Compléments autour de la notion d indépendance

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1 Compléments autour de la notion d indépendance 1 Tribus engendrées Soit Ω un ensemble. On note P(Ω) l ensemble des parties de Ω. Une tribu T est un sous-ensemble de P(Ω) contenant l ensemble vide, stable par réunion et intersection dénombrable et par passage au complémentaire. Étant données deux tribus T 1 et T 2, on vérifie aisément que leur intersection T 1 T 2 est également une tribu. Cette tribu est constituée de toutes les parties de T 1 qui sont également dans T 2. De manière générale, l intersection d une famille quelconque de tribu (T i ) i I est une tribu. Étant donné P un sous ensemble quelconque de P(Ω) (c est à dire que les éléments de P sont des parties de Ω) on note σ(p ) l intersection de toutes les tribus qui contiennent P : σ(p ) := T. Par définition σ(p ) est la plus petite tribu contenant P, en particulier P σ(p ). Si P = {A j } on note aussi σ(a j, j J ) pour σ(p ). Ainsi si A est une partie de Ω, on note σ(a) pour σ({a}) et on a 1 σ(a) = {, Ω, A, A c }. P T La réunion T 1 T 2 de deux tribus n est pas, en général, une tribu. Ces éléments sont les parties de Ω qui sont soit dans T 1 soit dans T 2. On note T 1 T 2 := σ(t 1 T 2 ) la tribu engendrée par T 1 T 2. On dit aussi que T 1 T 2 est la tribu engendrée par T 1 et T 2. Notons que le "et" peut sembler trompeur car il s agit en fait de la réunion et non de l intersection de T 1 et T 2. De manière générale, la tribu engendrée par une famille quelconque (T ) i I de tribus est la tribu engendrée par la réunion des T i : ( ) T i := σ T i. i I Soit X : Ω E une application et T une tribu sur E. Le sous ensemble de P(Ω) formé des images réciproques d éléments de T par X est une tribu 2 sur Ω. On la note σ(x) et on a ainsi par définition i I σ(x) := { X 1 (A), A T }. On dit aussi que σ(x) est la tribu engendrée par l application X. C est aussi 3 la tribu sur Ω la plus petite qui rende l application X mesurable. Notons que si X est une application mesurable de (Ω, F) dans (E, T ) alors σ(x) est une sous-tribu de F. Exemple 1. Soit A F une partie mesurable de (Ω, F) ; on note 1 A l application indicatrice de A définie sur Ω et à valeurs 4 dans {0, 1} telle que 1 A (ω) = 1 si ω A et 1 A (ω) = 0 sinon. Cette application est mesurable lorsque {0, 1} est muni de la tribu P({0, 1}). Et on vérifie que σ(1 A ) = σ(a) = {, Ω, A, A c }. Ainsi la tribu engendrée par 1 A coïncide avec la tribu engendrée par A. 1. vérifier le. 2. vérifier le aussi. 3. c est évident non? 4. Comme il est souvent utile de considérer des limites de combinaisons linéaires de fonction indicatrices il est en fait plus judicieux de les définir à valeurs dans R muni de la tribu Borélienne (qui lorsqu elle est restreinte à {0, 1} redonne P({0, 1})). 1

2 Si on considère deux applications X : Ω (E, T ) et Y : Ω (E, T ) à valeurs dans des espaces mesurables (qui peuvent être distincts) on note σ(x, Y ) la tribu engendrée par σ(x) et σ(y ). Ainsi par définition σ(x, Y ) := σ(x) σ(y ) = σ (σ(x) σ(y )). On peut vérifier également que c est la la plus petite tribu sur Ω qui rend les applications X et Y mesurables. L ensemble produit E E est muni d une tribu naturelle appelée tribu produit et notée T T qui est par définition la tribu engendrée par les applications coordonnées p : E E E et p : E E E : T T := σ(p, p ). La tribu σ((x, Y )) engendrée par l application produit (X, Y ) : Ω (E E, T T ) coïncide ainsi 5 avec la tribu σ(x, Y ). De manière générale, étant donnée une famille quelconque d applications (X i ) i I définies sur un même espace Ω et chacune à valeurs dans un espace mesurable (E i, T i ) (les E i peuvent être distincts), on note σ(x i, i I) la tribu engendrée par la famille (σ(x i )) i I : σ(x i, i I) := i I σ(x i ). On dit aussi que σ(x i, i I) est la tribu engendrée par les applications (X i ) i I. C est naturellement la plus petite tribu sur Ω pour laquelle toutes les application X i sont mesurables. C est aussi la tribu engendrée par l application produit (X i ) i I : Ω ( i I E i, i I T i ) ; ainsi : 2 Indépendance σ(x i, i I) = σ((x i ) i I ). La notion d indépendance est une notion relative à une probabilité sur un ensemble mesurable. Fixons-nous donc (Ω, F, P) un espace de probabilité. On dit que deux évènements A, B F sont indépendants lorsque P(A B) = P(A)P(B). Cela signifie qu en cas d indépendance, et lorsque P(A) est non nulle, la probabilité conditionnelle de B sachant A est égale à la probabilité de B : P(B A) = P(B). Lorsque A et B sont indépendants on a en fait un peu plus d information que cela puisqu il est aisé de vérifier que nécessairement A est aussi indépendant de B c et que A c est indépendant de B. En fait n importe quel évènement de σ(a) est indépendant de n importe quel évènement de σ(b). Cela suggère la définition suivante de l indépendance entre deux tribus. Définition 1. Deux sous-tribus T et T de F sont indépendantes si tout évènement A T est indépendant de tout évènement B T. C est à dire : A T, B T, P(A B) = P(A)P(B). 5. vérifier le également. 2

3 On dit qu une famille quelconque (A i ) i I d évènements est une famille d évènements indépendants lorsque pour toute sous-famille finie J I on a P = P(A j ). A j Encore une fois, on peut vérifier 6 que lorsque les (A i ) sont indépendants on a en fait un peu plus. En effet pour toute sous-famille finie J I et n importe quel évènement C j σ(a j ) 7 on a P = P(C j ). Cela suggère la définition suivante d une famille de tribus indépendantes. C j Définition 2. Soit (T i ) i I une famille quelconque de tribus. On dit que ces tribus sont indépendantes lorsque pour toute sous-famille finie J I et tout évènement C j T j on a P = P(C j ). C j Reformulée différemment la définition affirme que (T i ) i I est une famille de tribu indépendantes si et seulement si toutes les familles (C i ) i I, où C i T i sont des familles d évènements indépendants. La remarque précédant la définition indique simplement que les évènements (A i ) i I sont indépendants si et seulement si les tribus engendrées (σ(a i )) i I sont indépendantes. Considérons maintenant une famille quelconque de variables aléatoires (X i ) i I à valeurs dans des espaces mesurables (E i, T i ), i I : X i : (Ω, F) (E i, T i ). Par définition, les variables aléatoires X i sont indépendantes si pour toute famille finie J tout C j T j (j J ) on a P {X j C j } = P(X j C j ). I et On vérifie donc immédiatement que les variables aléatoires X i sont indépendantes si et seulement si les tribus σ(x i ) sont indépendantes. Ainsi pour résumé, derrière la notion d indépendance d évènements et de variables aléatoires il y a la notion plus générale d indépendance de tribus. Ce qui est agréable avec l indépendance c est que c est une notion qui se "regroupe". On a en effet la proposition importante suivante qui découle du théorème de classe monotone. Proposition 1 (Regroupement). Soit (T i ) i I une famille de tribus indépendantes et (I k ) k K une partition 8 de I, alors ( i Ik T i ) k K est une famille de tribus indépendantes. 6. le faire. 7. ainsi C j est soit A j soit A c j soit Ω ou encore. 8. c est à dire qu on a la réunion disjointe suivante I = k K I k 3

4 Une conséquence de ce résultat est par exemple que si (X, Y, Z) sont trois variables aléatoires réelles indépendantes alors en particulier X est indépendante du couple (Y, Z). Plus généralement, on a aussi que si (X n : Ω E n ) n N est une suite de variables aléatoires indépendantes alors, pour toute partition (I k ) k K de N, ((X n ) n Ik, k K) est une famille (indexée par K) de variables aléatoires 9 indépendantes. Autrement dit on a l indépendance de tout les paquets disjoints que l on peut faire avec les (X n ) n N. De même, si (A n ) n N est une suite d évènements indépendants alors pour toute partition (I k ) k K de N, la famille (σ(a n, n I k )) k K est une famille de tribus indépendantes. 3 Retour à l exercice 2 de la feuille N 2 Soit (X n ) n N une suite de variable de Bernoulli de paramètre p ]0, 1[, indépendantes définies sur un espace de probabilité (Ω, F, P). On définit les évènements A n pour n 2 par A n = {ω Ω, X n (ω) X n 1 (ω)} = {X n X n 1 }. Remarquons que par définition A n σ(x n 1, X n ) On a alors, en décomposant selon les différentes valeurs que peut prendre X n 10 : P(A n A n+1 ) = P({X n X n1 } {X n+1 X n } {X n = 0}) + P({X n X n1 } {X n+1 X n } {X n = 1}) = P({X n = 0} {X n+1 = 1} {X n 1 = 1}) + P({X n = 1} {X n+1 = 0} {X n 1 = 0}) = (1 p)p 2 + p(1 p) 2 (par independance). D autre part puisque le couple (X n 1, X n ) à même loi que le couple (X n, X n+1 ) (cela découle du fait que les (X n ) n N sont indépendantes et identiquement distribuées) alors les évènements A n et A n+1 ont la même probabilité. On a ainsi en décomposant selon les valeurs que peut prendre X n Donc on obtient, P(A n )P(A n+1 ) = P(A n ) 2 = (P({X n = 1} {X n 1 = 0}) + P({X n = 0} {X n 1 = 1})) 2 = (2p(p 1)) 2 (par independance). P(A n A n+1 ) = P(A n )P(A n+1 ) (1 p)p 2 + p(1 p) 2 = (2p(p 1)) 2 p + 1 p = 4p(1 p) p = 1/2. Maintenant si n 1 < n 2 sont deux entiers 2 non consécutifs alors n 2 1 est différent de n 1 et donc, par la proposition de regroupement, les couples (X n1 1, X n1 ) et (X n2 1, X n2 ) sont indépendants. Puisque A n1 σ(x n1 1, X n1 ) et A n2 σ(x n2 1, X n2 ) il en découle que A n1 et A n2 sont indépendants 11. On déduit donc de ce qui précède que les évènements A n sont indépendants deux à deux si et seulement si p = 1/2. Maintenant si les A n sont indépendants (sous-entendus "dans leur ensemble") alors en particulier il s le sont deux à deux. Donc nécessairement p = 1/2. 9. chacune à valeurs dans un n I k E n. 10. Ω = {X n = 1} {X n = 0} 11. ici c est vrai pour n importe quel p. 4

5 Réciproquement, si p = 1/2 montrons que (A n ) n 2 est une famille d évènements indépendants. Nous proposons deux méthodes. 1ère méthode. Soit J une partie finie de N \ {0, 1}. Nous devons montrer que ( ) P A i = P(A i ). i J i J Considérons la plus petite 12 partition (J i ) i=1...n de J dont chaque partie J i est constituée d entiers consécutifs. On suppose que cette partition est indexée de sorte que les entiers de J i 1 sont plus petits que ceux de J i. Ainsi, pour i = 2,..., N on a que 13 min(j i ) n est pas consécutif à max(j i 1 ). Cela veut dire que min(j i ) 1 max(j i 1 ) et puisque n Ji A n σ(x min(ji ) 1, X n, n J i ) on a donc que la famille ( n Ji A n ) i=1,...,n est une famille d évènements indépendants. Donc ( ) N P A i = P. i J i=1 n J i A n Il ne reste donc plus qu à vérifier que pour une suite finie d entiers consécutifs, {n + 1,..., n + m} on a bien ( m ) m P A n+k = P(A n+k ). C est à dire a-t-on, puisque p = 1/2 et donc que P(A n+k ) = 1/2 : ( m ) ( )? 1 m P A n+k =. 2 En décomposant suivant les valeurs de X n et en utilisant l indépendance il vient ( m ) ( m { { } ) ( 0 si k pair m { { } ) 1 si kpair P A n+k = P X n+k = + P X 1 sinon n+k = 0 sinon k=0 k=0 ( ) 1 m+1 ( ) 1 m+1 ( ) 1 m = + = ème méthode. On veut donc montrer que pour toute suite d entiers 1 n 1 < n 2 <... < n k, P(A n1 A nk ) = ( ) 1 k. 2 On le montre par récurrence sur k. Si k = 1, l identité est triviale car P(A n ) = 1/2 pour tout n. Supposons que l identité est vraie au rang k. Montrons qu elle est vraie au rang k + 1. On a P(A n1... A nk+1 ) = P(A n1... A nk {X nk+1 X nk+1 +1}) (1) = P(A n1... A nk {X nk+1 = 0} {X nk+1 +1 = 1}) + P(A n1... A nk {X nk+1 = 1} {X nk+1 +1 = 0}). Comme la suite (X l ) l 1 est indépendante, on a en particulier (par regroupement) que la tribu σ(x 1,..., X nk+1 ) et la tribu σ(x nk+1 +1) sont indépendantes (Ceci veut donc dire que tout évènement de la tribu σ(x 1,..., X nk+1 ) et tout évènement de la tribu σ(x nk+1 +1) sont indépendants). Or 12. c est dire que N est minimal 13. pourquoi? 5

6 l évènement A n1... A nk {X nk+1 = 0} appartient à σ(x 1,..., X nk+1 ) tandis que {X nk+1 +1 = 1} σ(x nk+1 +1). Ainsi P(A n1... A nk {X nk+1 = 0} {X nk+1 +1 = 1}) = P(A n1... A nk {X nk+1 = 0})P(X nk+1 +1 = 1) De même, = P(A n1... A nk {X nk+1 = 0}) 1 2. P(A n1... A nk {X nk+1 = 1} {X nk+1 +1 = 0}) = P(A n1... A nk {X nk+1 = 1})P(X nk+1 +1 = 0) Donc, en revenant à (1), on obtient = P(A n1... A nk {X nk+1 = 1}) 1 2. P(A n1... A nk+1 ) = ( P(A n1... A nk {X nk+1 = 0}) + P(A n1... A nk {X nk+1 = 1}) ) 1 2. On remarque que P(A n1... A nk {X nk+1 = 0}) + P(A n1... A nk {X nk+1 = 1}) = P(A n1... A nk ). Donc, P(A n1... A nk+1 ) = P(A n1... A nk ) 1 2. Il suffit d appliquer l hypothèse de récurrence pour terminer la récurrence. 6