipôle électique * Un moteu exece su un cylinde extéieu pa exemple une action mécanique assimilable à un couple de moment C colinéaie à l axe de otation commun du moteu et du cylinde. * Pendule de tosion dont le couple est de la fome Cα. 4

43 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Actions de contact ente deux solides : Un système matéiel solide (S) est en contact avec un suppot solide (Σ) ne faisant donc pas patie de (S). Il y a inteaction ente les paticules de (S) et celles de (Σ), au niveau de la suface de contact S. On définit une densité sufacique de foces f (M ) en chaque point de la suface de contact S. On calcule alos : d F f ( M ) ds (S) ds M Suppot (Σ) A 43

44 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie F f ( M ) ds * La ésultante : ( Σ) ( S ) * Le moment en un point A : A,( Σ) ( S ) AM S M f ( M ) ds S Lois de la dynamique dans un éféentiel galiléen : On considèe un système matéiel (S) femé, de masse m et de cente d inetie G, en mouvement dans un éféentiel galiléen (R). Loi de l action et de la éaction : Cette loi est encoe appelée loi des actions écipoques. On considèe deux systèmes (S 1 ) et (S ) en inteaction dans un éféentiel galiléen (pa exemple, un live posé su une table). Soient F 1 (esp. F 1 ) la ésultante des foces execées pa le cops 1 su le cops (esp. la 44

45 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie ésultante des foces execées pa le cops su le cops 1). Soient M A, F1 et M A, F 1 les moments coespondants. La loi de l action et de la éaction affime que : F F 1 1 M M F et A, F 1 A, 1 Théoème de la ésultante cinétique (ou théoème du cente d inetie, ou théoème de la quantité de mouvement, ou théoème de la ésultante dynamique) : Dans un éféentiel (R) galiléen : d dt ( mv( G)) dp ma( G) dt F ext 45

46 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Théoème du moment cinétique en un point fixe : On considèe un point fixe A du éféentiel galiléen (R). Alos : dl dt A La déivée du moment cinétique du système pa appot au point fixe A est égal au seul moment en A des foces extéieues au système (celui des foces intéieues est nul). M A, f ext * Théoème du moment cinétique pa appot à un axe fixe : On considèe un axe passant pa A, de vecteu unitaie u, fixe dans (R). En pojetant le théoème du moment cinétique su cet axe, on obtient le théoème du moment cinétique pa appot l axe : 46

47 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie dl M. u, (. ), M ext L LA u A f ext dt Ce théoème sea couamment utilisé dans le paagaphe su le mouvement d un solide autou d un axe fixe. * Théoème du moment cinétique au point G : D aute pat : L dl AM dmv( M ) AG mv( G) + A L G ( V ) dt A d AG ( mv( G)) + dt dl dt G AG F ext + dl dt G 47

48 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Ainsi, comme M dl dt A AM f A f ext AG F +, ext ( V ) M G, ext f ext M A, f ext, on obtient : dl dt G Ainsi, le théoème du moment cinétique peut s applique au point G, même si celui-ci est mobile dans (R). M G, f ext 48

49 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Théoème du moment cinétique dans le éféentiel baycentique : On a vu que : L G L G, b. Ainsi : dl dt G dl G, b dt Le théoème du moment cinétique s applique au point G dans le éféentiel baycentique (R b ) du système comme en un point fixe d un éféentiel galiléen (bien que le éféentiel baycentique ne soit pas a pioi galiléen). M G, ext z (R) (R b ) v(g) G G (R b ) v(g) G (R b ) v(g) x O y 49

50 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Application : oscillations d un cylinde O Suppot fixe y éq y A P C L D Q k T 1 T B u z On considèe le système de la figue suivante : y On demande de calcule la péiode des oscillations veticales du cente C du cylinde homogène. Le fil, inextensible, est sans masse et sans aideu et ne glisse pas su la poulie. Le essot a une aideu k et une longueu à vide l 0. On note y la position veticale de C et L la longueu du essot à l instant t. On désigne pa Ω le vecteu otation du cylinde. Ωu z 50

51 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Lois de la dynamique dans un éféentiel non galiléen : Il faut pende en compte les foces d inetie : d dt ( mv( G)) dp ma( G) dt F ext + F ie + F ic Et, en un point fixe du éféentiel mobile : dl dt A M + M + A, f A, f ext ie M A, f ic 51

52 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 5 Cas des systèmes ouvets : Execice : il pleut su un chaiot 5

53 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6 Fomulation tosoielle des lois de la mécanique des systèmes On a établi que le pincipe de l action et de la éaction avait pou conséquence la nullité de la ésultante des foces intéieues ainsi que celle du moment des actions intéieues. Ces deux ésultats peuvent se condense sous le fait que le toseu des actions intéieues est nul : F [ ] 0 int, int Μ Les deux gandes lois de la mécanique des systèmes peuvent alos s écie sous la fome tosoielle suivante unique, dans un éféentiel galiléen (R) dans lequel le point A est fixe : d dt (La déivée d un toseu se fait teme à teme) L A F ext [ P, ] [, Μ ] A, ext Autement dit, la déivée du toseu cinétique est égale au toseu des actions extéieues. 53

54 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie IV) Etude énegétique des systèmes matéiels : Faie quelques appels su l étude énegétique du système de deux points matéiels. Rappele notamment que le tavail des foces intéieues peut s écie : δ W int f 1 d1 f 1 d( M M ) 1 Ce tavail, a pioi, n est pas nul sauf dans le cas de deux points matéiels igidement liés l un à l aute ( d ( M M ) 0). 1 On s attend alos que ce tavail des foces intéieues soit nul pou un solide. 54

55 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 1 Puissance des actions execées su un solide : En faisant appel à la notion de foces volumiques execées su un solide, on peut écie la puissance des actions (extéieues et intéieues) execées su un cops continu : Pou un solide : P v( M ) ( V ) v( M ). f ( M v( A) + Ω ) dτ AM Soit, apès calculs : P v( A). F ext + M A,ext. Ω On emaque que les foces intéieues n inteviennent pas dans cette expession de la puissance eçue pa le solide. Remaque : A poua ête souvent le cente d inetie G. 55

56 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Théoème de l énegie cinétique (ou de la puissance cinétique) : Dans la suite, on se place dans un éféentiel (R) supposé galiléen. Pou un solide : P v( M ). f ( M ) dτ v( M ). dma( M ) ( V ) ( V ) ( V ) d dt 1 dmv( M ) de dt c Ainsi, pou un solide : P v G). Fext + M G ext. Ω (, de dt c (Théoème de la puissance cinétique) Rappelons ici que P epésente la puissance uniquement des actions extéieues subies pa le solide (la puissance des actions intéieues est nulle pou un solide). 56

57 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Le théoème de l énegie cinétique s en déduit : Un 1 e exemple : chute d une tige su le sol E c W f Une tige AB, homogène, de cente G et de longueu b, est posée su le sol, veticalement sans vitesse initiale. Sous l action d un lége déséquilibe, elle tombe. En supposant que l extémité A glisse sans fottements su le sol, calcule la vitesse v 0 du cente G de la tige quand celle-ci heute le sol. ext Le moment d inetie de la tige pa appot à sa médiatice est 1 mb 3 J. 57

58 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie y + B O R A G α mg x 58

59 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Enegie potentielle et énegie mécanique d un système : La pésentation est identique à celle faîte pou deux points matéiels : L énegie mécanique E m d un système (S) est la somme de son énegie cinétique E c et de l énegie potentielle intéieue E p,int et extéieue E p,ext : E m Ec + E p, int + E p, ext et le théoème de l énegie cinétique conduit, pou un système femé (S) à : de m δw foces ext et de m int non consevatives ; dt P foces ext et int non consevatives La plupat des actions mécaniques connues sont consevatives (le poids, la foce électique, la foce de gavitation, l action d un essot, ). Pami les actions mécaniques non consevatives, on peut cite les actions de contact ente solides, la tension d un fil, les foces de pession, les foces de populsion, 59

60 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Consevation de l énegie mécanique d un système femé, système consevatif : Si toutes les actions mécaniques déivent d une énegie potentielle (extéieue ou intéieue) ou si toutes les actions mécaniques qui ne déivent pa d une énegie potentielle ne tavaillent pas, alos l énegie mécanique du système se conseve au cous du mouvement. Le système est dit consevatif. L équation : Em Ec + E p, int + E p, ext cste est appelée l intégale 1 èe du mouvement (elative à l énegie). 60

61 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple d application : oscillation d une tige su un demi-cecle Une tige homogène AB, de cente C, de longueu l, de moment d inetie 1 l 3 J m pa appot à un axe pependiculaie à la tige et passant pa C, glisse sans fottements à l intéieu d un demicecle de cente O et de ayon l R. 3 O y A θ C B x Ce cecle est situé dans le plan vetical (Oxy) d un éféentiel galiléen. Détemine l équation difféentielle véifié pa l angle θ défini pa θ ( u x, OC). Calcule la péiode des petites oscillations de la tige autou de sa position d équilibe. 61

62 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie V) Contact ente deux solides Lois du fottement : Le contact est une notion concète familièe. Il est facile de détemine visuellement si deux objets sont en contact. Cependant, au niveau micoscopique, les choses sont bien plus difficiles. Déjà, la suface des objets usuels qui nous semble lisse est loin de l ête vaiment : les atomes situés à la suface sont disposés aléatoiement et la position de la suface des solides subit des vaiations tès busques (voi figue suivante). Quand on appoche deux objets, les nuages électoniques des atomes situés aux deux intefaces finissent pa ête tès poches et la épulsion électostatique ente ces nuages engende la nonintepénétabilité ente les solides. On compend donc, vu la complexité de la situation, qu obteni une loi exacte décivant les contacts au niveau macoscopique n est pas aisé. 6

63 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 1 Etude cinématique : On considèe deux solides (S) et (Σ) en mouvement dans un éféentiel (R) de manièe à ce qu ils estent toujous en contact ; ce contact peut se taduie : Pa une suface commune Pa une ligne commune Pa un ou plusieus points communs Ainsi, il existe au moins un point I S de (S) en coïncidence avec un point I Σ de (Σ) en I à tout instant t. 63

64 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie (S) I S I I Σ (Σ) On appelle vitesse de glissement v g de (S) su (Σ) en I à l instant t, le vecteu : v g ( I) vg ( I S ) /( R) vg ( I Σ ) /( R) Cette vitesse de glissement de (S) su (Σ) en I est aussi la vitesse du point I (S) de (S) dans le éféentiel (R (Σ) ) lié à (Σ) : v g ( I) vg ( I S ) /( RΣ ) 64

65 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On dit que (S) ne glisse pas su (Σ) si la vitesse de glissement est nulle en tous points de contact, à tout instant : v g ( I) vg ( I S ) /( R ) Σ 0 Actions mécaniques de contact : Définition des composantes nomale et tangentielle de la ésultante des actions mécaniques de contact et des moments de fottement de pivotement et de oulement : On note dans la suite R la ésultante des actions de contact du solide (1) su le solide (). Elle se décompose selon : R T + N 65

66 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Lois de Coulomb Au XVIII ème siècle, Coulomb a énoncé les lois appochées suivantes, valables pou le fottement de glissement ente deux solides en contact ponctuel (on considéea dans la suite que ces lois estent valables même si le contact n est pas igoueusement ponctuel) : 66

67 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Soient deux solides (S 1 ) et (S ) en contact ponctuel. On note pa appot à (S 1 ). Si g v (il y a glissement), la foce de fottement de glissement véifie : 0 T // v g T. v g < 0 ; où f est appelé coefficient de fottement de glissement. Si g v (il n y a pas glissement), alos : 0 ; T f N v g la vitesse de glissement de (S ) T f N 67

68 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Quelques exemples de coefficients de fottement : 68

69 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Cône de fottement : On considèe un solide immobile su un sol incliné. Le solide este t il immobile ou commence t il à glisse? tan α f tanϕ ou α ϕ actan L intepétation géométique est que la ésultante R doit se touve dans le cône d axe N et de demi-angle au sommet ϕ actan f. Ce cône est appelé cône de fottement. f 69

70 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Appoche énegétique : Puissance des actions mécaniques de contact : On a vu que la puissance des actions execées su un solide est : P v( A). F ext + M A,ext où A est un point quelconque du solide. On s intéesse à l action du solide (S 1 ) su le solide (S ). Le contact est supposé ponctuel en I. On note R la ésultante de l action de (S 1 ) su le solide (S ).. Ω 70

71 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie R (S ) (S 1 ) I S1 I S R Alos, la puissance eçue pa le solide (S ) de la pat du solide (S 1 ) est : (le moment est nul puisque le contact est ponctuel) P v( I S - R désigne la ésultante de l action de (S ) su le solide (S 1 ). Alos, la puissance eçue pa le solide (S 1 ) de la pat du solide (S ) est : ). R 71

72 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie P1 v I S ).( R) ( 1 Soit, apès calculs : P v. R g Soit encoe, puisque N est pependiculaie à la vitesse de glissement : P v. T g 7

73 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Conséquences des lois de Coulomb : * Il y a glissement : T Alos,. v < 0 g totale diminue. et P < 0. A cause des fottements ente les solides, leu énegie mécanique * Il y a oulement sans glissement : Alos la vitesse de glissement est nulle et P 0. Les actions de contact ne dissipent aucune énegie alos qu il existe la plupat du temps une composante tangentielle non nulle de fottement. Tès souvent, le solide (S 1 ) est le sol immobile ; alos : P v( I ). T S 0 En cas de oulement sans glissement, la puissance des actions de contact du sol immobile su un solide est nulle. 73

74 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 - Application à la ésolution des poblèmes : L étude d un mouvement avec contact de solides fait inteveni notamment les foces de contact comme inconnues. Pou ésoude le poblème, il faut écie : Les équations découlant du pincipe fondamental des systèmes. Une elation supplémentaie povenant d une hypothèse su l existence ou non d un glissement, hypothèse qui deva ête véifiée. Si l on suppose qu il y a glissement, la elation supplémentaie est alos donnée pa la loi de Coulomb : T // v g ; T. v g < 0 ; Il faut ensuite véifie que la vitesse de glissement est bien non nulle et de sens opposé à T. Si l on suppose qu il n y a pas glissement, la elation supplémentaie est v 0 g et il faut alos véifie que T fn. Enfin, si le mouvement compote difféentes phases successives de natues difféentes (avec et sans glissement), la véification de l hypothèse choisie pemet de détemine l instant de changement de phase. T f s N 74

75 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Un 1 e exemple d application ; un cylinde su un plan incliné : Un cylinde homogène de cente d inetie C, de ayon R et de moment d inetie 1 mr J pa appot à son axe, est posé sans vitesse initiale su un plan incliné d un angle α su l hoizontale, dans le éféentiel teeste (R) galiléen (l axe du cylinde est hoizontal). On désigne pa f le coefficient de fottement de glissement ente le cylinde et le plan incliné. a) Détemine l accéléation & x& du cylinde. Monte qu il y a glissement ou non selon la position de α pa appot à une cetaine valeu α 0 que l on déteminea. b) Faie un bilan énegétique ente les instants 0 et t. Envisage les deux cas α < α 0 et α 0 α >. O z N + T I α C mg x 75

76 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie O z T I α C N mg + x 76

77 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Un nd exemple d application ; cylinde posé su sa base On considèe un cylinde (C) de masse M, de ayon a et de hauteu h. On pose le cylinde su sa base su un plan incliné d angle α. Sa vitesse initiale est nulle. 77

78 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie VI) Rotation d un solide autou d un axe fixe : 1 Desciption de quelques liaisons classiques ente deux solides : Liaison glissièe ou liaison pismatique : Liaison otule ou liaison sphéique : 78

79 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Liaison pivot (ou liaison otoïde) : Liaisons pafaites : Pa définition, une liaison pafaite ente deux solides est telle que la puissance totale ente ces deux solides est nulle. 79

80 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Exemple : une liaison pivot pafaite Le solide (S) est maintenu pa deux pivots quasi-ponctuels en A et B de manièe à pouvoi toune autou de l axe fixe (AB) dans le éféentiel d étude. Nous supposons que les liaisons en A et B sont pafaites : les actions de contact qui s execent su (S) en A et B se éduisent espectivement à deux foces : R 1 passant pa A et R passant pa B. B R 1 (S) Ω A R 1 Calcule les éléments de éduction en A du toseu des actions mécaniques de contact su (S). 80

81 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Etude du mouvement de otation (liaison pivot) : Rappel : (théoème du moment cinétique pa appot à un axe fixe) On considèe un axe passant pa A, de vecteu unitaie u, fixe dans (R). (S) L A u A En pojetant le théoème du moment cinétique su cet axe, on obtient le théoème du moment cinétique pa appot l axe : 81

82 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie dl dt M u M ( L L. u. A, f ext, ext A Ce théoème sea couamment utilisé dans l étude du mouvement d un solide autou d un axe fixe, en utilisant : L J ω où ω désigne la vitesse angulaie du solide, potée pa l axe. ) Finalement (théoème «scalaie» du moment cinétique pou un solide en otation autou de l axe de otation ) : J dω L ( L LA. u ) dt 8

83 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Exemples : Machine d Atwood : 83

84 Mécanique du solide, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Le pendule pesant : * Equation de la dynamique : * Appoche énegétique : 84