Exercice 1 Voici deux programmes de calcul. Programme A Choisir un nombre. Lui ajouter 2. Multiplier le résultat par le nombre de départ.

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1 Exercice 1 Voici deux programmes de calcul. Programme A Lui ajouter 2. Multiplier le résultat par le nombre de départ. Programme B Calculer le carré du nombre de départ. Ajouter le double du nombre de départ. 1) On choisit 5 comme nombre de départ. a) Calculer le résultat obtenu avec le programme A. (5 + 2) 5 = 7 5 = 35 b) Calculer le résultat obtenu avec le programme B. 5² = = 35 2) On choisit 4 comme nombre de départ. Quel est le résultat obtenu avec chacun des deux programmes? Avec le programme A : ( 4 + 2) ( 4) = ( 2) ( 4) = 8 Avec le programme B : ( 4)² + 2 ( 4) = 16 + ( 8) = 8 3) On choisit 3 1 comme nombre de départ. Calculer le résultat obtenu avec chacun des deux programmes. Avec le programme A : ( ) 1 3 = ( ) 1 3 = = 7 9 Avec le programme B : ( 1 3 ) = = = 7 9 4) A partir des questions précédentes, que remarque-t-on? Etablir une conjecture. On remarque que pour ces trois essais, les programmes A et B donnent le même résultat. 5) Prouver que les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ. Expression littérale du programme A : (n + 2) n Expression littérale du programme B : n² + n 2 = n² + 2n On développe l expression littérale du programme A : (n + 2) n = n n + 2 n = n² + 2n On retrouve l expression littérale du programme B. On a prouvé que quel que soit le nombre choisi au départ, les programmes A et B donnent le même résultat

2 Exercice 2 Des élèves participent à un cross. Avant l épreuve, un plan a été affiché. Il est représenté ci-dessous : On peut y lire les indications suivantes : AB = 400m AC = 300m Il est précisé que : L angle  est droit. CD = AC 2 Les points A, B, E sont alignés. Les points A, C, D sont alignés. La droite (BC) est parallèle à la droite (DE). Quelle est la longueur du parcours ABCDE? Expliquer le raisonnement et la démarche. Dans le parcours ABCDE, on connaît la longueur AB (400m). Calcul de la longueur BC Le triangle ABC est rectangle en A donc il vérifie l égalité de Pythagore. AB² = 400² = AC² = 300² = Ainsi BC² = = Donc BC = 500 (utilisation de la racine carrée ou 500² = ). La longueur BC mesure 500 m. Calcul de la longueur CD CD = AC 2 = = 600. La longueur CD mesure 600 m. Calcul de la longueur DE Les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès. AC AD = AB AE = BC DE Ainsi 300 AD = 400 AE = 500 DE. AD = AC + CD = = 900. On déduit que 300 = DE DE = (produit en croix ou simple multiplication par 3). La longueur DE mesure m. Parcours ABCDE AB + BC + CD + DE = La longueur du parcours ABCDE est donc m ou 3 km. Exercice 3 1) L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier. «L égalité 7 x + 3 = 10 x est vraie pour toute valeur.» Pour x = 2, on obtient = = = 17 d une part et 10 2 = 20 d autre part. Donc l égalité est fausse pour x = 2. On a trouvé un contre-exemple. L affirmation est fausse. OU toute explication indiquant que 7 x + 3 ne se réduit pas (priorité non calculable entre 7 et x) 2) L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier. «L égalité 3 x (9 2 x) = 27 x 6 x² est vraie pour toute valeur.» On développe le membre de gauche : 3 x (9 2 x) = 3 x 9 3 x 2 x = 27 x 6 x² Donc l égalité 3 x (9 2 x) = 27 x 6 x² est vraie pour toute valeur. Donc l affirmation est vraie

3 Exercice 4 Un sac opaque contient 7 billes bleues, 3 rouges et 10 jaunes. On tire une bille du sac et on suit les règles suivantes : Tirer une bille rouge rapporte 5. Tirer une bille bleue rapporte 2. Tirer une bille jaune ne rapporte rien. Déterminer la probabilité de gagner : a) 5 ; Gagner 5 revient à tirer une boule rouge. La probabilité de gagner 5 est donc b) au moins 2 ; Gagner au moins 2, c est gagner 2 ou 5 donc tirer une boule bleue ou une boule rouge. La probabilité de gagner au moins 2 est donc = 10 = c) moins de 5. Gagner moins de 5, c est gagner 2 ou ne rien gagner donc cela revient à tirer une boule bleue ou une boule jaune. La probabilité de gagner moins de 5 est donc = Exercice 5 Un artisan fabrique des bougies en forme de pyramide. Les pyramides ont une base carrée de côté 8 cm et une hauteur de 15 cm. Il a encore en stock 10 litres de cire. 1) Quelle est la quantité de cire nécessaire pour fabriquer une bougie? 2) Avec son stock, combien de bougies l artisan peut-il fabriquer? 1) On calcule le volume d une pyramide. Aire de la base carrée = 8 cm 8 cm = 64 cm². Volume de la pyramide = 64 cm² 15 cm : 3 = 320 cm 3. Il faut 320 cm 3 de cire pour fabriquer une pyramide. Aide : 1 litre = cm 3 2) 10 L = cm : 320 = 31,25 Ou par essai erreur : pour fabriquer 31 bougies, il faut cm 3. Pour fabriquer 32 bougies, il faut cm 3. Avec son stock de cire, l artisan peut réaliser 31 bougies

4 Exercice 6 Lucie a accroché à un mur vertical une étagère de longueur 16 cm en la soutenant par un support de longueur 34 cm. Max, le compagnon de Lucie lui dit : «Si je pose un livre sur ton étagère, je suis sûr qu il va tomber.» Lucie mesure alors sur le mur la distance entre l endroit où est fixée l étagère et l endroit où est fixé le support. Elle trouve 30 cm. Lucie répond à Max : «Mon étagère est bien horizontale, ton livre ne bougera pas.» Lequel des deux a raison? Justifier la réponse. Modélisation : l élève indique trois points pour préciser les sommets du triangle ou bien fait référence aux trois longueurs par les mots «mur», «étagère» et «support». ME² = 16² = 256 ES² = 34² = MS² = 30² = = Donc le triangle EMS (ou formé par l étagère, le support et le mur) vérifie l égalité de Pythagore. Donc le triangle EMS est rectangle en M. Ainsi l angle entre l étagère et le mur est droit. Lucie a raison, l étagère est bien horizontale

5 Exercice 7 Voici un programme réalisé avec le logiciel Scratch. 1) Dans quelle variable le nombre choisi par l utilisateur est-il stocké? Recopier le bloc. Le nombre choisi par l utilisateur est stocké dans la variable Réponse. 2) L utilisateur choisit le nombre 10. a) Quelle est la valeur de la variable A à la fin du programme? Ecrire les calculs. (10 + 5) 4 3 = = 60 3 = 57 A la fin du programme, la valeur de la variable A est 57. b) Le chat dit-il la valeur de la variable A à la fin du programme? Justifier. Le chat ne dit pas la dernière valeur de la variable A à la fin du programme car le bloc Dire A pendant 2 secondes n est pas placé à la fin du programme ou car la variable A subit encore une opération après le bloc Dire A pendant 2 secondes. c) Que faut-il modifier dans le programme pour que le chat dise le résultat final? Pour que le chat dise le résultat final, il faut déplacer le bloc Dire A pendant 2 secondes et le placer à la fin après la dernière opération (après le bloc Mettre A à A 3). 3) Ecrire un programme de calcul qui peut être associé au programme réalisé avec Scratch. Voici un programme de calcul qui peut être associé au programme réalisé avec Scratch. Lui ajouter 5. Multiplier le résultat par 4. Soustraire 3 au résultat