Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

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1 Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire Auriault

2 Plan de la présentation Introduction. Le problème des options 2. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein 3. Les options américaines 4. Les techniques d amélioration de la convergence Conclusion 2

3 Introduction Les Produits dérivés Objectif : «Pricer» des produits dérivés vanilles. Options européennes : le modèle de Black & Scholes donne une formulation exacte du prix. Options américaines : on a recourt à des méthodes numériques. Parmi lesquelles on présente la méthode des Arbres Binomiaux introduite par Cox-Ross-Rubinstein. 3

4 Le problème des options L option est une assurance qui donne à son détenteur le droit d acheter (Call) ou de vendre (Put) un actif financier (l actif sous-jacent) à une date convenue (la maturité T) et à un prix fixé à l avance (le strike K). Payoff généré par l exercice d un Put européen à l échéance : (K S T Pour un Put américain le payoff généré par l exercice de l option au moment optimal τ 0,T est [ ] (K S τ Les deux problématiques liées aux options : Le problème du pricing : Trouver le «juste prix» de l option Le problème de la couverture : Comment le vendeur d un Put qui touche la prime en 0 peut produire la richesse en T. (K S T 4

5 Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Les hypothèses économiques : Le marché est sans friction Il y a Absence d Opportunité d Arbitrage (AOA) Les investisseurs sont insatiables Le modèle de CRR : On se place en temps discret. L intervalle [0,T] est discretisé en N intervalles. On suppose qu il n y a qu un seul actif à risque qui ne verse pas de dividendes On note S n son prix à l instant n. Il n y a qu un seul actif sans risque de rendement certain sur une période r. 5

6 Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Cox, Ross et Rubinstein ont proposé en 979 de modéliser l évolution du prix d un actif risqué par la dynamique suivante. Entre 2 périodes consécutives du cours la variation relative du cours est soit a soit b avec b < a < S n+ = (+ a)s n (+ b)s n avec une probabilité p avec une probabilité (-p) L actif sous-jacent suit asymptotiquement une loi log-normale 6

7 Options Américaines : Calcul du prix par récurrence rétrograde On note S n le cours de l actif sous-jacent en n. le payoff de l option en n. la valeur de l option en n. Z n A n On connaît le payoff en N : (K S N A quel prix faut-il vendre l option en N-?. L acheteur achète l option en N- et exerce immédiatement. Il gagne Z N Il faut donc au moins vendre l option Z N 2. L acheteur achète l option mais ne l exerce qu en N. En N le vendeur devra payer Z N. Il doit donc faire payer à l acheteur la somme qui permettra en N de fournir c est à dire Z N Donc par récurrence on obtient : ( + r E* Z N F N ) { } A n = max Z n, n...n ( ) + r E* A n F n 7

8 Options Américaines : Théorème d arrêt optimal A quel moment un exercice anticipé est intéressant pour l acheteur du Put? { } A n = max Z n, n...n Il existe une courbe dans l espace ( t,s t ) appelée frontière d exercice telle que dès que le cours de l actif sous-jacent franchit cette frontière il est intéressant pour l'acheteur d exercer. Cette frontière d exercice est le lieu d un temps d arrêt m tel que le prix actualisé de l option américaine en m vérifie la propriété de martingale. A n = ( ) ( + r) N n E* (K S m F n ( { } m = min p N (n, N), A p = K S p ( ) + r E* A n F n On a notamment : A 0 = ( (+ r) N E* (K S n0 F n ) 8

9 Techniques d Amélioration de la Convergence Problème majeur du modèle de CRR : La convergence est lente. On apporte deux modifications à l arbre :. Méthode BBS : La technique du Smoothing On force la valeur prise par le prix de l option à l avant dernier niveau de l arbre. On prend comme valeur le prix de put européen équivalent donné par la formule de Black-Scholes. 2. Méthode BBSR : Extrapolation de Richardson. Pour obtenir le prix P pour N pas de temps dans l arbre, on calcule le prix BBS pour N/2 ( ) et pour N ( P 2 ) et on prend comme valeur de P : 2P 2 P P 9

10 Techniques d Amélioration de la Convergence Méthode Binomiale Méthode BBS Méthode BBSR 0

11 Conclusion Cette méthode est peu utilisée en pratique. Car on lui reproche : Le problème de la vitesse de convergence. Son mauvais fonctionnement lorsqu il y a plus de 2 actifs. Son mauvais fonctionnement pour les options asiatiques par exemple. Elle présente pourtant d importants avantages : Elle est mathématiquement simple et accessible. Elle est plus fiable que les autres méthodes numériques.

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