Options américaines. 1 Problèmes de borne libre Le problème de l obstacle Le problème de l obstacle : un problème de borne libre...

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1 Options américaines Table des matières 1 Problèmes de borne libre Le problème de l obstacle Le problème de l obstacle : un problème de borne libre Le problème de l obstacle en équations Problème d obstacle et formulation de complémentarité Le problème de l option de vente américaine Bornes libres, bornes mobiles Dérivation de la formulation de complémentarité pour l option de vente américaine Une première inégalité Une seconde inégalité Condition de complémentarité Formulation de complémentarité pour l option de vente américaine La valeur de l option et les bornes, graphiquement

2 3 Évaluation d une option américaine par différences finies L e.d.p. de Black-Scholes, discrétisée La formulation de P.C.L Évaluation par différences finies : Contrainte américaine et P.C.L Application de la contrainte américaine après-coup Application de la contrainte américaine pendant Autres façons de résoudre le PCL

3 Introduction La possibilité d exercer une option avant son échéance complique beaucoup son évaluation. On ne connaît d ailleurs, dans le cadre Black-Scholes, aucune solution analytique, même aux options américaines les plus simples. On étudiera dans ce document ce qui fait la particularité des options américaines, et des façons d évaluer ces options par les différences finies. 1 Problèmes de borne libre Afin de comprendre la formulation par e.d.p. du problème des options américaines, il est utile de considérer un exemple classique de problème de borne libre, le problème de l obstacle. 1.1 Le problème de l obstacle Situation : un élastique est ancré aux points A et B, et un objet lisse et concave pousse l élastique vers le haut entre A et B. On connait la forme exacte de l objet. Question : Quelle est la position verticale de l élastique entre A et B? La situation, plus précisément : L élastique repose sur l objet et en suit la forme, ou il est au-dessus de l objet, et suit alors la loi de mouvement appropriée (il est droit si on néglige la gravité) 3

4 L élastique est ancré aux points A et B, dont la hauteur est définie comme zéro. L objet est concave, de sorte que l élastique a une courbure nulle ou négative partout. L objet est lisse, de sorte que l élastique a une pente continue. L élastique est continu. Sous ces conditions, le problème de la position de l élastique a une solution unique. 1.2 Le problème de l obstacle : un problème de borne libre Nommons P = (x P,h(x P )) et Q = (x Q,h(x Q )) les deux points où l élastique commence à toucher à l objet. Ces points sont des bornes libres : on saurait leur hauteur (i.e. la condition à la borne) si on connaissait leur position horizontale (i.e. l emplacement de la borne), mais on ne connait pas leur position horizontale! Autrement dit, on sait quelle condition de borne appliquer, mais on ne sait pas où la borne en question est. En fait, trouver où sont P et Q suffit à résoudre le problème de l obstacle 1.3 Le problème de l obstacle en équations Soit s(x) : [A,B] R 4

5 la position verticale de l élastique au-dessus de 0, et h(x) : [A,B] R la fonction définissant l obstacle. Le problème de l obstacle est de trouver une fonction continue et continûment différentiable s(x) respectant : s (x) = 0 pour x A < x < x P et x Q < x < x B s(x) = h (x) pour x P x x Q s (x P ) = h (s P ) et s (x Q ) = h (s Q ) s(x A ) = 0 et s(x B ) = Problème d obstacle et formulation de complémentarité On peut récrire la formulation en équations de la section 1.3 en une formulation équivalente dite de de complémentarité linéaire : Trouver une fonction continue et continûment différentiable s(x) respectant s (x) (s(x) h(x) ) = 0 s (x) 0 s(x) h(x) 0 sur l intervalle [x A,x B ], de même que les conditions aux bornes s(x A ) = s(x B ) = 0 Linéaire : les deux termes s (x) et s(x) h(x) sont linéaires, dans le sens de la linéarité des é.d.p. Complémentarité : pour tout point x, l un ou l autre de s (x) et s(x) h(x) doit être 0. Il y a un gros avantage à faire ça : la formulation de complémentarité ne fait aucune référence aux bornes libres! 5

6 2 Le problème de l option de vente américaine On dérive ici une formulation de complémentarité pour l option américaine qui, comme dans le cas du problème d obstacle, permet de contourner la difficulté de l emplacement de la borne libre. 2.1 Bornes libres, bornes mobiles... On doit d abord distinguer deux types de bornes rencontrées dans des problèmes d e.d.p. paraboliques : la borne libre (free boundary) : borne dont on ne connaît pas l emplacement, bien qu on connaisse sa condition ; la borne mobile (moving boundary) : borne libre dont l emplacement (inconnu) bouge dans l espace avec le temps. 2.2 Dérivation de la formulation de complémentarité pour l option de vente américaine Les bornes libres et mobiles sont des concepts utiles pour appréhender un problème, mais les problèmes de borne libre, (free boundary problem en anglais) comme celui de la section 1.3 ne nous intéressent pas particulièrement : on leur préfère les formulations de complémentarité (section 1.4). Nous passons par conséquent directement à la formulation de complémentarité du problème de borne mobile que présente l option américaine. Pour plus de détails, consulter Wilmott, Dewynne et Howison ([4] ou [5]) Une première inégalité Soit Π un portefeuille delta-couvert P(S,t) P S S et r f le taux sans risque. Le rendement du portefeuille en surplus du rendement sans risque est : dπ rπdt 6

7 Des arguments de non-arbitrage nous assurent que dπ rπdt = 0 dans le cas d une option européenne (acheter le portefeuille en empruntant, ou vendre le portefeuille en prêtant). Cependant, le cas dπ rπdt < 0 ne peut être éliminé par arbitrage, dans le cas d une option américaine : le détenteur de l option de vente exercera simplement son droit, et obtiendra du comptant en échange, qu il investira au taux sans risque. En développant le terme dπ rπdt, on conclut donc que P(S,t) t σ2 S 2 2 P(S,t) S 2 + r f S P(S,t) S r f P Une seconde inégalité Le cas P(S,t) < max{e S, 0} entraine une opportunité d arbitrage : acheter l option, et l exercer en livrant le titre : P S + E = E S P > 0 Par conséquent, on observe toujours P(S,t) max{e S, 0} Note : le cas max{e S, 0} = 0 et P(S,t) < max{e S, 0} n a pas à être considéré, l option ne se transigeant pas à un prix négatif Condition de complémentarité Finalement, un dernier argument d arbitrage empêche d avoir à la fois dπ rπdt < 0 7

8 et P(S,t) max{e S, 0} > 0. En effet, la deuxième inéquation implique qu il est plus profitable de vendre l option plutôt que de l exercer ; on y voit aussi la contraposition de exercice implique P(S,t) = max{e S, 0}, i.e. la valeur de l option est son paiement. Par la première inéquation, la situation en est donc une d arbitrage, comme dans le cas européen Formulation de complémentarité pour l option de vente américaine Si on localise le problème d évaluation sur l espace [0,S max ], la formulation de complémentarité consiste à trouver une fonction continue, continûment différentiable P(S,t) telle que S,t : ( P(S,t) t σ2 S 2 2 P(S,t) S 2 ( P(S,t) t en plus de satisfaire les conditions + r f S P(S,t) S r f P ) (P (E S) ) = σ2 S 2 2 P(S,t) + r S 2 f S P(S,t) r f P ) 0 S (P (E S)) 0 P(S,T) = max(e S, 0) P(S max,t) = 0 P(0,t) = E P(S,t) P(S,t) est continue en S et est continu en S S 8

9 2.3 La valeur de l option et les bornes, graphiquement 3 Évaluation d une option américaine par différences finies En discrétisant l é.d.p., on obtient une version à dimension finie de la formulation de complémentarité. Ce problème est communément appelé problème de complémentarité linéaire, P.C.L. (En anglais, on parle du L.C.P. : linear complementarity problem.) La formulation de complémentarité continue ( P(S,t) t σ2 S 2 2 P(S,t) S 2 ( P(S,t) t + r f S P(S,t) S r f P ) (P (E S) ) = σ2 S 2 2 P(S,t) + r S 2 f S P(S,t) r f P ) 0 S (P (E S)) 0 prend la forme, au point (m,n) de la grille : ( ) (EDP(m,n)) Pm n max(e m S, 0) = 0, 9

10 (EDP(m,n)) 0, (1) ( ) Pm n max(e m S, 0) 0, où EDP(m,n) P m n+1 t P n m σ2 (m S ) 2Pn m+1 2P n m + P n m 1 ( S ) 2 + r f (m S ) P n m+1 P n m 1 2( S ) r f P n m quand on utilise une approche implicite (fully implicit). Le problème de complémentarité consiste à résoudre, en même temps, l ensemble des équations et inéquations (1) pour tous les (m,n) de la grille. 3.1 L e.d.p. de Black-Scholes, discrétisée Le système (1) ci-dessus donne les conditions à satisfaire (une équation et deux inéquations) à chaque point (m,n) de la grille pour résoudre le problème d évaluation de l option. Comme toutes les conditions, à tous les points, doivent être satisfaites simultanément, il est utile de les regrouper ; évidemment, nous utilisons la notation matricielle. Nous démontrons ci-dessous l approche Crank-Nicolson appliquée à l e.d.p. brute, sans transformation aucune des variables. Pour un rappel des différences finies utilisées, voir la section 5.6 Utilisation des différences finies sur l équation de Black-Scholes des notes d introduction aux e.d.p. C est le cas le plus malpropre : l approche implicite (ci-dessus) aurait moins de termes que la C.-N., et une transformation des variables donnerait des termes plus simples. Donc à tout le moins, vous aurez vu le pire cas! La formulation discrète de l é.d.p. de Black-Scholes par la méthode de 10

11 Crank-Nicolson est la suivante : Pm n+1 t P n m σ2 (m S ) 2Pn+1 m+1 2P n+1 m + P n+1 m 1 ( S ) σ2 (m S ) 2Pn m+1 2Pm n + Pm 1 n + r ( S ) 2 f (m S ) P m+1 n+1 Pm 1 n+1 4( S ) +r f (m S ) P n m+1 P n m 1 4( S ) 1 2 r fp n+1 m 1 2 r fp n m 0. (2) On utilise donc trois points connus (Pm+1, n+1 Pm n+1 et Pm 1) n+1 pour calculer trois points inconnus (Pm+1, n Pm n et Pm 1). n Rappelons que la grille est discrétisée en N intervalles de temps (0 n N) et M intervalles du sousjacent (0 m M). t représente donc la longueur d un pas de temps et S celle d un pas du sous-jacent. Rassemblons toutes les équations (2) pour une valeur spécifique de n et toutes les valeurs de m sous forme matricielle : 11

12 = où A 1 1 B 1 C A 2 1 B B M 2 C M A M 1 1 B M 1 C M 1 A B 1 C A B B M 2 C M A M B M 1 C M 1 A m B m C m = 1 4 σ2 (m S ) 2 t 2 S = 1 2 σ2 (m S ) 2 t 2 S = 1 4 σ2 (m S ) 2 t 2 S 1r 4 f(m S ) t S 1r 2 f t P n 0 P n 1 P n M 1 P n M P n+1 0 P n+1 1 P n+1 M 1 P n+1 M = 1 4 σ2 m 2 t 1 4 r fm t = 1 2 σ2 m 2 t 1 2 r f t r f(m S ) t S = 1 4 σ2 m 2 t r fm t. En observant la forme matricielle du problème, on peut remarquer qu en plus de connaître entièrement la partie de droite, nous savons aussi que les termes situés aux extrémités du vecteur des prix d options sont dictés par les conditions aux bornes et donc connus d avance. Pour prendre avantage de ceci, décomposons la partie de gauche de la façon suivante 1 B 1 C 1 0 A 2 1 B B M 2 C M 2 0 A M 1 1 B M 1 P n 1 P n M 1 + A 1 P n C M 1 P n M où le dernier vecteur, qu on nommera r n, est composé entièrement de zéros sauf pour deux composantes. Suite à cette dernière transformation, le problème peut s abréger de la façon suivante M L v n + r n = M R 12 P n+1 0 v n+1 P n+1 M (3)

13 où et M L = M R = 1 B 1 C 1 0 A 2 1 B B M 2 C M 2 0 A M 1 1 B M 1 r n = A 1 P n C M 1 P n M,, A B 1 C A B B M 2 C M A M B M 1 C M 1 v n+1 = P n+1 1 P n+1 M 1. Notons immédiatement que cette dernière formulation se simplifie facilement : Mv n = q n+1, (4) où M = M L q n+1 = M R P n+1 0 v n+1 P n+1 M r n. Trouver v n correspond donc bien à résoudre un système linéaire, soit (4). 13

14 Il est important de retenir qu on a une équation (4) à chacun des pas de temps w. Dans le cas européen (qui était celui de la section 5.6 Utilisation des différences finies sur l équation de Black-Scholes des notes d introduction aux e.d.p.), le point de départ est v N (valeur de l option à l échéance) et chacune des solutions trouvées est utilisée pour formuler le système linéaire à résoudre pour le prochain pas de temps. Le cas américain est traité à la section suivante. 3.2 La formulation de P.C.L. La notation matricielle introduite dans la dernière section nous permet d exprimer de façon concise le problème (2) de la section 3 du dernier ensemble de notes. En considérant toutes les valeurs du sous-jacent à la fois (i.e. m) on a le problème de complémentarité linéaire : ( Mv n q n+1) (v n v N) = 0, (5) ( Mv n q n+1) 0, ( v n v N) 0. À l intérieur de ce problème, seul v n représente des variables. On trouvera donc le prix de l option au temps 0, soit v 0, en résolvant séquentiellement tous les PCL (5) pour les valeurs n = N 1,N 2,...0. On résoud donc une suite de PCL, alors que dans le cas européen on résolvait une suite de systèmes d équations linéaires. 3.3 Évaluation par différences finies : Contrainte américaine et P.C.L. Les approches classiques de résolution procèdent en résolvant fondamentalement l équation aux dérivées partielles, et en faisant des ajustements pour respecter la contrainte américaine, de type P(S,T) max{e S, 0} par exemple pour l option de vente. Dans une approche implicite, les ajustements pour la contrainte américaine peuvent être imposés de deux façons, 14

15 décrites ci-dessous : pendant, ou après la résolution du système d équations linéaires. Dans une approche explicite, il n est évidemment pas question d appliquer la contrainte américaine pendant ou après la résolution du système d équations linéaires : il n y a pas de tel système à résoudre! Application de la contrainte américaine après-coup C est l approche de l article original des pionniers des différences finies en options américaines, Brennan et Schwartz [2]. La contrainte américaine, est appliquée après le calcul des valeurs de l option à un pas de temps. Autrement dit, à un pas de temps n, après avoir calculé P n m pour tous les m, on révise chacune des P n m (pour n et pour tous les m) et on la remplace par max{e mδs, 0} si P n m < max{e mδs, 0}. La résolution du système linéaire, quand on a choisit une approche implicite, peut se faire de la façon qu on désire. Attention : cette façon ne garantit pas qu on trouve une solution au problème de complémentarité, lorsqu on utilise une approche implicite. Pour des options américaines standard de vente et achat, Jaillet et al. [3] ont prouvé que l approche implicite (telle que décrite originellement par [2]) fonctionne correctement Application de la contrainte américaine pendant Pendant la résolution itérative du système d équations linéaires obtenu par une approche implicite, la contrainte américaine est appliquée à chaque itération. Évidemment, dans ce cas-ci, on ne peut pas utiliser une approche de résolution directe des systèmes linéaires, du genre décomposition LU. En finance, une méthode est privilégiée pour l application pendant : la variante du successive over-relaxation appelée Projected successive overrelaxation (PSOR). Cette approche garantit qu on obtienne une solution du problème de complémentarité L algorithm P.S.O.R. 15

16 L algorithme Projected successive over-relaxation, auquel on a fait référence dans le dernier ensemble de notes, section 3.1.2, est une variante directe du S.O.R. rencontré durant les cours sur l algèbre linéaire numérique. Par exemple, si on veut résoudre Ax = b le S.O.R. en pseudo-code pour le cas à trois dimensions est for i = 1 : 3 end x (k+1) i = ω ( b i Σ i 1 j=1 a ijx (k+1) j ) Σ n j=i+1a ij x (k) j /a ii + (1 ω)x (k) i Mais si on veut plutôt résoudre le problème de complémentarité linéaire (Ax b) x = 0, (6) (Ax b) 0, alors on utilise le P.S.O.R., de pseudo-code for i = 1 : 3 end x (k+1) i = max { ( ω b i Σ i 1 j=1 a ijx (k+1) j x 0. ) } Σ n j=i+1a ij x (k) j /a ii + (1 ω)x (k) i ; 0 Quand il est appliqué à des problèmes à matrice définie positive, le PSOR converge à (l unique) solution du PCL (voir par ex. Wilmott, Howison et Dewynne p.171, qui vous référera en fait à un autre livre ou à l article original de Cryer (!)). Ce n est cependant pas une condition nécessaire ; voir le livre de Tavella et Randall, p.104, par exemple. Les matrices provenant d e.d.p. paraboliques, et donc celles qu on utilise en finance, ne causent habituellement aucun problème Autres façons de résoudre le PCL Il y a de très nombreuses autres façons de résoudre le problème de complémentarité linéaire (1), et on sait maintenant que des approches utilisant la structure du PCL d évaluation d option, peuvent être beaucoup plus efficaces que l approche PSOR, qui est générique. 16

17 Tab. 1 Temps de calculs moyens selon la méthode utilisée, 1000 options EDP EDPLT Arbre binomial PSOR Lemke PSOR Lemke Boriçi-Lüthi Secondes Prix d exercice : 10 Valeur du sous-jacent (min, max) : (1, 14.98) Volatilité du sous-jacent (min, max) : (0.1, 0.4) Taux sans risque (min, max) : (0.01, 0.1) Temps avant échéance (min, max) : (0.1, 4.99) Voici par exemple des temps de calcul pour différentes approches d e.d.p. Pour comparaison, on a inclu l approche d arbre binomial classique de Cox, Ross et Rubinstein telle que pré-programmée dans Matlab, qui met en moyenne secondes à fournir une solution. Tab. 2 Pentes des régressions pour le graphique bilogarithmique Lemke-EDP Lemke-EDPLT PSOR-EDP PSOR-EDPLT B.&L.-EDPLT Binomial 3,42 2,92 2,49 2,23 1,03 1,70 Références [1] A. Boriçi, H.-J. Luethi Pricing american put options by linear scaling algorithms. In Computational Methods in Decision-Making, Economics and Finance, E.J. Kontoghiorghes, B. Rustem and S. Siokos, eds., Kluwer Academic Publishers, December [2] M.J. Brennan, E.S. Schwartz, The Valuation of American Put Options, The Journal of Finance, Vol. 32, No. 2, Mai 1977, p.449. [3] P. Jaillet, D. Lamberton, B. Lapeyre, Variation Inequalities and the Pricing of American Options, Acta Applicandae Mathematicae 21 (1990), [4] P. Wilmott, J.N. Dewynne, S.D. Howison, Option Pricing : Mathematical Models and Computation (1993), Oxford Financial Press. 17

18 Secondes PSOR EDP Lemke EDP PSOR EDPLT Lemke EDPLT Borici Luethi Binomial Fig. 1 Temps de calcul moyens pour les différentes méthodes 18

19 Lemke, EDP Lemke, EDPLT PSOR, EDP PSOR, EDPLT Borici et Luethi Arbre binomial Secondes de calcul Discrétisation du temps N Fig. 2 Temps moyens de calcul vs. discrétisation du temps 19

20 [5] P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives. A Student Introduction. (1995), Cambridge University Press. 20