P9-12 : Mécanique Générale (du solide indéformable)

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1 INA de Rouen - TPI2 - Année P9-12 : Mécanique Générale (du solide indéformable) 1 Généralités 1.1 Torseurs Voir Première Fiche de P9-12 (Initiation à la résistance des matériaux) 1.2 Référentiel et Repère Référentiel : Objet dans lequel le mouvement est décrit. Référentiel Galiléen : Référentiel considéré en translation rectiligne uniforme ou fixe. Repère : Outil mathématique dans lequel on établit les équations de mouvement. Notation : Référentiel fixe ou absolu : R 0 (O,x 0,y 0,z 0 ) Vecteur Position : OP = x x 0 + y y 0 + z z 0, permet d obtenir la vitesse absolue. Référentiel relatif ou en mouvement par rapport à R 0 : R 1 (O 1,x 1,y 1,z 1 ) Vecteur Position : O 1 P = x 1 x1 + y 1 y1 + z 1 z1, permet d obtenir la vitesse relative. 1.3 Paramétrage d un solide Angles d Euler : x 0, y 0, z 0 u, v, z 0 par précession Ψ autour de z 0 u, v 1, z 1 par nutation θ autour de u x 1, y 1, z 1 par rotation propre ϕ autour de z 1 Vecteur vitesse de rotation : Ω (R/ ) = ϕ z 1 + θ u + Ψ z 0 omposition des vitesses : Ω (R1 /R 0 ) = Ω ( /R 1 ) Ω (R1 /R 0 ) = Ω (R1 /R 2 ) + Ω (R2 /R 0 ) R 1 = Ω (/ ) = Ω (R1 /R 0 ) Matrices des angles d Euler : cosψ sinψ 0 Précession Ψ : sinψ cosψ Nutation θ : cosθ sinθ 0 sinθ cosθ cosϕ sinϕ 0 Rotation Propre ϕ : sinϕ cosϕ

2 2 inématique inématique : Etude du mouvement (vitesses et accélérations) sans prendre en considération les efforts qui provoquent ce mouvement. 2.1 hamps des vitesses et accélérations Méthodes de dérivation : Repère Vitesse Accélération Absolu R 0 (O,x 0,y 0,z 0 ) v A(/ ) = d O 0 A = x 0x0 + y 0y0 + z 0 z0 a A(/ ) = d v A(/ ) = d2 O0 A 2 Relatif R 1 (O,x 1,y 1,z 1 ) v A(/R1 ) = d O 1 A = x 1x1 + y 1y1 + z 1 z1 a A(/R1 ) = d v A(/R1 ) = d2 O0 A 2 R1 R1 R1 Torseur cinématique : onsidérons { le mouvement d un solide 2 par rapport à un solide 1. Ω On obtient le torseur {V 2 / 1 } = (2 / 1 ) A v A(2 / 1 ) Formule de transport : v A(2 / 1 ) = v O(2 / 1 ) + AO Ω (2 / 1 ) Formule de Bour : v M(/ ) = d O 1 M = d O 1 M + Ω (R1 /R 0 ) O 1 M R1 omposition des vitesses : v A(2 /R 0 ) = v A(2 / 1 ) vitesse relative + v (A 1 /R 0 ) vitesse d entraînement La vitesse d entraînement représente la vitesse de 1 par rapport à R 0 en considérant un point considéré fixe appartenant à 1. Il s exprime par un transport depuis un point matériel existant sur 1. omposition des accélérations : a A(2 /R 0 ) = a A(2 / 1 ) accélération relative + a A(1 /R 0 ) +2Ω (1 /R 0 ) v A(2 / 1 ) accélération d entraînement accélération de oriolis 2

3 3 Géométrie des masses 3.1 Masse et centre de masse Expression de la masse : m = dm = ρdτ avec ρ et dτ masse et élément volumiques/surfaciques/linéiques Définition du centre de masse G : Localisation du centre de masse : G = GMdm = 0 Mdm dm = m imi i m i i 3.2 Opérateur d inertie Moment d inertie par rapport à un axe: Il caractérise la répartition de matière autour d un axe ( ) lié à. onsidérons un point H de ( ) projeté du point P de. Expression : I O = PH 2 dm = r 2 dm Produit d inertie par rapport à deux axes : Dans un cas sans symétrie matérielle, il caractérise la répartition de matière selon un plan formé par deux axes. Expression : I Oxy = xydm Opérateur ou matrice d inertie : I O u = ( OP u ) OP dm (y 2 + z 2 )dm xydm xzdm A F E Expression : I O = F B D = I Ox I Oxy I Oxz I Oxy I Oy I Oyz = xydm (x 2 + z 2 )dm yzdm E D I Oxz I Oyz I Oz xzdm yzdm (x 2 + y 2 )dm Théorème de Huygens : m ( b 2 + c 2) mab mac Expression : I O = I G + avec = mab m ( a 2 + c 2) mbc mac mbc m ( a 2 + b 2) 3

4 4 inétique 4.1 Torseur cinétique { P Expression : { (/ )} = (/ ) σ (/ ) Quantité de mouvement : P (/ ) = = v M(/ )dm M v M(/ )dm v M(/ )dm = m v G(/ ) Moment cinétique : σ (/ ) = M v M(/ )dm = I O1 Ω (/ ) + mg v O1(/ ) + mo 1 as particuliers : Théorème de Koening (O 1 = ) : σ (/ ) = O 1 = et fixe : σ (/ ) = I Ω (/ ) = G : σ G(/ ) = IG Ω (/ ) 4.2 Torseur dynamique Expression : { (/ )} = { h (/ ) δ (/ ) = a M(/ )dm M a M(/ )dm I Ω (/ ) + m G v O1(/ ) Quantité d accélération : h (/ ) = a M(/ )dm = m a G(/ ) Moment dynamique : δ (/ ) = d σ (/ ) + v (/ ) m v G(/ ) as particuliers : i fixe dans R 0 : δ (/ ) = d σ (/ ) = G : δ G(/ ) = d σ G(/ ) ( GO1 ) Ω (/ ) 4.3 Méthode de calcul cinétique (3) I G (1) σ G(/ ) (2) δg(/r 0 ) I O (4) (6) σ O(/ ) (5) (7) δ O(/ ) (1) (2) (3) σ G(/ ) = IG Ω (/ ) σ G(/ ) = d σ G(/ ) I O = I G + (4) Théorème de Koening : σ O(/ ) = IO Ω (/ ) + m OG v O(/ ) (5) δ O(/ ) = d σ O(/ ) + v O(/ ) m v G(/ ) (6) σ O(/ ) = σ G(/ ) + m OG v G(/ ) (7) δ O(/ ) = δ G(/ ) + m OG m a G(/ ) 4

5 5 Principe Fondamental de la Dynamique 5.1 Enoncé dans un référentiel galiléen Enoncé : Il existe un référentiel R 0 privilégié, absolu ou galiléen, tel que le torseur dynamique soit équivalent, à chaque instant, au torseur des actions mécaniques extérieures à. Expression : {D (/ )} = {τ } Décomposition du PFD : Théorème de la résultante dynamique : m a G(/ ) = R ( ) Théorème du moment dynamique : δ G(/ ) = M A( ) Théorème des actions mutuelles : {τ 1 2 } = {τ 2 1 } 5.2 Enoncé dans un référentiel galiléen Rappel de la composition des accélérations : a P(/ ) = a P(/R1 ) accélération relative + a A(R1 /R 0 ) +2 Ω (R1 /R 0 ) v A(/R1 ) accélération d entraînement accélération de oriolis Expression : {D (/ )} = {τ } + {D ie( R/R 0 )} + {D ic(/ )} Torseur des forces d intertie d entraînement Torseur des force de oriolis 5