Physique Statistique

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1 Paris 7 PH Physique Statistique EXERCICES Feuille 7 : Statistiques quantiques 1 Gaz de fermions ultra-relativistes On considère un gaz de fermions libres et indépendants de masse m et de spin 1/2, enfermés dans une enceinte de volume V à la température T. Aux très fortes densités, l énergie moyenne d une particule peut devenir bien supérieure à mc 2. On se propose d étudier les propriétés du gaz dans cette limite ultra-relativiste où l énergie ε d une particule est liée à sa quantité de mouvement p par la relation de dispersion ε c p. 1. On suppose que le système se trouve en contact avec un réservoir de particules de potentiel chimique µ. i) Donner l expression intégrale du nombre moyen N de particules dans le système. ii) Donner l expression intégrale du grand potentiel J en fonction des variables T, V et µ. iii) Donner l expression intégrale de l énergie moyenne E en fonction des mêmes variables. iv) Par une intégration par parties, montrer que J = αe et déterminer la valeur de α. 2. i) Exprimer la capacité calorifique à volume constant C V d un système comme une dérivée de l énergie en précisant bien les variables maintenues constantes. ii) Exprimer l entropie S d un système comme une dérivée du grand potentiel J en précisant bien les variables maintenues constantes. 3. On suppose à présent que la température est nulle et que le système comporte un nombre de particules déterminé N. i) Calculer le potentiel chimique µ 0 en fonction de N et V. ii) Calculer l énergie E 0 du gaz. iii) Calculer la pression p Le système, toujours constitué d un nombre déterminé N de particules, est maintenant à une température T finie, telle que kt µ 0. On rappelle que µ dε f(ε) n F (ε, T, µ) = dε f(ε) + π k2 T 2 f (µ) + O(T 4 ), où f(ε) est une fonction régulière de ε, et n F (ε, T, µ) le facteur de Fermi à la température T et au potentiel chimique µ. i) Calculer le potentiel chimique du gaz en fonction de N, V et T sous forme d un développement limité jusqu à l ordre T 2. ii) Calculer l énergie du gaz en fonction de N, V et T au même ordre. iii) En utilisant l expression de C V établie à la question 2, calculer la capacité calorifique à volume constant du système en fonction des variables V, T, et N (au premier ordre en T). iv) En utilisant l expression de S établie à la question 2 et la relation entre E et J, calculer l entropie en fonction des variables V, T et µ au premier ordre en T, puis, toujours à cet ordre, en fonction des variables V, T et N. 5. La température est maintenant quelconque. i) Montrer que J(T, V, µ) = VT 4 f(µ/t), où f(x) est une fonction bien définie dont on donnera une expression intégrale. ii) Déduire de la relation précédente les fonctions S(T, V, µ), N(T, V, µ) et p(t, V, µ). iii) Montrer que dans une transformation adiabatique réversible du système de N particules ultrarelativistes, la pression, la température et le volume sont liés par les relations : pv 4/3 = cte, VT 3 T 4 = cte, p = cte. 2 Condensation de Bose-Einstein On considère un gaz parfait de N bosons de masse m enfermés dans une enceinte de volume V en contact avec un thermostat à la température T. i) Déterminer la température critique T c en dessous de laquelle se produit la condensation de Bose. ii) On se place à T < T c. Montrer que l énergie interne du système est de la forme E(V, T) = αvt 5/2 où α est une constante. Calculer l énergie libre, l entropie et la pression p du gaz. Tracer le réseau d isothermes dans le diagramme (p, V).

2 2 Paris 7, Phy. Stat. 7 : statistiques quantiques. 3 Gaz parfait de bosons à deux dimensions On considère un gaz constitué de N bosons indépendants de masse m et de spin nul, libres mais astreints à se déplacer sur une surface d aire A. 1. Écrire la relation qui détermine le potentiel chimique µ en fonction de N, A et de la température. i) Montrer que l intégrale qui figure dans cette relation diverge lorsque µ tend vers zéro. En déduire qu il existe, pour toutes valeurs de N/A et de T, une valeur de µ négative vérifiant la relation. En conclure qu à deux dimensions il ne peut y avoir de phénomène de condensation de Bose. ii) Calculer le potentiel chimique µ en fonction de T et de N/A. Tracer la courbe représentant le potentiel chimique en fonction de T, et comparer avec la courbe correspondante pour un gaz de bosons libres à trois dimensions. iii) On pose : T 0 = 2π h2 N mk A. Montrer, en comparant la longueur d onde thermique ( 2π h 2 ) 1/2 Λ = mkt à la distance moyenne entre particules voisines, que des effets quantiques sont à attendre pour T T 0. iv) Évaluer numériquement T 0 dans le cas de l hélium 4 : ρ = 0,146 g cm 3 et m = 6, kg (on peut estimer A/N en prenant la puissance 2/3 du volume par atome dans l hélium 4 liquide). Calculer le nombre moyen d occupation de l état fondamental individuel pour T = 1K ; est-il d ordre macroscopique comme dans le cas à trois dimensions? 2. Montrer que l on a J = E, où J est le grand potentiel et E l énergie du gaz, ainsi que C A = 2E T N k T 0 T 1 e T 0/T 1 où C A est la capacité calorifique à surface et nombre de particules constants. 3. Donner des expressions approchées pour l énergie et la capacité calorifique dans chacun des deux domaines T T 0 et T T 0. 4 Condensation de paires Les N partiqules de spin 1/2 et de masse m d un gaz contenu dans un récipient de volume V à la température T peuvent se lier deux à deux pour former de nouvelles partiqules : des paires de spin nul. Soit ε l l énergie de liaison d une paire. On néglige toute structure interne (autre que le spin) et on suppose que les partiqules et les paires forment deux gaz parfaits sans interactions. 1. Quelle relation existe-t-il, à l équilibre, entre les potentiels chimiques des particules élémentaires et des paires? 2. Montrer que les paires sont susceptibles de se condenser dans l état fondamental (condensation de Bose) et calculer la température de condensation T c (en supposant kt c ε l ). 5 Condensation de bosons excitables Dans un récipient de volume V est contenu un gaz parfait de N bosons libres possédant des degrés de liberté internes. Pour simplifier, on admet que chaque particule a un seul état d excitation, d énergie ε 1 positive (l énergie de l état fondamental étant choisie égale à zéro). 1. Donner, en fonction de la température et du potentiel chimique, les expressions des nombres de particules qui se trouvent dans l état interne fondamental et dans l état excité. Écrire la condition déterminant la température critique T B de la condensation de Bose. 2. En supposant ε 1 >> kt B, montrer que T B est donnée par l expression T B = T 0 B ( 1 0,255 e ε 1 /kt 0 B), où TB 0 est la température critique calculée sans tenir compte des degrés de liberté internes. On rappelle que x π dx e x 1 2,

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