PREVIEW MÉCANIQUE CLASSIQUE. 2ème partie. EMTO - La physique enseignée. Exercices et problèmes corrigés.

Transcription

1 F EMTO - La physique enseignée MÉCANIQUE CLASSIQUE 2ème partie Exercices et problèmes corrigés par Jimmy Roussel Professeur agrégé de physique f (r) = k p r

2 AVANT-PROPOS Ce recueil d exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux des Classes Préparatoires des Grandes Écoles (CPGE). Dans cette seconde partie, on aborde les notions nouvelles : moment cinétique, moment des forces, mouvement à force centrale, problème à deux corps, collisions, changement de référentiel et dynamique en référentiel non galiléen. Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détail, on renvoit le lecteur au site de l auteur : Les énoncés sont assortis d un niveau de difficulté allant d un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette classification tente de suivre la règle suivante : * Exercice ou QCM évaluant l acquisition des connaissances. ** Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation. *** Exercice plus technique. **** Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de recherche. Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple de traitement d un exercice lequel peut parfois se résoudre d une autre manière. En vous souhaitant bonne lecture. JIMMY ROUSSEL

3 Table des matières ÉNONCÉS 4 1 THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE 6 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 1 Équilibre sur une poutre **... 7 Ex. 2 Sphère entre deux plans **... 7 Ex. 3 Équilibre d une échelle ***... 7 Ex. 4 Équilibre d une barre **... 7 Ex. 5 Mouvement orbital de la Terre **... 8 Ex. 6 Le pendule simple ***... 8 Ex. 7 Le toboggan ***... 8 Ex. 8 Modèle de Bohr ***... 9 Ex. 9 Expérience de Cavendish ***... 9 Ex. 10 Force centrale **** FORCES CENTRALES 11 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 11 L ISS ** Ex. 12 Peser la Voie Lactée *** Ex. 13 La danse du Petit-Prince ** Ex. 14 Champ de gravitation solaire ** Ex. 15 Rendez-vous spatial *** Ex. 16 Rayon de Schwarzschild *** Ex. 17 Au cœur de la Voie Lactée *** Ex. 18 Comète de 1843 **** PROBLÈME À DEUX CORPS ET COLLISIONS 15 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 19 Mouvement du Soleil dans le référentiel de Copernic ** Ex. 20 Généralisation de la troisième loi de Kepler *** Ex. 21 Sirius *** Ex. 22 Vibration d une molécule diatomique *** Ex. 23 Instabilité nucléaire ** Ex. 24 Désintégration alpha ** Ex. 25 Rebonds *** Ex. 26 Collisions successives *** Ex. 27 Choc de deux pendules *** CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - CINÉMATIQUE 19 RÉSUMÉ DE COURS Ex. 28 Trajet en avion ** Ex. 29 Traversée d un fleuve *** Ex. 30 Course en kayak *** Ex. 31 Vitesse maximale d un hélicoptère *** Ex. 32 Mouvements d une barre articulée *** CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - DYNAMIQUE 22 RÉSUMÉ DE COURS Page 3/63

4 Ex. 33 Manège ** Ex. 34 Étude d un virage *** Ex. 35 Ressort tournant *** Ex. 36 Tir d un obus vers le zénith *** Ex. 37 Déviation vers la droite *** PROBLÈMES INSPIRÉS DES CONCOURS 25 Ex. 38 Principe de la balançoire **** Ex. 39 Freinage d un satellite **** Ex. 40 Un modèle de frottement **** Ex. 41 L expérience de Foucault **** SOLUTIONS DES EXERCICES 28 Page 4/63

5 ÉNONCÉS DES EXERCICES

6 1 THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE RÉSUMÉ DE COURS Moment cinétique Considérons un point matériel M de masse m et animé d un vecteur vitesse! v dans le référentiel d étude. Il présente un moment cinétique par rapport à un point O, noté! L O (M), qui vaut! L O (M) =! OM ^ m! v (1) Théorème du moment cinétique Dans un référentiel galiléen R, un point matériel de masse m soumis à une force! f voit son moment cinétique varier suivant la loi où O est un point quelconque, fixe dans R. d! L O (M) =! OM ^! f (2) dt Cas des systèmes Dans un référentiel galiléen, la variation du moment cinétique total ne dépend que de la somme des moments associés aux forces extérieures. d! L O (S ) = X! OM i ^! f ext i =! dt i M O ext avec O point fixe (3) Bras de levier Le moment d une force! f par rapport à un axe orienté ( ) perpendiculaire au plan contenant la force vaut M (! f ) =±fd (4) où d est le bras de levier, c est-à-dire la distance entre la droite d action de la force et l axe ( ). Ce moment est positif quand la force tend à faire tourner le point M dans le sens positif ; il est négatif dans le cas contraire. Mouvement à force centrale Un point matériel soumis à une force centrale de centre O fixe dans un référentiel galiléen, conserve son moment cinétique. En conséquence, le mouvement est plan et r 2 µ = C te Solide en rotation Un solide en rotation autour d un axe fixe et soumis à des forces extérieures de moment total M ext, voit sa vitesse angulaire évoluer suivant la loi d! I dt = M ext avec I = X m i r 2 i (6) i (5) Page 6/63

7 Ex. 1 Équilibre sur une poutre ** Une poutre de masse M = 100 kg et de longueur ` = 5 m, repose sur deux supports A et B distants de d = 3 m. Un individu de masse m = 75 kg se déplace le long de la poutre en partant de l extrémité A. A 1. Effectuer un bilan des forces s exerçant sur la poutre. d x B 2. Exprimer les moments en B de chacune des forces. En déduire la réaction du support A sur la poutre en fonction de x. 3. À quelle distance maximale peut s éloigner l individu tout en conservant l équilibre de la poutre? Ex. 2 Sphère entre deux plans ** Une sphère de masse m = 4 kg s appuie entre deux cloisons, l une verticale, l autre inclinée d un angle Æ = 60 par rapport à l horizontal. On suppose les forces de frottement négligeables. Calculer les réactions des cloisons sur la sphère. Ex. 3 Équilibre d une échelle *** Considérons une échelle de masse m et de longueur L, appuyée contre un mur. On suppose que le sol produit une force de frottement solide avec un coefficient de friction µ. Par ailleurs, le mur est quant à lui supposé suffisamment lisse pour négliger tout frottement de contact. 1. Exprimer les trois forces F 1, F 2 et F 3 en fonction de mg et Æ, si l échelle est à l équilibre. 2. À quelle condition sur Æ, cet équilibre est-il possible? Ex. 4 Équilibre d une barre ** On considère une barre maintenue horizontalement contre un mur à l aide d un fil fixé à son extrémité et à un point du mur (cf. figure ci-dessous). La barre a pour masse m et pour longueur `, le fil quant à lui est de masse négligeable et fait un angle Æ = 70 par rapport au mur. On note! T l action du fil sur la barre,! P le poids de la barre,! R l action du mur sur la barre et! g le champ de pesanteur.! F1! F2 ~g Æ! F3 Æ! g! g Page 7/63

8 Fil Æ! R C! T! g! P 1. La droite d action du poids coupe le fil au point C. Calculer le moment du poids et de la tension au point C. En déduire que les trois forces! T,! P et! R son concourrantes au point C, c est-à-dire que ces trois forces ont leur droite d action qui passe par le point C. 2. Exprimer R et T en fonction de m, g et Æ. 3. Le contact entre le mur et la barre est caractérisé par un coefficient de frottement µ = 0,4. Montrer que la barre ne glisse pas. 4. On remplace le fil par un fil plus long de sorte que l angle Æ diminue de 20%. La barre restera-t-elle en équilibre? Ex. 5 Mouvement orbital de la Terre ** La Terre décrit une ellipse autour du Soleil, dont le foyer se trouve au centre du Soleil. Quand la Terre est à son aphélie (point de son orbite le plus éloigné du Soleil) sa distance au Soleil vaut r max = 1, m et sa vitesse orbitale v min = 2, m.s 1. Sachant qu à son périhélie (point de son orbite le plus proche du Soleil), la Terre se trouve à la distance r min = 1, m, trouver sa vitesse orbitale au périhélie? Ex. 6 Le pendule simple *** Considérons un pendule simple oscillant dans un plan vertical d un référentiel terrestre galiléen. On repère la position du point matériel à l aide de l angle µ(t). 1. Calculer le moment des forces par rapport à l axe ( ) passant par O et perpendiculaire au plan d oscillation. 2. Exprimer le moment cinétique L (M) du point matériel. 3. À l aide du théorème du moment cinétique, trouver l équation différentielle que vérifie µ(t). 4. Que devient l équation différentielle si l on modélise les frottements par une force ortho-radiale f = Æ µ? 5. Comment faut-il choisir les caractéristiques du pendule, si l on veut que les oscillations durent le plus longtemps possible? Ex. 7 Le toboggan *** ~g O µ(t) `! ur! uµ M(`,µ) Un enfant - que l on assimilera à un point matériel M de masse m = 40 kg - glisse sur un toboggan décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = 2,5 m. L enfant, initialement en A (µ A = 10 ), se laisse glisser (vitesse initiale nulle) et atteint le point B (µ B = 90 ) avec une vitesse v. On supposera le référentiel terrestre galiléen et les frottements négligeables. Page 8/63

9 µ(t) ~g A r B 1. À l aide du théorème du moment cinétique, établir l équation différentielle vérifiée par µ(t). 2. À partir de cette équation, exprimer la vitesse en fonction de µ. Calculez v en B. Ex. 8 Modèle de Bohr *** Le premier modèle quantique de l atome est dû à Niels Bohr. Le modèle de Bohr représente l atome d hydrogène constitué par un proton ponctuel de charge e = 1, C et de masse m p = 1, kg autour duquel gravite, en orbite circulaire, un électron de charge e et de masse m e = 9, kg. On note O le centre de l orbite, r son rayon et v la vitesse orbitale. 1. Faire la liste de toutes les forces qui s exercent sur l électron. Une seule est largement prépondérante ; laquelle? 2. En ne considérant que cette force, montrer que le moment cinétique orbitale! L O de l électron se conserve. Exprimer L O en fonction de v, r et m e. 3. À l aide de la relation fondamentale de la dynamique, exprimer v en fonction de r. 4. Dans le modèle de Bohr, on postule la quantification du moment cinétique orbitale : En déduire que le rayon est quantifié : où r 1 est l orbite de Bohr que l on calculera. Ex. 9 Expérience de Cavendish *** L O = nfl avec n 2 N et fl= h 2º = 1, J.s r n = n 2 r 1 En 1798 le physicien Henri Cavendish réalise une expérience lui permettant de peser la Terre et d obtenir la valeur de la constante de gravitation G. Aux extrémités d une tige de bois de longueur ` = 2 m et de masse négligeable, il fixe deux boules de platine de masse m = 730 g puis, en suspendant le tout à un fil de torsion, il réalise un pendule de torsion. On rappelle qu un fil de torsion produit un couple de forces dont le moment par rapport à l axe du fil est proportionnel à l angle de torsion : où C désigne la constante de torsion. = Cµ Page 9/63

10 Fil de torsion M m ±µ équilibre m M 1. Cavendish cherche d abord à mesurer la constante de torsion en faisant osciller le pendule de torsion. Montrer à l aide du théorème q du moment cinétique que l angle de torsion vérifie l équation d un oscillateur de pulsation propre! 0 = 2C m`2. 2. Cavendish, mesure la période T des oscillations. Il trouve T = 7 mn. En déduire la constante de torsion. 3. Il place ensuite à la distance r = 22,5 cm des deux masses, deux grosses boules de plomb de masse M = 158 kg, comme l indique la figure. Montrer que la position d équilibre est déviée d un angle ±µ que l on déterminera (la déviation étant très faible on considérera que r reste constant). 4. Cavendish trouve G = 6, N.m 2.kg 2. Calculer la déviation angulaire correspondante. Commenter. Ex. 10 Force centrale **** Sur un plan horizontal, percé d un trou O, un point matériel M se déplace sans frottements, attaché à un fil passant par le trou. On exerce sur l autre extrémité du fil une tension T(t) telle que OM = `(t) = a bt. De plus, on impose initialement une vitesse angulaire! 0. ~g! T `(t) µ(t) M 1. En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver l équation paramétrique de la trajectoire. 2. Donner l expression de la tension en fonction de `(t). 3. Calculer de deux façons, le travail fourni par l opérateur exerçant la tension, entre l instant initial et l instant t. Page 10/63