Chapitre 1. Résumé d une distribution statistique

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1 Chaptre. Résumé d ue dstrbuto statstque.. Cocepts de base de la statstque descrptve Populato = O appelle populato assocée à ue épreuve l esemble des résultats possbles d ue «épreuve». E statstques, le terme populato cocerera auss be: les être humas (étudats d ue uversté ), les objets amés (automobles fabrquées ), des esembles abstrats (ombre d accdets de la route pedat u weeked ), des évéemets. Idvdu (ou ue uté statstque) est l élémet de base de la populato. La totalté des dvdus correspod à la populato.

2 Echatllo = sous-groupe de cette populato, pette parte de cette populato. Caractère = u caractère est u phéomèe étudé sur ue populato doée. O ote les caractères par des lettres majuscules: X ou Y Pour étuder cette populato, le statstce e retedra que les caractères qu l téresserot. Il collectera les doées des dvdus cocerat uquemet ce(s) caractère(s). Modalté = O appelle modaltés d u caractère les dfféretes stuatos (umérques ou pas) que peut predre u caractère. O ote les modaltés e utlsat la même lettre que le caractère, mas e muscule et dcée. X la ème modalté du caractère X 2

3 Illustrato. Épreuve : phéomèe que l o observe e: étude sur les cosommateurs de bères 2. Populato: tous les habtats du Grad Nouméa de 8 as et plus N = persoes (ISEE, recesemet 2009) 3. Échatllo: sous esemble de la populato e: sodage sur 50 persoes = 50 persoes 50 dvdus 4. Caractère - Modalté caractère : X = leu de résdece 4 modaltés : = Dumbéa 2 = Mot Dore 3 = Nouméa 4 = Païta 3

4 .2. Les dfférets types de caractères et de varables.2.. Les caractères qualtatfs l observato du caractère e peut être tradute par ue mesure ses modaltés sot costatées, repérées par u mot tradusat u état eemple: gere, professo, atoalté, couleur,.2.2. Les caractères quattatfs modaltés mesurables (tradutes par u ombre qu e mesure les valeurs) eemple: âge, pods, talle, varables dscrètes: mesurées e ombres solés (ombres eters) eemple: bre d efats par méage, bre de salarés d etr.,... varables cotues: mesurées e ombre f eemple: pods, talle, temps,... Défto: est cotue ue varable qu peut predre u s grad ombre 4 de valeurs qu o est oblgé de les regrouper e classes

5 .3. Fréquece absolue, fréquece relatve sot u échatllo de dvdus, pour chacu desquels o a effectué ue observato relatve à u caractère X preat les modaltés :, 2, 3,, k. regroupemet : dvdus das k sous-esembles défs par les modaltés 2. comptage: pour chaque modalté le ombre d élémets = effectf de = fréquece absolue de f = / = fréquece relatve de 5

6 échatllo de 50 persoes pour lesquels o a effectué ue observato relatve à u caractère X (leu de résdece) preat 4 modaltés. Regroupemet: cq persoe est assocé à ue modalté du caractère A B = Dumbéa C D E 2 = Mot Dore F G H 3 = Nouméa I J.. 4 = Païta 2. Comptage : pour chaque modalté ombre de persoes = Dumbéa = 22 2 = Mot Dore 2 = 27 effectfs 3 = Nouméa 3 = 90 (fréquece absolue) 4 = Païta 4 = fréquece relatve : f = / =22 / 50 = 0,47 = 4,7 % f 2 = 2 / = 27 / 50 = 0,8 = 8 % f 3 = 3 / = 90 / 50 = 0,60 = 60 % f 4 = 4 / = / 50 = 0,073= 7,3 % 6

7 .4. Les Tableau Statstques Présetato de l formato pour qu elle sot lsble et compréhesble tableau résumat la dstrbuto statstque des varables.4.. Caractères qualtatfs Vor eemple 7

8 .4.2. Caractères quattatfs fréquece cumulée = répose à la questo: «combe de méages ot plus de 2 efats, mos de 2 efats?» Effectfs cumulés : N = N - + Fréquece cumulée : F = F - + f A- Cas dscret eemple: otes attrbuées au ouveau packagg X =, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 =? k =? X : Varable quattatve dscrète (valeurs etères déombrables) Vor eemple 2 8

9 B- Cas cotu eemple: âge des persoes terrogées X = 8, 9, 20, 2,22,.., 75 X : Varable aléatore cotue défto d ue classe ombre de classes : c lmtes de classes : e - ; e pour la classe cetre de classe : = (e - + e )/2 ampltude de classe : a = e - e - fréquece cumulée : F = F - + f dque le pourcetage d dvdus pour lesquels la varable pred ue valeur féreure à celle de la lmte supéreure (e ) de la classe cosdérée. 9

10 e.: ere classe d âge: de 8 à mos de 24 as [ 8 as ; 24 as [ cetre de la classe : = (e - + e )/2 = ampltudes de classes : a = e - e - = Rq : les ampltudes peuvet être égales Vor eemple 3 0

11 C- Percetles et quartles posto relatve d ue observato quelle est la posto d ue persoe ayat 40 as? relatvemet veu? Age as % 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 00% 38 % seulemet des persoes de l éch. sot plus velles qu elle, 62% des persoes sot plus jeues. l âge de cette persoe correspod au 62 ème (per)cetle

12 Des percetles partculers: 25ème percetle = er quartle Q 50ème percetle = 2 eme quartle (médae) Q 2 75ème percetle = 3 ème quartle Q 3 eemple: Cas dscret (otes): 20, 4, 7, 5,, 6, 3, 6, 8, 5. ordoer les observatos : 5, 6,, 3, 4, 6, 7, 8, 20 Q 2 = Me =?

13 Cas cotu (âge des persoes du sodage de l etreprse) er quartle : âge tel que 25% des persoes aet u âge féreur ou égal à Q Médae : âge tel que 50% des persoes aet u âge féreur ou égal à Q2 3ème quartle : âge tel que 75% des persoes aet u âge féreur ou égal à Q3 Commet fare?. Détermer la classe das laquelle se trouve le quartle 2. Procéder par terpolato léare Vor eemple % 0% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 00% Q M e = Q 2 Q 3 3

14 D - Les dagrammes e forme de bote: «bo-plots» (boîte à moustaches) 2 quartles = 2 etrémtés de la bote étedue de la dstrbuto = 2 etrémtés 4

15 .5. Les caractérstques de tedace cetrale A- Le mode Le mode est la valeur la plus fréquete Notato: M o atteto: le mode est la valeur de la modalté la plus fréquete (et o la valeur de l effectf le plus élevé) dstrbuto bmodale (plurmodale) : deu ou pluseurs modes/sommets Vor eemple 4: leu de résdece et classe d âge 5

16 B - La médae La médae est la valeur cetrale partageat la dstrbuto e deu motés égales Médae: Me = observato du mleu ou 50 ème (per)cetle ou 2 ème quartle (Q 2 ) 6

17 C- La moyee arthmétque La moyee est la valeur uque que devraet avor tous les dvdus d'ue populato (ou d'u échatllo) pour que leur total sot chagé. échatllo de observatos :, 2, 3,, 2... (... 2 ) 7

18 observatos regroupées selo k modaltés: =,,k k = ombre de modaltés = ème modalté = effectf de la ème modalté avec: k ( ) k = talle de l échatllo = ombre d observatos Eemple 5: Notes du ouveau packagg 8

19 observatos regroupées selo c classes : échatllo de grade talle varable cotue = cetre de la ème classe = effectf de la ème classe moyee podérée : =,,c c = ombre de classes à chaque valeur de correspod pluseurs observatos Eemple 6: Les âges c ( ) Doées classées 9

20 D- Iterprétato de la moyee comme cetre de gravté moyee = cetre de gravté = pot d équlbre = fréquece Mode Médae Moyee modaltés 20

21 E- Postos relatves du mode, de la médae et de la moyee dstrbuto symétrque : mode = médae = moyee dstrbuto dssymétrque : médae par rapport au mode, du coté où la dstrbuto est étalée. Moyee est stuée ecore au delà de la médae. 2

22 Asymétre d ue dstrbuto statstque Dstrbuto étalée à drote (regroupée à gauche) Dstrbuto étalée à gauche (regroupée à drote) 22

23 F- La moyee géométrque Race eme du produt des valeurs du caractère G X / 2 ( 2... )... log G log X / eemple: =? G=? 23

24 24 sur doées groupées: moyee géométrque podérée Doc: k k X k k G / 2 2 )... ( k G / ) ( ) log ( log k X G

25 Eemple: Calculer G de 2 maères? 25

26 26 G - La moyee harmoque H de ombres, 2,, est l verse de la moyee arthmétque des verses de ces ombres sur doées groupées: moyee harmoque podérée Eemple: repredre les doées précédetes H 2... k k k H

27 27 H- La moyee quadratque Q est la race carrée de la moyee arthmétque des carrés des observatos de la dstrbuto sur doées groupées: moyee quadratque podérée Eemple: repredre les doées précédetes ) ( Q ) ( k k Q

28 I - La moyee gééralsée Moyee podérée d ordre r : M r k ( r ) r s r = M = (moyee arthmétque) s r = 2 M 2 = Q (moyee quadratque) s r = - M - = H (moyee harmoque) s r = M = G (moyee géométrque) 28

29 o a : H G Q plus gééralemet: s r < r 2 < r 3, M r < M r2 < M r3 et Q : doet davatage d fluece au élémets les plus élevés des séres. H et G: réduset l fluece des observatos les plus grades et augmetet celle des plus fables. 29

30 J- Cho : mode, médae ou moyee? Moyee arthmétque peu sgfcatve quad l fluece des valeurs etrêmes est forte ou quad o e coaît pas les lmtes de classes mode : facle à calculer médae : mesure de l dvdu «type» stable (robuste) moyee : mesure globale médae ou mode préférés (tet compte de la totalté des observatos) 30

31 .6. Les caractérstques de la dsperso A- l étedue = plus grade observato - plus pette observato e = ma - m covéet : maque de stablté Eemple: - âge des persoes terrogées - otes du ouveau packagg 3

32 B - L écart terquartle (EIQ) ou dsperso cetrale EIQ = 3ème quartle - er quartle EIQ = Q 3 Q (logueur de la bote du bo-plot) Eemple: âge des persoes terrogées 32

33 C - l écart absolu moye (EAM) EAM sur doées groupées: E k modaltés: EAM k E c classes EAM c : cetre de classe 33

34 D - l écart quadratque moye (EQM) EQM ( )² sur doées groupées: E k modaltés: EQM k ( )² E c classes EQM c ( )² : cetre de classe 34

35 L écart à la moyee : L écart absolu à la moyee : Le carré de l écart à la moyee : ( )² La moyee des carrés des écarts à la moyee : ( )² 35

36 E - la varace et l écart-type Pour des doées o groupées : varace : s² ( )² écart-type: écart moye par rapport à la moyee: s var ace s² 36

37 37 Pour des doées groupées : E k modaltés Vor eemple 7 E c classes Vor eemple 8 Ecart-type: ² ²) ( )² ( ² s k k ² ²) ( )² ( ² s c c s² s

38 L écart - type est la caractérstque d écart: s est comprs etre le plus grad et le plus pett des écarts - et s sot les deu premers momets de la dstrbuto (momets d ordre et 2) 38

39 Fréq.f() () (2) 2 Modaltés () () e (2) ot la même dsperso mas pas la même moyee 39

40 Fréquece f() () (2) Modaltés () () et (2) ot la même moyee mas pas la même dsperso 40

41 .7. Coeffcet de varato Moyee et écart-type de même «espèce» que les varables étudées (même uté) problème pour comparer la dsperso de deu séres s leur observatos e sot pas eprmées das la même uté recours au coeffcet de varato: (souvet eprmé e %) c s = écart-type / moyee Vor eemples 7 et 8 4

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