Ordonnées des sommets d une chaîne de cercles bitangents à une parabole

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1 Ordonnées des sommets d une chaîne de cercles bitangents à une parabole Pierre L. Douillet 4 décembre 206 Résumé Le présent document est une contribution à un échange de courrier ayant eu lieu sur la liste de diffusion ups-maths. Il y est question de paraboles, de chaînes de carreaux inscrits et de chaînes de cercles bitangents. La propriété de progression géométrique des ordonnées qui est développée ci-après ne révolutionne pas la géométrie euclidienne, mais ne semble pas avoir déjà été signalée. Nous avons essayé d en donner un exposé aussi clair que possible. Table des matières Introduction. L.G. Vidiani Fri, 9 Jul 2002) L.G. Vidiani Fri, 6 Aug 2002) Isabelle Selon Sat, 7 Aug 2002) Claude Morin Limoges Mon, 9 Aug 2002) Cercles bitangents à une parabole 2 2. Formule générale Exemple fondamental Exemple limite Une chaîne de cercles 3 3. Sens de parcours Équation d évolution Interprétation du cas spécial Les carreaux inscrits 4 4. La relation de récurrence de l exercice Choisir la bonne variable Lien avec les chaînes de cercles Le cas spécial Transformations 5 5. Inversion Cycles remarquables Description de la chaîne Introduction. L.G. Vidiani Fri, 9 Jul 2002) L exercice 328 de la rms a pour énoncé : Soit P) la parabole y 2 = 2 p x, p > 0. On se donne M x, 0) avec x 0. Montrer qu il existe un unique point M x, 0) avec x > x tel que le carré de diagonale [M, M ] ait ses deux autres sommets sur la parabole. Expliciter f : x x. Soit alors x 0 0. On pose x n+ = f x n ). Montrer que x n tend vers + et donner un développement asymptasymtpotiqueotique à deux termes de x n. On trouve f x) = x + 2 p p x + p 2 et que x n = 2 p n 2 + O n). Questions :

2 2 CERCLES BITANGENTS À UNE PARABOLE 2. Comment avoir quelques termes suivants du DA? 2. Maple semble échouer : comment le rendre opérant? rsolveun+)=2*p+un)+2*sqrt2*p*un)+p^2),un)); DA=asympt%,n,2);.2 L.G. Vidiani Fri, 6 Aug 2002) Remarque stratosphérique de Douillet du 26 juillet : "Les autres sommets sont sur la parabole. Leurs ordonnées sont en progression arithmétique. Et voilà, c est fini". J ignore si cette propriété est "évidente" ou connue, j ai recherché dans les problèmes d agregationd agreg des années 30, et suivantes Dollon, Ballicionni, Michel, Duporq, Deltheil et Caire,..., livres de TC ), ou dans les livres de géométrie de Brocard et Lemoyne, ou les cours sur les coniques des TC d il y a 40 ans. Je n ai rien trouvé : peut être dans un Putnam non ) ou une olympiade? Je propose que cette propriété soit appelée "théorème de Douillet". Bibliographie : outre les livres ci dessus, rien dans Potron, Julia, Cagnac, Ramis ; On peut chercher aussi dans les applications géométriques des intégrales abéliennes aux courbes algébriques voir Valiron II) ; Google ne donne rien pour "progression parabole".3 Isabelle Selon Sat, 7 Aug 2002) Attention, peut-être n est-ce-pas le premier, ni le dernier théorème de Douillet... Je propose le grand théorème de Douillet!.4 Claude Morin Limoges Mon, 9 Aug 2002) Si l on remplace les carrés de l exercice 328 par des cercles, les rayons de ces cercles forment une suite géométrique de raison 2p les cercles sont centrés sur l axe de la parabole, tangents à celle-ci et deux cercles consécutifs sont tangents). En effet, si l un des cercles a pour rayon R et pour centre a, 0), le cercle est tangent à la parabole d équation y 2 = 2 p x si et seulement si 2 a p = p 2 +R 2 et a p on étudie l intersection et on écrit que l équation en x a une solution double). Donc pour 2 cercles consécutifs: 2 p a 2 a ) = R 2 2 R 2. Or a 2 a = R + R 2 les cercles sont tangents); on a donc R 2 R = 2 p. Je ne sais pas mettre en rapport cette propriété avec le "théorème de Douillet". En complément, si on effectue la transformation définie par x = x/t 2 et y = y/t, la parabole garde la même équation, les carrés deviennent des losanges et les cercles des ellipses; la propriété de suite arithmétique s applique donc aux diagonales des losanges homothétiques) et aux axes des ellipses homothétiques). 2 Cercles bitangents à une parabole 2. Formule générale Cherchons quels sont les cercles Γ) : x a) 2 + x b) 2 r 2 bitangents à la parabole P ) : y 2 = 2 p x L équation aux ordonnées Q y). = y 2 /2p a ) 2 + y b) 2 r 2 = 0, ayant deux racines doubles, s écrit Q y) = c y η ) 2 y η 2 ), et comme le coefficient du troisième degré est nul on a η = η 2 = η et b = 0. Une identification aisée donne ξ = a p, η 2 = 2 p ξ, a = r2 2 p + p 2 ) Les centres de ces cercles se placent sur l axe de symétrie de la parabole.

3 3 UNE CHAÎNE DE CERCLES Figure chaîne de cercles et détails au voisinage du sommet. 2.2 Exemple fondamental Faisons r = 0 dans ). Il vient a = p 2, et donc le cercle point centré au foyer est bitangent à la parabole aux points p 2, ±i p). Plus généralement, les rayons r tels que r < p conduisent à des points de contact dont l abscisse est négative et l ordonnée imaginaire. 2.3 Exemple limite Le cas r = p, c est à dire le cercle surosculateur, constitue la limite entre les cercles réels "visiblement bitangents" p < a) et les cercles réels mais bitangents en des points dont l ordonnée est imaginaire p 2 < a < p). 3 Une chaîne de cercles 3. Sens de parcours Considérerons une chaîne de cercles, tangents entre eux deux à deux et tous bitangents à la parabole. Il est tout à fait clair que le problème de construire un cercle α 0, ρ) bitangent à la parabole et de plus tangent à un cercle donné a, 0, r), lui-même bitangent à la parabole, comporte deux solutions. Ces deux solutions se distinguent entre elles par le point de contact choisi entre les deux cercles : soit a + r, 0), soit a r, 0). Nous allons donc considérer des rayons r, certes réels, mais qui seront choisis positifs ou négatifs de telle sorte que le point a r, 0) soit le contact avec le cercle précédent et que le point a + r, 0) soit le contact avec le cercle suivant dans la chaîne des cercles. On voit aisément que a r = 2 p r p)2 ; a + r = r + p)2 2 p Comme il se doit, ces deux formules n en font qu une, par changement de r en r, c est à dire par changement de sens de parcours. 3.2 Équation d évolution L équation de passage d un cercle au suivant, qui est a + r = α ρ, s écrit alors r + p) 2 = ρ p) 2 et conduit donc à la progression arithmétique ρ = r + 2 p En effet, l autre choix de signe conduit à r+p = p ρ, ce qui redonne le même cercle mais avec l intention de revenir en arrière dans la chaîne des cercles). La figure a été tracée pour p = et r 0 = 0.6. La partie gauche représente les cinq cercles r n = r n p pour 2 n +2, tandis que la partie droite donne un agrandissement de ce qui se

4 4 LES CARREAUX INSCRITS 4 passe au voisinage du sommet. On a donc les formules r = ρ + 2 n p a = 2p ρ + 2 n p)2 + p 2 ξ = 2p ρ + 2 n p)2 p 2 η 2 = ρ + 2 n p) 2 p 2 a + r = ρ + 2 n p + p)2 2p Autrement dit les ordonnées des "sommets" des cercles, c est à dire des points a, r) sont en progression arithmétique, ainsi que les ordonnées des relèvement sur la parabole des contacts de deux cercles adjacents. Et ces deux progressions s enchevêtrent en une seule progression, de raison p. 3.3 Interprétation du cas spécial La progression arithmétique sur les rayons étant de raison 2 p, il y a donc exactement un rayon et un seul dans l intervalle ] p, +p[ et nous pouvons considérer que le cercle correspondant est le cercle initial. Cette remarque ne s applique pas à la chaîne contenant le cercle surosculateur, qui contient deux exemplaires successifs du cercle initial. Le cercle initial n est pas "visiblement bitangent", étant soit surosculateur, soit à contacts ayant une ordonnée imaginaire. On peut donc être tenté de le retirer de la chaîne, d autant que l un des deux contacts est un contact intérieur. Mais cela découpe la chaîne initiale indexée par Z) en deux sous chaînes apparemment indépendantes, ce qui ne nous semble pas être un bon choix. 4 Les carreaux inscrits 4. La relation de récurrence de l exercice 238 Un carreau carré aux diagonales parallèles aux axes) a pour sommets les points α ± r, 0) et α, ±r). On a donc x = α r, x = α + r, 2 α p = r 2. Une élimination évidente donne : α = x + p ± 2 p x + p 2 r = p ± 2 p x + p 2 2) x = x + 2 p ± 2 2 p x + p 2 Le double signe correspond aux deux sens de parcours possibles. On trouve que la bonne condition sur x est p 2 x, moins restrictive que 0 x. On remarquera que pour les x [ p/2, 0], les deux possibilités pour x se placent à droite de x. 4.2 Choisir la bonne variable Les équations 2) ne sont pas très maniables sous cette forme. Il est en effet préférable de choisir r comme paramètre. Ce choix conduit à des expressions rationnelles, puisque α = r 2 /2p. Il vient x = r 2 /2p r, x = r 2 /2p + r. Comme x = r 2 /2p r, on en conclut que r = r redonnant le même carreau) ou bien que r = r + 2 p. En résumé : α = r2 2p x = r2 2p r 3) r = r + 2 p

5 5 TRANSFORMATIONS Lien avec les chaînes de cercles Figure 2 Chaîne de carreaux inscrits. Une simple comparaison montre que ces carreaux ne sont autres que les carreaux inscrits dans chacun des cercles de la chaîne précédente, translatés de p 2. En effet, le "carreau inscrit" dans le cercle Γ a pour sommets a ± r, 0) et ) a, ±r). Si l on translate tous ces carreaux de p 2, les "sommets" deviennent 2p ρ + 2 n p)2, ρ + 2 n p c est à dire sont situés sur la parabole, en plus d avoir des ordonnées en ) progression arithmétique, tandis que les "contacts" deviennent 2p ρ + 2 n p) ρ + 2 n p 2 p), Le cas spécial La situation du cas spécial est moins intrigante pour les chaînes de carreaux que pour les chaînes de cercles. En effet, le carreau initial a ses deux sommets sur la parabole, comme les autres. Sa seule singularité est d avoir l un de ses sommets axiaux à l extérieur de la parabole, l enchaînement entre les carreaux se faisant exceptionnellement par un contact intérieur. 5 Transformations Il est clair qu un changement d unité sur les axes transforme la parabole en une parabole, les cercles en ellipses toutes semblables entre elles et les carreaux en losanges tous semblables entre eux. On peut même utiliser la transformation proposée par Claude Morin : x = x d 2 ; y = y d qui laisse la parabole globalement) invariante. On obtient alors des chaînes d ellipses et de losanges. Il me semble plus naturel de transformer le problème par inversion, de façon à transformer les cercles en cycles aka droites ou cercles). 5. Inversion Si nous transformons le problème par une inversion centrée au foyer, les propriétés de contact se conservent, la parabole devient une cardioïde tandis que la chaîne de cercles se transforme en une chaîne de cycles. Appelons z, y) les coordonnées cartésiennes relatives au foyer, c est à dire écrivons x = z+p/2. La formule d inversion s écrit alors : Φ z, y) = τ z z 2 + y 2, ) τ y z 2 + y 2

6 5 TRANSFORMATIONS 6 Figure 3 Chaîne de cercles pour la cardioïde. En écrivant que Φ z, y) vérifie 2 p z+p 2 = y 2, il vient y 4 +2 z 3 τ/p)+z z z τ/p) τ 2 /p 2) y 2 = 0, ce qui suggère fortement de choisir la puissance d inversion égale à p. L image du sommet de la parabole est alors z = 2, y = 0) indépendamment de p, et l image de la parabole est la cardioïde standard : y 2 + z 2 + z ) 2 y 2 + z 2) = 0 4) Le cercle x = a, 0, r) est orthogonal à l axe horizontal et contient les points x = a ± r, y = 0). Son p image a donc pour diamètre les points z = a±r p/2 )., y = 0 En substituant la valeur de a issue de 3), on obtient que Φ Γ) est le cercle : Z = 2 p2 r 2 4 p 2, Y = 0, R = 4 p 3 r r 2 4 p 2 ) Comme il se doit, Z est indépendant du signe de r c est à dire du sens de parcours), tandis que R change de signe en même temps que r. 5.2 Cycles remarquables Le cercle point centré au foyer r = 0) se transforme en le cercle à l infini il faudrait passer en projectif complexe et faire une étude détaillée). Le cercle surosculateur, r = p, se transforme en le cercle de centre z = 2/3, y = 0) et de rayon R = 4/3, c est à dire ayant [ 2, 2/3] comme diamètre, qui est surosculateur à la cardioïde. Le cercle r = 2 p a comme centre a = r2 2 p + p 2. Il passe donc par le foyer, et son image est la droite verticale bitangente à la cardioïde abscisse z = /4). Entre temps, le rayon R est passé par une valeur minimale R min = , correspondant à r = ± p. Le cercle surosculateur à la cardioïde n est donc pas son meilleur cercle circonscrit puisqu alors R = Description de la chaîne On peut donc décrire une chaîne de cercles bitangents à la cardioïde comme étant composée de deux sous suites de cercles "extérieurs", connectés par un cercle "étrange" et un cercle "circonscrit". Le cercle "étrange" contient la cardioïde dans son intérieur strict. Il lui est bitangent en deux points dont l ordonnée est imaginaire. Il est l image du cercle étrange de la chaîne de cercles bitangents à la parabole. Il correspond à r ] p, +p[ il y en a un et un seul dans une progression arithmétique de raison 2p, sauf le cas r 0 = p). Le cercle "circonscrit" contient la cardioïde dans son intérieur large, et lui est "visiblement bitangent". Il correspond à r ] 2 p, p[ ]p, 2p[ il y en a un et un seul dans une progression arithmétique de raison 2p, sauf les cas r 0 { p, 0, p}).

7 5 TRANSFORMATIONS 7 Tous les autres cercles sont mutuellement extérieurs avec la cardioïde. Dans le cas spécial r 0 = 0, les deux sous-chaînes sont connectées par droite, infini, droite. Dans le cas spécial r 0 = p, les deux sous-chaînes sont connectées par surosculateur, surosculateur.