Modèle de Heston. Pricing d options européennes et calibration. G. BLANCHET, M. ELACHECHE, E. JEANGIRARD, K. SALEH Tuteur : Adel Ben Haj Yedder

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1 Modèle de Heston Pricing d options européennes et calibration G. BLANCHET, M. ELACHECHE, E. JEANGIRARD, K. SALEH Tuteur : Adel Ben Haj Yedder Projet de département IMI En partenariat avec Natexis 21 juin 2007

2 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Le modèle de Black-Scholes est incapable de reproduire le aaaaaaaaa smile de marché

3 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Le modèle de Black-Scholes est incapable de reproduire le aaaaaaaaa smile de marché Vol. implicite Strike

4 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Le modèle de Black-Scholes est incapable de reproduire le aaaaaaaaa smile de marché Vol. implicite Strike Nouveaux modèles : Dupire, Heston...

5 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Modèle de Heston (1993) ds(t) = µ(t)s(t)dt + v(t)s(t)dz 1 dv(t) = κ(θ v(t))dt + σ v(t)dz 2 avec dz 1, dz 2 = ρdt où S est le prix du stock, et v sa variance

6 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Pour obtenir l EDP vérifiée par le prix d une option, on construit le portefeuille suivant : Π = V S 1 V 1

7 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Pour obtenir l EDP vérifiée par le prix d une option, on construit le portefeuille suivant : Π = V S 1 V 1 En calculant dπ avec Itô, et en écrivant par AoA que dπ = rπdt, on obtient : = V V / v V S 1 V 1 / v S 1 = V / v V 1 / v

8 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations On obtient finalement l EDP : V t vs2 2 V S 2 + ρσvs 2 V v S σ2 v 2 V V + rs v 2 S rv V [ ] κ(θ v) λv = 0 v

9 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Nous cherchons à présent à résoudre l EDP précédente dans le cas d un call européen de strike K et d échéance T. On cherche une solution de la forme C(S, v, t) = SP 1 Ke r(t t) P 2

10 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Nous cherchons à présent à résoudre l EDP précédente dans le cas d un call européen de strike K et d échéance T. On cherche une solution de la forme C(S, v, t) = SP 1 Ke r(t t) P 2 En l injectant dans l EDP, en utilisant une méthode par transformée de Fourier, on obtient : P j = [ ] + e iφln(k ) f j Re dφ π iφ 0

11 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Une amélioration classique du modèle de Heston consiste à ajouter des sauts sur la dynamique du sous-jacent : c est le modèle de Bates.

12 Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations Une amélioration classique du modèle de Heston consiste à ajouter des sauts sur la dynamique du sous-jacent : c est le modèle de Bates. Le nombre de paramètres passe alors de 5 à 8.

13 Motivation Optimisation Le modèle de Heston donne la prime d une option d échéance T et de strike K à partir des paramètres p = (ρ, κ, θ, v 0, σ).

14 Motivation Optimisation Le modèle de Heston donne la prime d une option d échéance T et de strike K à partir des paramètres p = (ρ, κ, θ, v 0, σ). Or ces paramètres sont des donnnées du marché et la calibration consiste à déterminer de tels paramètres

15 Motivation Optimisation Le modèle de Heston donne la prime d une option d échéance T et de strike K à partir des paramètres p = (ρ, κ, θ, v 0, σ). Or ces paramètres sont des donnnées du marché et la calibration consiste à déterminer de tels paramètres But de la calibration Etre capable de pricer n importe quelle option exotique

16 Motivation Optimisation Problème de minimisation On cherche p R 5 tel que : p = arg inf p R 5 m i=1 (H(X i, p) C i ) 2 où H i et C i sont respectivement le prix simulé par le modèle de Heston et le prix observé sur le marché d une option i.

17 Motivation Optimisation Problème de minimisation On cherche p R 5 tel que : p = arg inf p R 5 m ω i (H(X i, p) C i ) 2 i=1 où H i et C i sont respectivement le prix simulé par le modèle de Heston et le prix observé sur le marché d une option i. On prend pour ω i le vega de l option i

18 Motivation Optimisation Etant donné un certain nombre de paires de données (t i, y i ), on cherche le paramètre p de la fonction f (t, p) qui minimise la somme des carrés des déviations : ou encore, m S(p) = [y i f (t i, p)] 2 i=1 S(p) = (f (t, p) y) 2

19 Motivation Optimisation Etant donné un certain nombre de paires de données (t i, y i ), on cherche le paramètre p de la fonction f (t, p) qui minimise la somme des carrés des déviations : ou encore, m S(p) = [y i f (t i, p)] 2 i=1 S(p) = (f (t, p) y) 2 Algorithme de Levenberg-Marquardt L algorithme de Levenberg Marquardt est un mélange entre l algorithme de Gauss-Newton et l algorithme de descente de gradient.

20 Motivation Optimisation L algorithme de Gauss-Newton p n = p n 1 H 1.d avec d = (f (t, p n 1 ) y)( f (t, p n 1 )) H = ( f (t, p n 1 ))( f (t, p n 1 )) T approx de la hessienne de S en p n 1

21 Motivation Optimisation L algorithme de Gauss-Newton p n = p n 1 H 1.d avec d = (f (t, p n 1 ) y)( f (t, p n 1 )) H = ( f (t, p n 1 ))( f (t, p n 1 )) T approx de la hessienne de S en p n 1 Algorithme qui fonctionne bien si S est quasi-quadratique i.e. si f est quasi-linéaire

22 Motivation Optimisation L algorithme de descente de gradient p n = p n 1 θ n 1 S(p n 1 ) ( ) θ n 1 = argmin S p n 1 θ S(p n 1 ) θ

23 Motivation Optimisation Algorithme de Levenberg-Marquardt ( 1.d p n = p n 1 H + λi)

24 Motivation Optimisation Algorithme de Levenberg-Marquardt ( 1.d p n = p n 1 H + λi) Lorsque λ est petit, cette équaton est équivalente à p n = p n 1 H 1.d

25 Motivation Optimisation Algorithme de Levenberg-Marquardt ( 1.d p n = p n 1 H + λi) Lorsque λ est petit, cette équaton est équivalente à p n = p n 1 H 1.d Lorsque λ est grand, cette équation est équivalente à p n = p n 1 1 2λ S(t, p n 1)

26 Les objectifs du quant Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Le travail du quant Trouver le "bon" prix de l option Fournir aux traders la façon optimale de se couvrir contre le risque Mettre en place l outil informatique de calcul

27 Cahier des charges Le modèle de Heston Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Trois mots d ordre Précision Rapidité Ergonomie

28 Structure du projet Un module pour calculer les prix Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Classe Option Classe BS Classe Heston Classe Bates

29 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Paramètres d entrée Paramètres initiaux pour l optimisation Fichier contenant les données du marché Nombre maximal d itérations Paramètres de sortie Le module renvoie les paramètres ρ, κ, θ, v 0 et σ calibrés

30 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On cherche à approcher l intégrale I(g) = 1 1 g(t)dt

31 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On cherche à approcher l intégrale I(g) = par une expression de la forme J(g) = 1 1 g(t)dt N ω k g(t k ) k=1 où les (t k ) 1 k N [ 1, 1] sont appélés points de Gauss et les (ω k ) 1 k N sont appelés poids de Gauss.

32 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Méthode de Gauss à N points : on choisit pour les (t k ) 1 k N, les N racines du polynôme de Legendre de degré N, d N L N = 1 2 N N! dt N (t2 1) N

33 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss Méthode de Gauss à N points : on choisit pour les (t k ) 1 k N, les N racines du polynôme de Legendre de degré N, d N L N = 1 2 N N! dt N (t2 1) N Et pour les (ω k ) 1 k N, on choisit ω k = 1 1 φ k (t)dt, k = 1...N où (φ k ) 1 k N est la base de Lagrange de P N 1 associée aux points (t k ) 1 k N.

34 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On considère maintenant l intégration sur un segment [a, b] quelquonque avec un pas de discrétisation égal à h = b a n

35 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On considère maintenant l intégration sur un segment [a, b] quelquonque avec un pas de discrétisation égal à h = b a n Précision des méthodes Méthode des rectangles précision en h

36 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On considère maintenant l intégration sur un segment [a, b] quelquonque avec un pas de discrétisation égal à h = b a n Précision des méthodes Méthode des rectangles précision en h Méthode des trapèzes précision en h 2

37 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On considère maintenant l intégration sur un segment [a, b] quelquonque avec un pas de discrétisation égal à h = b a n Précision des méthodes Méthode des rectangles précision en h Méthode des trapèzes précision en h 2 Méthode de Simpson précision en h 4

38 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss On considère maintenant l intégration sur un segment [a, b] quelquonque avec un pas de discrétisation égal à h = b a n Précision des méthodes Méthode des rectangles précision en h Méthode des trapèzes précision en h 2 Méthode de Simpson précision en h 4 Méthode de Gauss-Legendre à N points précision en h 2N

39 Influence de σ Le modèle de Heston Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Influence de!!=0.2!=0.5!= Vol. implicite Strike

40 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Influence de v Influence de v 0 v 0 = v 0 =0.04 v 0 = Vol. implicite Strike

41 Influence de θ Le modèle de Heston Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Influence de!!=0.01!=0.1!= Vol. implicite Strike

42 Influence de κ Le modèle de Heston Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Influence de!!=0.1!=1!= Vol. implicite Strike

43 Influence de ρ Le modèle de Heston Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Influence de!!=-0.5!=0!= Vol. implicite Strike

44 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Nombre d itérations nécessaires soit un temps de calcul d environ 30 min 700 Evolution de l erreur en fonction du nb. d itérations 600 Valeur de la fonction à minimiser Nb d itérations

45 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Nombre d itérations nécessaires soit un temps de calcul d environ 30 min En pratique, il est possible de le faire tomber à 3 min 700 Evolution de l erreur en fonction du nb. d itérations 600 Valeur de la fonction à minimiser Nb d itérations

46 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Nappe de volatilité Nappe simulée après calibration Nappe de marché Strike Echéance 2 0

47 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Nappe de volatilité Nappe de volatilité Nappe simulée après calibration Nappe de marché Nappe simulée après calibration Nappe de marché Strike Strike Echéance Echéance 2 0

48 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Superposition smile réel/smile calibré pour T = 3 mois Smile pour T = 3 mois Smile calibré Smile réel Strike

49 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Superposition smile réel/smile calibré pour T = 1 ans 0.4 Smile pour T = 1 Smile calibré Smile réel Strike

50 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Superposition smile réel/smile calibré pour T = 5 ans Smile pour T = 5 Smile calibré Smile réel Strike

51 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Superposition smile réel/smile calibré pour T = 15 ans Smile pour T = 15 Smile calibré Smile réel Strike

52 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion Conclusion Une formule close pour les vanilla Nécessité de calibrer le modèle (implémentation) Bons résultats sur le smile à moyenne et longue échéance Améliorations à faire pour répliquer le smile court terme

53 Remerciements Nous tenons particulièrement à remercier Notre tuteur Adel BEN HAJ YEDDER, quant à Natixis Mohamed SBAI, doctorant au CERMICS Jean-Philippe PONS, chercheur au CERTIS

54 Nous sommes prêts à répondre à vos questions. 1 Le modèle de Heston Motivation Mise en équation Pricing de vanilles Améliorations 2 Motivation Optimisation 3 Les objectifs du quant Cahier des charges Structure du projet L intégration numérique par la méthode de Gauss 4 Influence des paramètres Efficacité de la calibration Conclusion