Méthodes numériques d optimisation
|
|
- Norbert Sergerie
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Méthodes numériques d optimisation Marie Postel 1 Laboratoire Jacques-Louis Lions Université Pierre et Marie Curie, Paris 6 Version septembre marie.postel@upmc.fr, http :// 1
2 Table des matières Bibliographie 3 1 Introduction Définition du problème d optimisation Rappels de calcul différentiel Exercices Minimisation sans contraintes 10.1 Conditions d optimalité dans le cas sans contraintes Résolution de systèmes d équations non linéaires Méthodes de descente Algorithmes de minimisation sans dérivées Exercices sur l optimisation sans contraintes Optimisation avec contraintes Conditions d optimalité pour l optimisation avec contraintes d égalité Conditions d optimalité pour l optimisation avec contraintes d inégalité Algorithmes pour l optimisation avec contraintes Exercices sur l optimisation avec contraintes Introduction à l optimisation stochastique Optimisation déterministe ou stochastique Méthode du recuit simulé Algorithmes évolutionnaires et méthode CMAES Les algorithmes génétiques A Prise en main de Matlab A-1 A.1 Le système Matlab...A-1 A. Les variables A-1 A.3 Graphisme A-4 A.4 Fonctions et macros A-6 A.5 Structures de contrôle A-9 A.6 Types de données complexes A-11 B Exemples d implémentation et outils Matlab B-1 B.1 Méthodes de recherche de racines B-1 B. Méthodes de recherche du minimum en dimension B.3 Boite à outils optimisation de Matlab... 4
3 Références [1] Bonnans, J.F., Gilbert, J. C., Lemaréchal, C. et Sagastizábal. C. (006) Numerical optimization, theoretical and practical aspects. Springer Verlag. En français chez Springer : Optimisation numérique, Aspects théoriques et pratiques [] Delbos, F. et Gilbert, J. Ch. (005) Global linear convergence of an augmented Lagrangian algorithm for solving convex quadratic optimization problems. Journal of Convex Analysis, 1, 45D69. 5, 6, 31 [3] Fadda, A. et Schoenauer, M. (1996) Evolutionary chromatographic law identification by recurrent neural nets. In L. J. Fogel, P. J. Angeline et T. Bäck, Editeurs, Evolutionary Programming V - Proceedings of the Fifth Annual Conference on Evolutionary Programming, pages MIT Press. [4] Hansen, N. et Ostermeier, A. (001) Completely derandomized self-adaptation in evolution strategies. Evolutionary Computation, 9() : [5] Site web du logiciel CMAES. [6] Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D. et Vecchi, M. P. (1983) Optimization by Simulated Annealing. Science. New Series 0 (4598) : 671 [7] Lelong-Ferrand, J. et Arnaudies, J.-M. (1977) Cours de mathématiques, Tome, Analyse, Dunod Université [8] Nocedal, J. et Wright, S. J. (006) Numerical Optimization, Second Edition, Springer [9] Privat. Y. Cours d Optimisation : aspects théoriques et algorithmes. fr/privat/ [10] Schoenauer, M. Optimisation stochastique. TAO, Inria Futurs. 3
4 1 Introduction 1.1 Définition du problème d optimisation Dans le cadre de ce cours on étudie les problèmes d optimisation continue qui consistent à trouver les extrema d une fonction f(x) définie sur K V à valeur dans R, où V est un espace vectoriel normé. On s intéresse à la détermination de 8 inf f(x) >< s.c. c (P ) E x)=0 s.c. c >: I (x) apple 0 x R n avec f : R n! R, c E : R n! R m, c I : R n! R p, f c régulières. Les contraintes d égalité ou d inégalité s exprimeront parfois également sous la forme d une contrainte d appartenance à une partie convexe K R n. Dans le cas où le minimum de f est atteint on utlisera la notation Les applications pratiques sont diverses min f(x). xk Etats d équilibre de systèmes physiques : la propagation d ondes (lumineuses ou acoustiques) peut se modéliser par des parcours minimisant le temps de trajet ; la structure d une protéine est celle qui minimise l énergie potentielle intramoléculaire ; le problème de la chaînette décrit la courbe d équilibre d une ligne (chaîne ou câble) suspendue entre deux points, homogène, inextensible, sans rigidité en flexion, soumise à son seul poids. Etats d équilibre économiques : du point de vue du consommateur (équilibre entre la consommation et le travail), du point de vue du producteur (optimisation d un plan de production en fonction des prix de revient et de vente des biens produits) Contrôle : la fonction f mesure les performances ou le coût d un système physique, le vecteur x mesure les paramètres du système qu on peut faire varier. Exemple : f consommation d une voiture, x forme du véhicule, puissance du moteur, vitesse. Identification de paramètres : la fonction f mesure la différence entre des observations dépendant de paramètres inconnus et les mêmes quantités calculées à partir d un modèle. Exemple : échographie. f est la différence entre les signaux sonores mesurés et ceux renvoyés par un obstacle connu. x module de compressibilité acoustique du milieu observé. Dans tous les cas, il est nécessaire de relier les paramètres à la fonction à minimiser par l intermédiaire d un modèle Définition du minimum Appelons Y = {x K, c E (x) =0,c I (x) apple 0} (1.1) l ensemble des vecteurs vérifiant toutes les contraintes. On dira que x? Y réalise un minimum local s il existe ">0 tel que f(x? ) apple f(x) pour tout x Y t.q. x x? apple ".. par opposition à l optimisation combinatoire ou discrète où la fonction à minimiser est définie sur un ensemble discret, par exemple N n 4
5 un minimum local strict ou isolé s il existe ">0 tel que un minimum global si un minimum global strict ou isolé si f(x? ) <f(x) pour tout x Y t.q. x 6= x? et x x? apple ". f(x? ) apple f(x) pour tout x Y. f(x? ) <f(x) pour tout x Y t.q. x 6= x?. On dit parfois que x? est un minimum de f(x), mais c est un abus de langage. Le terme exact, si x? réalise un minimum de f, est qu il est un minimiseur de f, qu on note x? = argmin f(x) xy Dans le cas où la fonction objectif présente un minimum de régularité, on peut énoncer le résultat suivant Théorème 1.1. Soit une fonction f continue sur un sous ensemble C fermé de R n. Si l une des hypothèses suivantes est vérifiée C est borné, C est non borné et f coercive (lim x!1 f(x) =+1), alors f admet un minimum sur C 1.1. Deux classes de méthodes Méthodes déterministes : utilisation des propriétés de régularité de la fonction objectif, méthodes de descente avantages : rapidité inconvénient : possibilité d être piégé près d un minimum local Méthodes stochastiques : exploration aléatoire du domaine de recherche, pas besoin de régularité avantages : robustesse, minimum global inconvénient : lenteur Le chapitre présente les méthodes déterministes pour l optimisation sans contraintes. Les méthodes d optimisation avec contraintes sont présentées au chapitre 3.1 pour les contraintes d égalité et au chapitre 3.3 pour les contraintes d inégalité. Enfin le chapitre 4 aborde les méthodes d optimisation stochastiques. 1. Rappels de calcul différentiel Les méthodes d optimisation utilisant les propriétés de régularité des fonctions qu on cherche à minimiser, nous commençons par des rappels de ces propriétés Différentiabilité au premier ordre Définition 1.1. Soit f une application de R n dans R n0 On dit que f est différentiable au sens de Fréchet en x s il existe une application linéaire L continue de R n dans R n0 telle que pour tout h R n f(x + h) =f(x)+l(h)+o( h ), et on note Df(x) =L la différentielle de f au point x. 5
6 Définition 1.. On dit que f est différentiable au sens de Gâteaux en x si pour tout h R n, la fonction g(t) = f(x + th) est dérivable. On note Df(x) l application différentielle de f en x qui s applique à h R n Df(x)h = df (x + th). dt t=0 Quelques définitions et propriétés s appliquant aux fonctions différentiables Si une fonction est différentiable (au sens de Fréchet) alors sa différentielle au sens de Gâteaux existe (la réciproque n étant pas toujours vraie). Si V est un espace de Hibert, si f est différentiable, le théorème de représentation de Riez conduit à la définition du gradient de f : rf(x) V Dérivée directionnelle de f dans la direction d R n hrf(x),yi = Df(x)y. lim!0 f(x + d) f(x) = hrf(x),di. Direction de descente d R n hrf(x),di < Si V = R n le gradient est le vecteur des dérivée j. j=1,...n On dit qu une fonction f : U R n! R est de classe C k si toutes ses dérivées partielles jusqu à l ordre k existent et sont continues sur U Et enfin rappelons les formules de Taylor Théorème 1.. Formules de Taylor au premier ordre : Soit U un ouvert d un espace vectoriel E et f : U! F une application différentiable de U dans un espace vectoriel F. S il existe k 0 tel que rf(x) apple k pour tout x U alors quels que soient x, y U tels que le segment [x, y] U on a f(y) f(x) apple k y x. (1.) Soit f : R n! R différentiable sur S centrée en x. Pour tout d R n t.q. x + d S il existe [0, 1] t. q. f(x + d) =f(x)+hrf(x + d),di. (1.3) Si de plus rf(x) est localement lipchitzienne, notons d R n t.q. x + d S (x) sa constante de Lipschitz locale, on a pour tout f(x + d) f(x) hrf(x),di apple (x) d. (1.4) 1.. Différentiabilité au second ordre Définition 1.3. Soit une fonction f différentiable sur V. f est deux fois différentiable en x 0 s il existe une application linéaire L(x 0 ):V! V 0 telle que Df(x 0 + h) =Df(x 0 )+L(x 0 )h + o( h V ) V 0, où V 0 désigne le dual topologique de V. La différentielle seconde de f, notée D f(x 0 ), est l application L(x 0 ): V! V 0 6
7 Définition 1.4. Soit une fonction f deux fois différentiable sur R n. Le gradient de f est une fonction de R n dans R n. On peut calculer ses dérivées partielles et former ainsi la matrice hessienne ou le hessien a de f, de R n dans R n f(x) Hf(x) j. i,j=1,...n a. En français, hessien ou hessienne ne prend pas de majuscule ni comme adjectif ni comme nom, contrairement à l anglais Théorème 1.3 (de Schwarz). Si la fonction f est deux fois différentiable, sa matrice hessienne est symétrique. Théorème 1.4 (Formule de Taylor au second ordre). Soit f : R n x. pour tout d R n t.q. x + d S, il existe [0, 1] t. q.! R deux fois différentiable sur S centrée en f(x + d) =f(x)+hrf(x),di + 1 hhf(x + d)d, di. (1.5) on suppose en plus que Hf(x) est lipschitzienne, notons (x) sa constante de Lipschitz locale, on a alors pour tout x f(x + d) f(x) hrf(x),di 1 hhf(x)d, di apple 1 (x) d 3. (1.6) On rappelle enfin le résultat général ([7]) Théorème 1.5 (Formule de Taylor à l ordre p). Soit f : E! F, p fois différentiable et telle que f (p) (x) apple k sur S E centrée en x. Alors pour tout d tel que x + d S on a f(x + d) f(x) p 1 X q=1 f (q) (x)(d,..., d) apple k 1 {z } p! d p. q fois 1..3 Cas des fonctions convexes Définition 1.5. Un ensemble C est dit convexe si 8x, y C8 [0, 1], x+(1 )y C. Une fonction f : C! R est convexe ssi pour tout x, y C, f( x +(1 )y) apple f(x)+(1 )f(y), 8 [0, 1]. strictement convexe ssi pour tout x, y C, x 6= y f( x +(1 )y) < f(x)+(1 )f(y), 8 ]0, 1[. 7
8 Proposition 1.1. Soit f une fonction définie sur un convexe C R n différentiable à valeurs réelles. La fonction f est convexe si et seulement si 8(x, y) C, hrf(x),y xi applef(y) f(x). strictement convexe si et seulement si 8(x, y) C,x6= y, hrf(x),y xi <f(y) f(x). La propriété de convexité forte (ou ellipticité) permettra d obtenir par la suite des résultats de convergence de certains algorithmes Définition 1.6. Soit K V un convexe. Une fonction f : K! R est dite fortement convexe ou uniformément convexe ou -convexe ou -elliptique s il existe >0 tel que 8(x, y) K, 8 [0, 1], f( x +(1 )y) apple f(x)+(1 )f(y) (1 ) x y. Suivant la régularité de la fonction f on a des caractérisations de sa convexité forte grace au théorème suivant Théorème Si f : V! R est continue, les propriétés suivantes sont équivalentes (a) f est -elliptique x + y (b) Pour tout (x, y) V, f apple f(x)+f(y) x y 8. Si f : V! R est différentiable, les propriétés suivantes sont équivalentes (a) f est -elliptique (b) Pour tout (x, y) V, f(y) f(x)+hrf(x),y xi + x y (c) Pour tout (x, y) V, hrf(y) rf(x),y xi x y 3. Si f : V! R est deux fois différentiable, les propriétés suivantes sont équivalentes (a) f est -elliptique (b) Pour tout (x, h) V, hh f(x)h, hi h 1.3 Exercices Exercice 1.1. Soit la fonction de R 3 dans R f(x) =sinx 1 sin x sin x Trouver l(x) linéaire et c>0 tels que. Trouver q(x) quadratique et c>0 tels kf(x) l(x)k applec x 8x V(0) kf(x) q(x)k applec x 3 8x V(0) Exercice 1.. Calculer le gradient et le hessien des fonctions suivantes en 0 et dire si la matrice hessienne est définie positive en ce point. 1. f : R 3! R, f(x) =sin(x 1 )e x (1 + x 3 ). f : R 3! R, f(x) =e x 1 (1 x )tg x Exercice 1.3. Calculer le gradient et le hessien des fonctions suivantes Fonction linéaire ou affine Une fonction f : R n! R est dite affine si elle s écrit f(x) =hc, xi + d ; où c R n est un vecteur de constantes et d R. Une fonction f : R n! R m est affine si chacune de ses composantes f i : R n! R,i= 1...m, est affine. Dans ce cas, elle peut s écrire f(x) =Ax + b où A R n m est une matrice et b R m un vecteur. 8
9 Fonction quadratique Une fonction f : R n! R sera dite quadratique si elle peut s écrire f(x) = 1 hx, Qxi + hb, xi + c où Q est une matrice symétrique n n, b R n et c R. Montrer de plus que si la matrice Q définie positive alors f est strictement convexe. Exercice 1.4. (d après [7]) Pour chacun des choix suivant de la norme N sur R n déterminer l ensemble des points sur lequel N est différentiable et calculer sa différentielle. N est la norme euclidienne nx N(x) = x i i=1 N(x) =sup x i i=1 Exercice 1.5. (d après [7]) Soit f la fonction numérique définie sur R n par f(x, y) = (x + y) p x + y sin f(0, 0) = 0 1 p si (x, y) 6= (0, 0) x + y La fonction f est-elle continue à l origine? Y admet-elle des dérivées partielles? Est-elle différentiable en ce point? Exercice 1.6. (d après [7]) Soit f la fonction numérique définie sur R par f(x, y) = x 3 y 3 x si (x, y) 6= (0, 0) + y f(0, 0) = 0 Montrer que f est de classe C 1. Admet-elle une différentielle à l origine? Exercice 1.7. Soit Q = {(x, y) R, 0 apple x apple, 0 apple y apple }, et soit K la fonction numérique définie sur Q par x( y) si x apple y K(x, y) = y( x) si y<x 1. Montrer que K est différentiable en tout point (x 0,y 0 ) intérieur de Q tel que x 0 6= y 0 et calculer sa différentielle. Montrer rigoureusement d autre part que K n est pas différentiable en tout point (x 0,x 0 ) quel que soit x 0 ]0, [ (on pourra raisonner par l absurde). 3. Montrer que la fonction K atteint sa borne supérieure en un point de Q que l on calculera. Exercice 1.8. Soit E l espace vectoriel constitué par les fonctions bornées f : R! R admettant des dérivées premières et secondes bornées. On munit E de la norme f =sup f(x). xr 1. Pour chaque E montrer que l application : E! E, f! fo est linéaire et continue.. Pour chaque E montrer que l application : E! E, f! of est différentiable et calculer sa différentielle. Exercice 1.9. [Contre-exemple de Peano] Soit la fonction f : R! R définie par ( xy(x y ) si (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) =f(x, y) = x +y 0 sinon. 1. Calculer les dérivées premières de f pour (x, 0), x 6= 0et (0,y), y 6= 0. Calculer la matrice hessienne en (0, 0) 3. Calculer les dérivées secondes de f pour (x, y) 6= (0, 0) 4. f est-elle différentiable? de classe C 1? deux fois différentiable? de classe C? 9
Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h
Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailLicence de Mathématiques 3
Faculté des sciences et techniques Département de mathématiques 2004-2005 Licence de Mathématiques 3 M62 : Fonctions réelles de plusieurs variables Laurent Guillopé www.math.sciences.univ-nantes.fr/~guillope/m62/
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et changements de variables
Notes du cours d'équations aux Dérivées Partielles de l'isima, première année http://wwwisimafr/leborgne Fonctions de plusieurs variables et changements de variables Gilles Leborgne juin 006 Table des
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1
Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences
Plus en détailProgrammation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailMATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailC1 : Fonctions de plusieurs variables
1er semestre 2012/13 CPUMP 3 U 11 : Abrégé de cours Compléments Analyse 3 : fonctions analytiques Les notes suivantes, disponibles à l adresse http://www.iecn.u-nancy.fr/~bertram/, contiennent les définitions
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailAOT 13. et Application au Contrôle Géométrique
AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailUNIVERSITE DES ANTILLES et DE LA GUYANE Campus de Fouillole BP250-97157 Pointe-à-Pitre Cedex CONTRAT 2010-2013 LE MASTER NOM DU DOMAINE STS
UNIVERSITE DES ANTILLES et DE LA GUYANE Campus de Fouillole BP20-9717 Pointe-à-Pitre Cedex CONTRAT 2010-201 LE MASTER NOM DU DOMAINE STS Mention : Mathématiques Implantation : Guadeloupe FICHES DESCRIPTIVES
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail