Formulaire de Mathématique

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1 COLLECTION LES LEXIQUES DE L INSEEC CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE COMMERCE Formulaire de Mathématique par Xavier Chauvet LEXIQUE N 17 COLLECTION DIRIGÉE PAR ERIC COBAST

2 Les Lexiques de l INSEEC Consultables au quotidien, ces lexiques pourront accompagner utilement l année scolaire : ce sont en effet des mots, des notions, qui structurent le programme de l année mais c est aussi le plus souvent sur un terme précis que se joue la réussite d un plan de dissertation L idée des Lexiques s impose dès lors que l on prend en compte ces révisions répétées auxquelles les «DS» et les «Concours Blancs» soumettent les préparationnaires. Éric Cobast, qui dirige ce projet à l INSEEC depuis de très nombreuses années, a donc retrouvé l équipe des professeurs de prépa qui avaient déjà travaillé aux «Mémentos», une équipe élargie à de nouveaux venus, tous professeurs confirmés et reconnus, qui ont mis leur expérience au service de cette collection. L INSEEC souhaite ainsi contribuer activement à votre succès et, en mobilisant toutes ses compétences, mieux vous faire connaître son attachement à la méthodologie et à la culture générale. Avec tous nos encouragements pour cette année déterminante et passionnante à la fois. Catherine Lespine Directrice Générale du Groupe INSEEC

3 Formulaire de Mathématique (voie S) Par Xavier Chauvet Ancien élève de l Ecole Normale Supérieure - ENS Ulm Professeur agrégé de Mathématiques en classes préparatoires au Lycée Lakanal à Sceaux 1

4 LES LEXIQUES DE L INSEEC Sommaire 1. Algèbre Analyse Probabilités

5 Ce formulaire ne remplace en aucun cas un cours. Il peut seulement servir à combler rapidement une lacune portant sur une formule rencontrée au détour d un exercice. Il ne faut pas croire que l on a appris son cours lorsque l on connaît les formules qu il contient. Pour vérifier que l on connaît son cours, il faut d une part voir si à partir du seul plan du cours on est capable de le réécrire intégralement, puis vérifier que l on sait faire les exercices d applications directes contenus dans les feuilles de TD ou dans les livres, sans oublier que le but est de résoudre des problèmes de maths de 4 heures. Apprendre une formule par coeur ne remplace jamais le fait de l avoir comprise. Une formule apprise par coeur et non comprise sera impossible à retrouver le jour du concours. Il faut essayer d une part de se convaincre que l on a bien compris cette formule en se souvenant des remarques du professeur, de l endroit du cours où elle se situe, en essayant d associer une image ou un dessin à cette formule, mais il faut également pouvoir associer à cette formule quelques exercices dans lesquels on l a retrouvée afin de mieux percevoir son utilité. Rappelons au passage quelques liens de maths utiles en ECS : Annales des écrits de la CCIP : Annales des oraux d ESCP : Programme officiel : 3

6 LES LEXIQUES DE L INSEEC 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale Utilisation de Produit de sommes Sommes classiques Formule du binôme de Newton Lien coefficients/racines d un polynôme 4

7 Union, intersection, complémentaire Formules avec Polynômes Produit de polynômes Degré et coefficient dominant 5

8 LES LEXIQUES DE L INSEEC Formule de Taylor : Racine d ordre k : 1.2 Algèbre linéaire Pour les voies E, seul R convient Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels Union et intersection Applications linéaires : 6

9 Famille de vecteurs Théorème du rang Calcul matriciel Définition Image et noyau Produit matriciel 7

10 LES LEXIQUES DE L INSEEC Transposée Matrices triangulaires supérieures Matrices inversibles Réduction des endomorphismes et matrices carrées Eléments propres d un endomorphisme 8

11 Eléments propres d une matrice Critères de diagonalisabilité pour les endomorphismes Matrices de passage Critères de diagonalisabilité pour les matrices 9

12 LES LEXIQUES DE L INSEEC 2 Analyse 2.1 Suites réelles Suites arithmético-géométriques Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Négligeabilité, domination, équivalence de suites 10

13 2.2 Séries numériques Définition Transformations utiles Critère de comparaison des séries à termes positifs Critère de comparaison des séries à termes positifs équivalents Séries Riemann 11

14 LES LEXIQUES DE L INSEEC Séries géométriques Séries exponentielles 2.3 Etude globale d une fonction Symétries d une fonction Branches infinies 12

15 2.4 Fonctions numériques réelles : calcul différentiel Dérivées classiques Dérivée d une bijection réciproque Formule de Leibniz 13

16 LES LEXIQUES DE L INSEEC Inégalité des accroissements finis Théorème de prolongement des fonctions de classe C 1 Convexité Inégalités classiques de convexité 14

17 2.5 Fonctions numériques réelles : calcul intégral Primitives usuelles Intégration par parties Changement de variable Méthode des rectangles, (ou sommes de Riemann) 15

18 LES LEXIQUES DE L INSEEC Formule de Taylor avec reste intégral Inégalité de Taylor-Lagrange Formule de Taylor-Young Développements limités usuels 16

19 Intégrales sur un intervalle quelconque Intégrales classiques 2.6 Fonctions numériques de plusieurs variables Topologie Dérivées partielles et gradient Extremum local sur un ouvert : condition nécessaire pour une fonction de classe 17

20 LES LEXIQUES DE L INSEEC Extremum local sur un ouvert : cas ( méthodes et notations de Monge ) 3 Probabilités 3.1 Dénombrement Parties d un ensemble Suite d éléments Cardinal d une union de 2 ou 3 parties Cardinal d une union de n parties : formule du crible (ou formule de Poincaré) 18

21 3.2 Probabilité : définitions et propriétés Définition Formules Propriété de limite monotone 19

22 LES LEXIQUES DE L INSEEC Evénements indépendants Formule du crible (ou formule de Poincaré) Système complet d événements 3.3 Probabilités conditionnelles Définition Formule des probabilités composées Formule des probabilités totales 20

23 Formule de Bayes 3.4 Variables aléatoires réelles discrètes Définition Somme de variables aléatoires Fonction de répartition Indépendance de V.A.R. 21

24 LES LEXIQUES DE L INSEEC Espérance : Définition Theorèmes de transfert 3.5 Variables aléatoires réelles à densité Définition d une densité Indépendance de V.A.R. Espérance : Définition 22

25 Theorème de transfert 3.6 Moments d une variable aléatoire réelle Espérance : premières propriétés Variance, écart-type Covariance Coefficient de corrélation linéaire 23

26 LES LEXIQUES DE L INSEEC Moments et moments centrés Variable aléatoire centrée réduite 3.7 Lois discrètes usuelles Loi uniforme Modélise le résultat d une expérience dont les résultats apparaissent avec la même probabilité 24

27 Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi géométrique Loi de Poisson 25

28 LES LEXIQUES DE L INSEEC 3.8 Lois usuelles à densité Loi uniforme Loi exponentielle 26

29 Loi normale 3.9 Convergences et approximations Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Loi faible des grands nombres Approximations classiques Théorème de la limite centrée 27

30 LES LEXIQUES DE L INSEEC 3.10 Estimation Biais d un estimateur Estimateur sans biais Risque quadratique d un estimateur Asymptotiquement sans biais Suite convergente d estimateurs Intervalle de confiance 28

31 BCE - CONCOURS 2012 Les épreuves écrites L INSEEC utilise les épreuves de la BCE selon la grille ci-dessous. Choix des Option Option Économique épreuves écrites Scientifique À l issue des épreuves écrites, le jury d admissibilité de l INSEEC se réunit et arrête la liste des candidats admissibles. Ceux-ci sont convoqués soit à Paris soit à Bordeaux en fonction de l académie d appartenance de leur classe préparatoire et d une décision arrêtée par le jury d admissibilité, dans le but d équilibrer au mieux les calendriers de passage. Des dérogations sont possibles sur demande expresse du candidat. Les résultats d admissibilité sont transmis aux candidats dès la mi-juin. Les épreuves orales Les épreuves orales se déroulent sur une journée, soit à Paris soit à Bordeaux. Les jurys sont composés de manière équilibrée de professeurs de classes préparatoires, de cadres d entreprises, d enseignants ou d Anciens Élèves de l INSEEC. Les épreuves orales de l INSEEC ont un double objectif : discerner l aptitude du candidat à réussir et bénéficier pleinement des projets et programmes qui lui seront proposés : ouverture internationale, goût pour la communication et l argumentaire, esprit d entreprendre, sens de l équipe susciter une première rencontre entre le candidat et l École. Entretien individuel Entretien collectif Langues Vivantes 1 Langues Vivantes 2 Coefficients INSEEC - Paris - Bordeaux L admission et l inscription L inscription se fait par la procédure centralisée SIGEM Quel que soit votre rang de classement (liste principale + liste complémentaire), c est vous qui déciderez d intégrer soit PARIS, soit BORDEAUX. Coef. Coef. Option Technologique Contraction de texte Épreuve HEC 2 Épreuve HEC 2 Épreuve HEC 2 Première langue IENA 6 IENA 6 IENA 4 Deuxième langue IENA 5 IENA 5 IENA 3 Dissertation de culture générale Épreuve ESCP Europe 5 Épreuve ESCP Europe 5 Épreuve ESC 4 Dissertation littéraire Dissertation philosophique Mathématiques Épreuve EM-Lyon 6 Épreuve EM-Lyon Coef. 5 Épreuve ESC 4 Histoire, Géographie Épreuve EM-Lyon et Géopolitique Analyse économique - Épreuve EM-Lyon 7 - et historique Économie-Droit - - Épreuve ESC 5 Histoire Gestion-Management - - Épreuve ESC 8 Épreuve à option Total coefficients TOTAL

32 LES LEXIQUES DE L INSEEC COLLECTION DIRIGÉE PAR ERIC COBAST Les «Lexiques de l INSEEC» viennent compléter le dispositif conçu au service des étudiants initié par «Les Mémentos». Ils ont été rédigés par une équipe de professeurs des Classes Préparatoires et des Grandes Écoles, particulièrement sensibles aux difficultés rencontrées par les candidats. L ambition de ces «Lexiques» n est pas évidemment de se substituer d une manière ou d une autre aux cours annuels mais de proposer tout simplement des instruments efficaces pour réussir les concours. Collection Les Lexiques de l INSEEC 2012 N 14 : Les mots de la Société N 15 : Lexique de Géopolitique N 16 : Lexique d Anglais N 17 : Formulaire de Mathématique (voie S) INSEEC Secrétariat de la Collection Les Lexiques H16 quai de Bacalan CS Bordeaux Tél. :