La Volatilité Locale

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1 La Volatilité Locale Bertrand TAVIN Université Paris 1 - Panthéon Sorbonne 26 mai 2010 Résumé Dans cette courte note nous introduisons le concept de volatilité locale et les modèles de pricing basés sur celui-ci. Par rapport au modèle de Black-Scholes et Merton ces modèles ont l avantage d être compatibles avec le smile de marché sans introduire de nouvelle source de risque. Et peuvent ainsi être considérés comme une extension de celui-ci. Mots Clés : Smile de volatilité. Volatilité locale. Équation de Dupire. Diffusion implicite. Formule de Breeden-Litzenberger. Équation de Fokker-Planck. Table des matières 1 Introduction 2 2 Distribution risque-neutre implicite. 3 3 Volatilité locale (diffusion implicite de Dupire) 4 4 Interprétation de la volatilité locale 6 5 Conclusion 8 A Équation de Dupire (Preuve) 10 B Lien avec la variance instantanée (Preuve) 12 1

2 1 Introduction Rappelons d abord le modèle généralisé de Black-Scholes et Merton, voir [1] (Black & Scholes, 1973) et [8] (Merton, 1973). On considère un marché financier en temps continu, complet et sans opportunité d arbitrage. Sur ce marché est traité un titre primitif S qui paye un dividende continu déterministe d. Sont aussi traitées des options d achat et de vente sur S. Pour alléger les calculs on considère un taux d intérêt r déterministe et on note B (0, T ) le prix du zéro-coupon de maturité T. Dans ce cadre il existe une unique probabilité risque-neutre, notée Q, et on peut écrire le prix d un actif quelconque comme l espérance sous Q de son payoff actualisé. L équation différentielle stochastique (dynamique risque-neutre) de S s écrit ds t = S t ((r (t) d (t)) dt + σ (t) dw t ) (1.1) avec S 0 connu, W est un Q mouvement Brownien. On note µ = r d (drift risque-neutre S) et σ une fonction déterministe du temps de carré intégrable, c est-à-dire telle que T > 0 T 0 σ 2 (t) dt < Dans ce cadre il est possible d obtenir le prix d un call sur S de strike et de maturité T, noté C (, T ), sous la forme d une formule fermée. C (, T ) = E Q [ e T 0 r(t)dt (S T ) +] = S 0 e T 0 d(t)dt N (d 1 ) e T 0 r(t)dt N (d 0 ) = B (0, T ) (F 0 N (d 1 ) N (d 0 )) (1.2) Avec F 0 le prix forward de S (maturité T ), N la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite F 0 = S 0 e T 0 µ(t)dt d 0 = ln ( F 0 ) Σ (0, T ) T 1 2 Σ (0, T ) T d 1 = d 0 + Σ (0, T ) T Σ 2 (0, T ) = 1 T T 0 σ 2 (t) dt 2

3 Si on extrait la volatilité implicite des prix d options (la volatilité n est pas directement observable, contrairement aux autres paramètres de la formule (1.2)) on constate que celle-ci n est pas constante. D une part à strike fixé la volatilité implicite varie avec la maturité de l option considérée. C est ce qu on appelle la structure par terme de la volatilité implicite. Et d autre part, à maturité fixée, la volatilité implicite dépend du strike. C est le smile de volatilité. Le modèle présenté plus haut est compatible avec le phénomène de structure par terme de volatilité mais n est pas capable de reproduire le smile constaté en pratique. Pour conclure nous dirons que la dynamique risque-neutre de Black- Scholes et Merton n est donc pas compatible avec le phénomène de smile qui existe sur tous les marchés d options. Pour une présentation complète et détaillée de ce modèle et des problématiques de smile, le lecteur intéressé pourra consulter le chapitre 12 de l ouvrage [9] (Portait & Poncet, 2009). Dans la suite de cette note nous allons nous poser la question dans l autre sens et considérer les prix de marché d options sur S comme donnés. D abord nous allons voir qu il est possible de reconstruire la densité risque-neutre de S T à partir des prix des options de maturité T. Puis qu on peut trouver, en poussant plus loin l analyse, une diffusion risque-neutre unique compatible avec l ensemble des prix d options. 2 Distribution risque-neutre implicite. Dans cette partie on raisonne sur une maturité T > 0 fixée. Et on suppose connu les prix de tous les calls (C ()) [0,+ ] ou de tous les puts (P ()) [0,+ ] ce qui revient au même. On note φ T la densité risque-neutre de S T c est-à-dire φ T : R [0, 1] telle que φ T (x) dx = Q (S T [x, x + dx]). On a, par construction, R φ T (x) dx = 1 Si on pose π (x) = B (0, T ) φ T (x) dx = B (0, T ) Q (S T [x, x + dx]). On peut interpréter π (x) comme le prix d un actif qui paye 1 si S T [x, x + dx] et 0 sinon. C est l équivalent, dans un espace continu (dx 0), d un actif d Arrow- Debreu. Une option européenne v, de payoff h (S T ), peut être répliquée par un portefeuille continu d actifs d Arrow-Debreu pondérés par le payoff de l option. Et son prix v 0 peut s écrire comme une intégrale des π v 0 = + 0 π (x) h (x) dx = B (0, T ) + 0 φ T (x) h (x) dx (2.1) Pour un call de strike, on a C () = B (0, T ) + (x ) φ T (x) dx En dérivant cette égalité une première fois par rapport à, on obtient 3

4 () = B (0, T ) puis 2 C 2 () = B (0, T ) φ T () et + φ T (x) dx (2.2) 1 2 C φ T (x) = (x) (2.3) B (0, T ) 2 On a obtenu la densité φ T de S T à partir des prix des calls sur S (notons ici que le résultat (2.3) est le même avec des puts). Cette formule est appelée formule de Breeden-Litzenberger, voir [2] (Breeden & Litzenberger, 1978). La connaissance des prix des calls pour un continuum de strike, (C ()) [0,+ ], permet donc de reconstruire sans ambigüité la densité risque-neutre du sousjacent en T. La distribution ainsi calculée est appelée distribution implicite. Cette approche de la densité implicite figure au Chapitre 12 de [9] (Portait & Poncet, 2009). Partant de ce résultat les auteurs obtiennent aussi une élégante formule de réplication statique des options européennes. 3 Volatilité locale (diffusion implicite de Dupire) La connaissance des densités (φ T ) T 0 ne permet pas de déterminer de manière unique les caractéristiques du processus S. Il est donc nécessaire d aller plus loin dans notre étude. La première idée de Dupire, voir [5, 6] (Dupire, 1993 et 1994) est de restreindre son analyse à une diffusion risque-neutre de la forme ds t = S t (µ (t) dt + σ (S t, t) dw t ) où σ (volatilité instatanée) est une fonction de volatilité locale que l on cherche à déterminer à partir des prix des calls. Il est intéressant de rappeler d abord que le prix v = v (S t, t) d une option européenne de pay-off h (S T ) en T vérifie l équation aux dérivées partielles de Black-Scholes et Merton { v v t + µ(t)x σ2 (x, t) x 2 2 v r(t)v = 0 2 v (x, T ) = h (x) sur [0, + ] [0, T ] Cette équation est aussi appelée équation backward car elle se résout T t dans l espace (S t, t). En particulier pour un call cette équation devient { t + µ(t)x σ2 (x, t) x 2 2 C 2 r(t)c = 0 C (x, T ) = (x ) + sur [0, + ] [0, T ] 4

5 Et on est tenté d écrire 1 2 σ2 (x, t) = t + µ(t)x r(t)c x 2 2 C 2 (3.1) Mais on ne connait les prix des calls qu au point (S t, t). C est insuffisant pour calculer les dérivées partielles qui interviennent dans la formule. On ne peut donc pas retrouver la volatilité locale de cette façon. Et l approche backward qui correspond à l utilisation de l EDP de Black-Scholes et Merton ne permet pas de conclure. Il faut donc trouver un autre point de départ. La seconde idée de Dupire est de se servir de l équation de Fokker-Planck. On appelle équation de Fokker-Planck (ou olmogorov forward) l EDP vérifiée par la fonction de densité associée à une diffusion. Dans notre cas la fonction de densité est f : (x, T ) f (x, T ) = φ T (x) et l équation s écrit { f + µ (xf) ( x 2 σ 2 (x, T ) f ) = 0 2 f (x, t) = δ (S t x) sur [0, + ] [t, + ] Où δ est la fonction delta de Dirac qui permet de définir la condition initiale sur la densité. En effet, si on se place à l instant initial t, S t est connu et on a f (x, t) = δ (S t x) Cette équation est un résultat fondamental de la théorie des processus et sa démonstration est hors de propos ici. Notons néanmoins que dans un cadre financier une élégante preuve est possible en utilisant l EDP de Black-Scholes et Merton. En combinant cette équation avec la formule de Breeden-Litzenberger (2.3) on obtient une équation forward portant sur le prix des calls. Cette équation est appelée équation de Dupire : { = 1 2 σ2 (, T ) 2 2 C 2 C (, t) = (S t ) + + µ(t ) ( ) C sur [0, + ] [t, + ] Où C = C (, T ) est un prix de call non actualisé c est-à-dire Preuve. Voir annexe (A) C (, T ) = E Q [ (S T ) +] Il s agit bien d une équation forward qui se résout dans l espace (, T ) en partant de t et portant sur l ensemble des prix des calls, les conditions initiales (S t, t) étant fixées. La preuve repose sur une intégration de l équation de Fokker- Planck dans laquelle on remplace f par son expression en fonction de 2 C. 2 Enfin, de l équation de Dupire, on déduit l unique fonction de volatilité locale compatible avec les prix de marché (coefficient de diffusion implicite). C est la formule de Dupire. 5

6 (, T ) σl 2 (, T ) = 2 µ(t ) ( ) C (3.2) 2 2 C 2 Remarquons que σ L (.) ainsi définie peut être calculée dès qu on dispose d un ensemble régulier de prix d options, c est-à-dire même si on travaille avec un modèle risque-neutre différent. La volatilité locale σ L ne représente plus, dans ce cas, un coefficient de diffusion, nous allons voir qu on peut l interpréter différemment. 4 Interprétation de la volatilité locale Cette interprétation n est pas mentionnée dans les papiers originaux originaux sur la volatilité locale, [5, 6] (Dupire, 1993 et 1994) et [3] (Derman & ani, 1994), mais dans des travaux ultérieurs des mêmes auteurs [7] (Dupire, 1996) et [4] (Derman & ani, 1998). Le modèle de la partie précédente où la volatilité est deterministe du prix et du temps n est pas vraiment réaliste mais le concept de volatilité locale va au délà de ce cadre restrictif. Plaçons nous dans un modèle général à volatilité stochastique, la dynamique risque-neutre de S s écrit ds t = S t (µ (t) dt + σ t dw t ) (4.1) La volatilité instantanée σ est un processus quelconque t.q. T 0 σ 2 sds < T > 0 Dans ce cadre on peut définir la variance locale comme espérance conditionnelle de la variance instantanée future σ 2 L (, T ) = E Q [ σ 2 T S T = ] (4.2) Cette définition et celle basée sur la formule de Dupire (3.2) sont équivalentes. Preuve. Voir annexe (B) Ainsi, un modèle quelconque à volatilité stochastique reproduit l ensemble des prix de marché des vanilles si et seulement si il est compatible (via (4.2)) avec la volatilité locale basée sur ceux-ci. C est-à-dire si et seulement si E Q [ σt 2 S T = ] = 2 µ(t ) ( ) C 2 2 C 2 Si on travaille avec un sous-jacent forward cette relation devient 6

7 E Q [ σ 2 T S T = ] = 2 Si on prend la version discrète des dérivées partielles 2 C 2 et petits on a C (, T + T ) C (, T ) T 2 2 C 2 (4.3) 2 C C ( +, T ) 2C (, T ) + C (, T ) 2 ( ) 2 et, avec T Où on reconnait les stratégies de trading Calendar Spread et Butterfly que l on note respectivement CS(, T, T ) et BF (, T, ). Ainsi E Q [ σ 2 T S T = ] 2 ( )2 2 T CS(, T, T ) BF (, T, ) (4.4) Un opérateur qui dispose des prix de marché des stratégies CS et BF peut se faire une idée grâce à (4.4) sur σl 2, c est-à-dire, l espérance de la variance instantanée future conditionnelle à un niveau de marché. 7

8 5 Conclusion Il est possible d extraire beaucoup d information des prix de marché des calls et puts, et il est en particulier possible de construire une diffusion risque-neutre implicite. L intérêt de cette méthode est de pouvoir évaluer différents produits dérivés (options barrières, américaines, etc.) avec un même modèle, à volatilité locale, parfaitement cohérent avec les prix de marché des options vanilles. Dans cette même famille de modèles, les méthodes de construction d arbres implicites correspondent à une version en temps discret de la volatilité locale de Dupire, voir [3] (Derman & ani, 1994). Les modèles de diffusion avec volatilité locale souffrent de deux inconvénients principaux. Le premier sur le plan de la modélisation : en n introduisant pas de facteur de risque supplémentaire pour la volatilité ces modèles ne permettent pas une couverture performante du risque de volatilité. Le second sur le plan pratique : dans la réalité les prix d options sont connus seulement pour un nombre fini de strikes et la volatilité locale construite à partir de ces prix est souvent sensible à la méthode d interpolation. Néanmoins le concept de variance locale peut être utilisé hors du cadre des modèles à diffusion implicite, il s agit alors de l interpréter comme une variance instantannée future conditionnelle à un niveau de marché. 8

9 Références [1] Black, F. and M. Scholes (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3 (May - Jun., 1973), pp [2] Breeden, D. and R. Litzenberger (1978). Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices. The Journal of Business, Vol. 51, No. 4 (Oct., 1978), pp [3] Derman, E and I. ani (1994). Riding on a smile. Risk 7(2), pp [4] Derman, E and I. ani (1998). Stochastic implied trees : Arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility. International Journal of Theoretical and Applied Finance 1, pp [5] Dupire, B. (1993). Pricing and hedging with smiles. Proceedings of AFFI conference, La Baule, June 1993 [6] Dupire, B. (1994). Pricing with a smile. Risk 7(1), pp [7] Dupire, B. (1996). A unified theory of volatility, Discussion paper Paribas Capital Markets. [8] Merton, R. (1973). Theory of Rational Option Pricing. The Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, No. 1 (Spring, 1973), pp [9] Poncet, P. and R. Portait (2009). Finance de marché, Dalloz (2ème Ed.) financedemarche.dalloz.fr [10] Revuz, D. and M. Yor (1999) Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer (3 rd Ed.) 9

10 A Équation de Dupire (Preuve) Le point de départ de cette preuve est l écriture de C (, T ), prix non actualisé du call de strike et maturité T sous la forme C (, T ) = E Q [ (S T ) +] = Voir partie (2). Puis en dérivant par rapport à T = (x ) f (x, T ) dx (x ) f (x, T ) dx (A.1) Et on utilise l équation de Fokker-Planck pour faire le lien entre la dérivée partielle de f en T et ses dérivées partielles en x [ = (x ) µ (xf) ( x σ 2 f ) ] dx = µ (x ) (xf) dx (x ) 2 2 ( x 2 σ 2 f ) dx (A.2) Caclulons séparément les intégrales : I 2 = I 1 = (x ) (xf) dx (x ) 2 2 ( x 2 σ 2 f ) dx On calcule la première intégrale en faisant une IPP (intégration par parties) et en utilisant la formule de Breeden-Litzenberger (2.3) qui s écrit dans le cas où C est un prix non-actualisé [(x ) xf] φ T (x) = 2 C 2 (x) I 1 = [(x ) xf] (x ) xfdx = 0 car f (, T ) = 0 et comme I 1 = xfdx = 10 ((x ) + ) fdx (x ) = 1 sur [, ]

11 I 1 = C (, T ) 2 C fdx = C (, T ) (x, T ) dx 2 Donc 2 [ ] C (x, T ) dx = = 2 (, T ) I 1 = C (, T ) + (, T ) (A.3) I 2 = On calcule I 2 de même en faisant une IPP et en utilisant (2.3) [ (x ) ( x 2 σ 2 f )] ( (x ) x 2 σ 2 f ) ( dx = x 2 σ 2 f ) dx Car (x ) = 1 sur [, ] et [ (x ) ( x 2 σ 2 f )] = 0 Et en remarquant f (, T ) = 0 on obtient Donc I 2 = [ x 2 σ 2 f ] = 2 σ 2 (, T ) f (, T ) I 2 = 2 σ 2 (, T ) 2 C 2 (, T ) (A.4) Ainsi en combinant (A.2) avec (A.3) et (A.4) on obtient ( (, T ) = µ(t ) C (, T ) + ) (, T ) + 1 ( ) 2 σ 2 (, T ) 2 C 2 2 (, T ) C est l équation de Dupire = 1 ( 2 2 σ 2 (, T ) 2 C 2 + µ(t ) C ) 11

12 B Lien avec la variance instantanée (Preuve) On note θ (.) la fonction de Heaviside (échelon) et δ (.) la fonction delta de Dirac. Avant d entrer dans les détails de la preuve, on peut re-écrire le prix non actualisé d un Call et ses dérivées en strike à l aide de ces fonctions C (, T ) = E Q [ (S T ) +] = E Q [(S T ) θ (S T )] (B.1) [ ] (, T ) = EQ (S T ) + = E Q [θ (S T )] (B.2) 2 [ ] C 2 (, T ) = EQ 2 2 (S T ) + = E Q [δ (S T )] (B.3) De même on a [ ] E Q (S T ) + = E Q [θ (S T )] (B.4) S T [ ] E Q 2 ST 2 (S T ) + = E Q [δ (S T )] (B.5) En appliquant la formule d Itô au pay-off du call (S T ) +, comme fonction de S T, on obtient (B.6) point de départ de la preuve (où l opérateur d < S, S > T désigne le crochet de S en T ) dc (, T ) = d (E [ Q (S T ) +]) [ = E Q d (S T ) +] [ = E Q (S T ) + ds T + 1 S T 2 2 S 2 T (S T ) + d < S, S > T ] (B.6) En utilisant (B.4) et (B.5) pour remplacer à l intérieur de l espérance on obtient dc (, T ) = E [θ Q (S T ) ds T + 1 ] 2 δ (S T ) σt 2 ST 2 dt = E [θ Q (S T ) µ(t )S T dt + 1 ] 2 δ (S T ) σt 2 ST 2 dt dc dt (, T ) = EQ [ θ (S T ) µ(t ) ((S T ) + ) + 1 ] 2 δ (S T ) σt 2 ST 2 12

13 = E Q [θ (S T ) (S T ) µ(t )]+E Q [θ (S T ) µ(t )]+ 1 [ 2 EQ δ (S T ) σt 2 ST 2 ] = µ(t ) ( E Q [θ (S T ) (S T )] + E Q [θ (S T )] ) + 1 [ 2 EQ δ (S T ) σt 2 ST 2 ] où on reconnait C et dc dt grâce à (B.1) et (B.2) ( (, T ) = µ(t ) C (, T ) ) (, T ) + 1 [ 2 EQ δ (S T ) σt 2 ST 2 ] d autre part avec (B.3) E Q [ δ (S T ) σt 2 ST 2 ] = E Q [δ (S T )] E Q [ σt 2 ST 2 S T = ] = E Q [δ (S T )] E Q [ σ 2 T 2 S T = ] = 2 C 2 (, T ) 2 E Q [ σ 2 T S T = ] Et on obtient donc ( = µ(t ) C ) E Q [ σt 2 S T = ] 2 C 2 (B.7) Ainsi la volatilité locale définie par (4.2) vérifie l équation de Dupire. Pour finir, remarquons que l application de la formule d Itô ici n est pas rigoureusement correcte dans la mesure où la fonction de pay-off n est dérivable deux fois que dans un sens formel. Nous ne détaillerons pas la justification de ce résultat qui nécessite l utilisation de la formule de Tanaka-Itô et le concept de temps locaux, voir [10] (Revuz & Yor,1999). 13

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