Chapitre 4 : cinématique du solide rigide

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1 Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie L cinémtique est une prtie e l mécnique rtionnelle. Elle trite le mouvement mécnique uniquement e point e vue géométrique, sns tenir compte les cuses qui ont provoquées ce mouvement. L cinémtique étuie le chngement e position géométrique es corps ns le temps. r, cel ne peut ps être fit que pr rpport à un référentiel où l on pourrit éterminer l position u corps mobile. 4.1 ppels succinct sur les quntités cinémtiques pour un point mtériel Trjectoire Soit un point M repéré ns un référentiel (, pr le vecteur position à l'instnt t (Figure 4.1.) x, y, z ) fixe. S position est éterminée r x (t) r (t) y (t) (4.1) z (t) ù x(t), y(t) et z(t) sont les cooronnées u point M à l'instnt t (Figure 4.1.) M(t) est l position u point M à l'instnt t M' (t+t) est l position u point M à l'instnt (t+t) ; MM' est le vecteur éplcement u point M. () S'ppelle trjectoire u mobile pr rpport u référentiel. - Si () est une roite, le mouvement u point est rectiligne; - Si () est une courbe, le mouvement u point est curviligne. z r(t) M(t) r r(t t) M (t+t) () x y Figure 4.1. Trjectoire 'un point Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

2 ecteur vitesse Le vecteur vitesse moyenne u mobile entre les eux instnts est éfini pr : v m MM' t r t t - r (t) r t t Le vecteur à vitesse instntné est : v lim v t m r r lim t t (4.2) Ce vecteur est constmment tngent à l trjectoire et irigé ns le sens u mouvement ecteur ccélértion m Le vecteur ccélértion moyenne u mobile entre t et t+t est éfini pr : v t t - v t (t) v t L'ccélértion instntnée est : lim t m v lim t t v Mouvement circulire ²r ² (4.3) Une prticule M est nimée 'un mouvement circulire si, à tout instnt t, elle est située en un point P pprtennt à un cercle (c) e ryon r et e centre (Figure 4.2). Choisissons un repère orthonormé 'origine et e vecteurs unitires i trjectoire circulire. et j, se trouvnt ns le pln e l p y j u v P (M) u 1 i x Figure 4.2. Mouvement circulire Soit u le vecteur unitire e P (Figure 4.2), le vecteur position s'écrit : P r r u (4.4) Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

3 Soit l'ngle e rottion i, u e l prticule M u point P, est obtenu pr l érivtion e (4.4). ; supposons (t) eux fois érivble. Le vecteur vitesse v r r u r u u est le vecteur unitire p, irectement perpeniculire à u ns le pln, onc : v r p (4.5) Il est convenu e représenter le vecteur vitesse v en prennt le point P pour origine, e même que pour le vecteur ccélértion. Schnt que : p p p est le vecteur unitire u 1 opposé à u, et irectement perpeniculire à p ns le pln: p - u n clcule, le vecteur ccélértion e l prticule M u point P : v 2 r - u ² p ² - r 2 u r ² p ² (4.6) ² ² ² r ² 2 est l vitesse ngulire où le tux e rottion) ; noté ou est l'ccélértion ngulire ; noté est l'ccélértion tngentielle ; noté r est l'ccélértion normle ; noté n t emrque : Si (s) est l'bscisse curviligne e P sur le cercle, on : v soit : s Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

4 v p s p t ² ² ²s ² n 2 v² v² u ²s p ² ù est le ryon e courbure e l trjectoire en P; le centre e courbure est sur l normle orientée suivnt u en P. Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

5 4.2 Cinémtique u corps solie Notion 'un solie prfit Un solie (S) prfit, est un ensemble 'éléments mtériels, ont les istnces mutuelles ne vrient ps u cours u temps. Pr conséquent, les vitesses entre ces points se ne sont ps inépenntes. D ici, l cinémtique u solie trite l istribution es vitesses es points ns un corps, inépenmment es cuses qui ont engenrées le mouvement u solie Torseur cinémtique istribution es vitesses Chmp es vitesses 'un solie en mouvement chque point u solie (S), on peut ssocier son vecteur vitesse éfini pr : / (4.7) L éfinition un solie prfit entrîne que l érivée pr rpport u temps e l istnce entre eux e ses points quelconques et B est nulle : 2 B B 2 B. 2 B. B z z B y x y x (S) Figure 4.3. Chmp es vitesses 'un solie en mouvement Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

6 Cherchons l reltion entre / et B /. D'près l formule e érivtion 'un vecteur : / S / B / / B B B D'où : B S / B B / / B S / B B / / r, B constn te Pr conséquent : B / / B S / B (4.8) C est l formule e istribution es vitesses ns un corps solie inéformble en mouvement. Elle montre que le chmp es vitesses un solie est un chmp ntisymétrique Torseur cinémtique Le torseur cinémtique exprimé u point u solie (S) ns son mouvement pr rpport u repère, est éfini pr : S S (4.9) Le vecteur libre S / est le vecteur tux e rottion instntné u solie (S) pr rpport u repère et u repère. est le vecteur vitesse u point pprtennt u solie (S) pr rpport Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

7 Chmp es ccélértions 'un solie en mouvement chque point u solie (S), on peut ssocier son vecteur ccélértion éfini pr : B / B / (4.1) Schnt que : (, B) (S) B / B / B / / S / / S / B B B / / S / B S / B r B B S / B B / / S / B S / S / B (4.11) C'est l Formule e ivls ou loi e istribution es ccélértions ns un corps solie inéformble xe instntné e rottion n ppelle xe instntné e rottion l xe centrl u torseur cinémtique. Cet xe est onc le lieu es points ont les vitesses sont prllèles u vecteur tux e rottion instntné. Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

8 tout instnt, le mouvement u solie (Figure 4.4) peut être consiéré comme l composition une rottion utour e l xe instntné e rottion (t) e vitesse et une trnsltion instntnée le long e l xe instntné e rottion e vitesse e l xe. (t), étnt un point M M trnsltion M rottion Figure 4.4. Mouvement générl un solie Nous vons vu que l xe centrl un torseur est le lieu es points où les moments sont minimux. Donc, si un solie possèe u moins eux points e vitesses nulles, l xe instntné e rottion psse obligtoirement pr ces eux points Mouvement e trnsltion Pour un mouvement e trnsltion, à un instnt onné, les vecteurs vitesses e tous les points u solie sont égux et le vecteur tux e rottion est nul (Figure 4.5.)., B,BSolie (4.12) Si les trjectoires es points u solie sont rectilignes (Figure 4.5), nous prlerons e trnsltion rectiligne. Si, e plus, leurs vitesses respectives sont constntes u cours u temps, nous urons une trnsltion rectiligne uniforme. (t) (t 1 ) (t 2 ) B(t) B(t 1 ) B(t 2 ) Figure 4.5. Mouvement e trnsltion rectiligne Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

9 4.2.4 Mouvement e rottion utour un xe fixe Le solie en rottion possèe une liison rotoïe ou pivot vec le solie e référence: chque point u solie écrit lors une trjectoire circulire utour e l'xe u rotoïe constitunt l'xe instntné e rottion (Figure 4.6). r M s vm z Figure 4.6. Mouvement e rottion utour un xe Si pprtient à l'xe fixe u vecteur irecteur z, on lors : v M M Cel est possible si z est colinéire à z, r pr éfinition, nous vons : v M s r r et :%ML* Ml*ù!m$ù z z Si un solie est soumis à l rottion utour 'un xe e vecteur irecteur z ns le sens irect, le vecteur tux e rottion instntné e ce solie s'écrit : à une vitesse z (4.13) Mouvement pln Ce mouvement est l superposition 'une rottion utour 'un xe et une trnsltion suivnt ce même xe. C'est le cs, pr exemple, u mouvement 'une vis ns un écrou. D'près l figure 4.4, le vecteur vitesse u point M s'écrit : M M (4.14) vec : Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

10 le vecteur vitesse e trnsltion u point, qui représente le mouvement e trnsltion ; le vecteur tux e rottion instntné, qui représente le mouvement e rottion Mouvement composé Dérivtion composée (ppel) Soit le repère orthonormé (,, x,y, z ). x,y, z ) lié u solie (Figure 3.12.), et un repère fixe ( ( ) z () z M y W(t) (S) y x x Figure Composition e mouvements x n étermine l expression e l érivée e ( ) pr rpport u temps t. Soit le point tel que x, on peut lors écrire : S / r, x S / S / S / S / n onc, plus générlement, l formule e bse mobile : x x / x S y / y S (3.15) Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

11 z S z / Soit un vecteur W W(t) représenttif une grneur physique vrible ns les repères et (Figure 3.12) et ns le temps. Soient x, y et z les composntes e W ns u temps t, on écrit : W(t) x (t)x y (t)y z (t) z W(t) Soient x, y et z les composntes e W ns u temps t: x(t)x y(t)y z(t)z n ppelle érivée e W(t) pr rpport à t ns les repères et respectivement : W(t) x Et, (t)x y (t)y z W(t) x(t)x y(t)y z(t)z (t)z L érivée e W (t) exprimé ns le repère pr rpport à t et pr rpport à s écrit: W(t) x y z xx yy zz x y z W(t) W(t) x y z x y z W(t) W(t) W(t) x W(t) S / x y y z z S / S / S / xx yy zz D où l règle e érivtion composée ou règle e érivtion ns un repère mobile : W(t) W(t) S / W(t) (3.16) Dns le cs prticulier où W(t) S /, nous remrquons que : 1 Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

12 1 S/ 1 S/ Composition e vitesses Soit le repère bsolu et le repère reltif. Le vecteur vitesse bsolue un point M quelconque (non forcément lié u solie, figure (3.11), ser noté : M / M Le vecteur vitesse reltive un point M u solie (S) ser noté ns le repère : M / M Le vecteur position bsolue u point M pr rpport u repère est noté : M M D où M / M M Tennt compte l reltion (3.16) qui onne l érivée 'un vecteur mobile pr rpport u repère fixe, M M D où : S / M M M / S / S / Cette reltion evient : M / M / S / M S / M (3.17) M / r (M ) e (M ) Le vecteur vitesse bsolue M / est le vecteur vitesse u point M pour un observteur lié u repère bsolu (fixe). Cette vitesse peut être écomposée en eux prties : Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

13 - L vitesse reltive : (M) r M / C'est l vitesse u point M pour un observteur lié u repère reltif (mobile). - L vitesse entrînement : e (M) S / S / M C'est l vitesse u point M pprtennt à et qui coïncie à l'instnt t vec le point M Composition ccélértions - ccélértion bsolue M / n noter le vecteur ccélértion bsolue pr : 2 M 2 M / n lors pour simplifier l écriture M / M / S / M / S / : M M / S / M / M M En tennt compte e l reltion (3.16) e l érivée 'un vecteur mobile pr rpport u repère fixe, M / M / M / M/ M / D où le vecteur ccélértion bsolue u point M, s'écrit : M/ M S/ M M M/ Nous pouvons onc le réécrire sous l forme : ù : M / M M S / 2 M / (3.18) M / r (M) c (M) e (M) Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL

14 Cette ccélértion bsolue peut être écomposée en trois prties : - l ccélértion reltive (M) r M / C'est le vecteur ccélértion u point M pour un observteur lié u repère reltif. - l ccélértion entrînement (ccélértion e M pr rpport à si M est supposé fixe ns ) : e (M) / M M Elle s obtient ussi pr l ppliction e l formule e ivls (3.11) entre et M, rigiement lié à ns le mouvement entrînement. - L ccélértion complémentire où e Coriolis (M) 2 c M / L ccélértion e Coriolis est nulle si et seulement si : - le vecteur tux e rottion u repère reltif pr rpport u repère bsolu est nul : - l vitesse reltive u point consiéré est nulle : (M) r M / -l vitesse reltive est colinéire u vecteur tux e rottion : // M / Chpitre 4 : cinémtique u solie rigie (214/215) Licence Génie Civil Prof. Dr. mr KSSUL