Finance des matières premières (2) Les options, marchés complets, AOA

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1 Finance des matières premières (2) Les options, marchés complets, AOA Joël Priolon - 12 mars 2014

2 Définition générale Une option est un contrat financier qui lie : l émetteur de l option et le détenteur de l option qui a acquis le droit d acheter (option d achat) ou de vendre (option de vente) un certain bien, à une certaine date (ou au cours d une certaine période), à un prix fixé à l avance En d autres termes, le détenteur d une option a le droit mais non l obligation de l exercer Lors de la création du contrat l émetteur de l option, que l on appelle également le writer, perçoit une prime versée par son acquéreur

3 Caractéristiques des options, vocabulaire Call : option d achat Put : option de vente Strike : prix d exercice de l option In the money : une option est «in the money» (en dedans) si son détenteur a (ou aurait) intérêt à l exercer immédiatement Out of the money : une option est «out of the money» (en dehors) si son détenteur n a pas (ou n aurait pas) intérêt à l exercer immédiatement Premium : prime

4 Caractéristiques des options, vocabulaire Option européenne : une option européenne ne peut être exercée qu à l échéance Option américaine : une option américaine peut être exercée à tout moment La valeur intrinsèque est égale au gain réalisé en cas d exercice immédiat de l option La valeur temps : une option de maturité T peut avoir une valeur intrinsèque nulle à l instant t < T Mais en fonction des événements qui sont susceptibles de se produire sur l intervalle [t; T ], la valeur intrinsèque peut devenir strictement positive Cette possibilité est appelée valeur temps ; la valeur temps est donc une valeur spéculative

5 Risque de gain et risque de perte sur les stratégies élémentaires Achat d une option d achat : perte limitée, gain éventuellement très élevé Vente d une option d achat : gain limité au montant de la prime, perte éventuellement très élevée Achat d une option de vente : perte limitée au montant de la prime, gain éventuellement très élevé Vente d une option de vente : gain limité, perte éventuellement très élevée La vente (l émission, le writing) d une option est donc un exercice plus risqué que son achat, du moins si l on prend comme critère d évaluation du risque la perte maximale C est pourquoi la plupart des opérateurs prennent des positions optionnelles complexes, combinant achats et ventes d options Quelques exemples de stratégies «complexes» seront présentés sous forme d exercices

6 Les déterminants de la valeur d une option D un point de vue conceptuel, les options ne posent aucun problème de compréhension En revanche, l estimation de la valeur d une option est un exercice très difficile Si un opérateur X vend une option à un opérateur Y, Y doit verser une prime (premium) à X Si par la suite Y revend cette option à un opérateur Z, ce dernier devra verser une certaine somme à Y : cette somme est elle aussi une prime mais elle sera d un montant différent de celle versée à l origine par Y à X L évaluation des primes repose sur des modèles complexes au plan mathématique Le modèle le plus utilisé est le modèle de Black & Scholes Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein est le principal concurrent du modèle de Black & Scholes

7 Les déterminants de la valeur d une option Les principaux paramètres des modèles de Black & Scholes et de Cox-Ross-Rubinstein sont les suivants : le cours de l actif sous-jacent le prix d exercice la volatilité du cours du sous-jacent, mesurée par l écart-type la date d échéance et plus précisément la durée de vie de l option jusqu à son échéance les taux d intérêt sans risque jusqu à l échéance les flux intermédiaires versés par le sous-jacent : intérêts, dividendes... Dans le jargon financier, l évaluation de la valeur d une option est appelée «pricing» d options ; les logiciels qui permettent de réaliser ce pricing sont appelés des pricers

8 Conditions d équilibre sur un marché d actifs purs La présentation qui suit est très directement reprise de Roger P., 1999, Exercices de théorie financière, Cahiers 128, Nathan, Paris. (Cette présentation reprend le cœur du «modèle Arrow-Debreu» sans évidemment en restituer toute la complexité. Pour une excellente synthèse on peut se reporter à Merton R.,"On the microeconomic theory of investment under incertainty", in Arrow K., Intriligator M. (ed), 1998, Handbook of mathematical economics, Vol II, North-Holland, Amsterdam, p ) On considère un modèle comportant deux dates 0 et 1, un nombre fini N d états de la nature, dont l un se réalisera à la date 1, et N titres purs e 1,..., e N engendrant un seul paiement (aléatoire) à la date terminale Le titre pur e k est défini par : { 1 si k = j e k (ω j ) = 0 sinon

9 Conditions d équilibre sur un marché d actifs purs Un agent i est caractérisé par sa richesse initiale en numéraire W0 i et son portefeuille de titres (θik 0, k = 1,..., N). θ0 ik représente la quantité de titre k que détient l agent i avant les transactions L agent i maximise son espérance d utilité sous sa contrainte de budget en constituant un portefeuille θ i = (θ0 ik, k = 1,..., N) Ce programme s écrit : max θ i E[u i 0(c i 0) + u i 1(c i 1)] avec c i 0 = W i 0 k=n k=1 (θik θ ik 0 )π(e k) et c i 1 (ω k) = θ ik

10 Conditions d équilibre sur un marché d actifs purs π(e k ) désigne le prix de l actif pur e k (θ ik θ0 ik ) représente la transaction effectuée sur l actif k (achat si elle est positive, vente si elle est négative) À l équilibre du marché, on a la relation, pour tout k {1,..., N} : π(e k ) = P(ω k ) u 1 (θik ) u 0 (ci 0 ) Il s agit d une relation d équilibre, vérifiée pour tout agent i ; on peut donc ne pas spécifier l indice i pour les fonctions d utilité

11 Conditions d équilibre sur un marché d actifs purs π(e k ) = P(ω k ) u 1 (θik ) u 0 (ci 0 ) Le prix d un titre pur e k est proportionnel à la probabilité de réalisation de l état du monde ω k ainsi qu au taux marginal de substitution de la consommation si ω k est réalisé à la date 1 Si l on note r f le taux sans risque, on peut écrire : k=n 1 = π(e k ) 1 + r f k=1 Cette égalité signifie simplement qu un portefeuille composé d une unité de chaque titre pur présente un rendement égal au taux sans risque

12 Conditions d équilibre dans le cas général On considère maintenant une économie où sont négociés K + 1 actifs financiers porteurs de paiements aléatoires en fin de période et notés D 0,..., D K La matrice D regroupe ces flux terminaux : D = D 0 (ω 1 )... D K (ω 1 ) D 0 (ω N )... D K (ω N ) Les contraintes d optimisation de l agent i s écrivent maintenant : c0 i = W 0 i k=n k=1 (θik θ0 ik)π(e k) c i 1 (ω j) = k=n k=1 Dk (ω j )θ ik où π k est le prix du k-ème actif

13 Conditions d équilibre dans le cas général Pour construire les titres purs à partir des actifs négociés sur le marché il faut que le marché soit complet «Models in which such a set of pure securities exists are called "complete markets" models in the sense that any additional securities or markets would be redundant. Necessary and sufficient conditions for such a set to be constructed from the available risky securities alone and therefore, for markets to be complete, are that [K + 1 N...]» (Merton, op. cit.) Dans ce cas, n importe quel nouveau titre peut être dupliqué par un portefeuilles de titres existants

14 Arbitrage Avec les notations précédentes, une opportunité d arbitrage est un portefeuille θ tel que l une des deux conditions suivantes est vérifiée : (a) Dθ 0 et π θ < 0 (b) Dθ > 0 et π θ 0 π est le vecteur de prix des actifs et Dθ > 0 signifie que toutes les composantes de ce vecteur sont positives ou nulles et au moins une strictement positive Une OA est donc un portefeuille qui génère : (a) des flux positifs ou nuls en fin de période et un flux strictement positif à la date 0 ou (b) un flux positif ou nul à la date 0 et au moins un flux strictement positif en fin de période

15 Arbitrage On appelle probabilité risque-neutre une probabilité Q telle que, pour tout k : π k = E Q(D k ) 1 + r f où r f désigne le taux sans risque et E Q est l opérateur d espérance avec la probabilité Q Q est dite risque-neutre car si les agents étaient neutres au risque, ils accepteraient de payer pour un actif l espérance des flux futurs actualisés au taux sans risque On admettra les deux propriétés suivantes : en AOA il existe une probabilité risque-neutre si le marché est complet, cette probabilité est unique

16 Pricing De manière générale, pour un titre porteur d un flux X le prix d équilibre est : π(x ) = E Q(X ) 1 + r f Pour un actif pur : π(e k ) = E Q(e k ) 1 + r f Or e k paie 1 dans l état du monde ω k et rien dans les autres donc : E Q (e k ) = Q(ω k ) Nous allons pouvoir, dans le cas d un marché complet, établir le lien entre le prix des actifs purs et la probabilité risque-neutre

17 Pricing r f = k (e k ) Finalement : Q(ω k ) = π(e k ) N j=1 π(e j) Attention, pour que cette relation soit valable, il faut que le marché soit complet

18 Pricing, un exemple simple On considère une économie à deux dates (0, 1) et trois états de la nature équiprobables : ω 1, ω 2, ω 3. Trois actifs financiers sont disponibles : D 0, D 1, D 2 ; ils sont caractérisés par D, la matrice de paiement suivante (les actifs sont en colonne et les états en ligne) : D = Les prix d équilibre des trois actifs sont regroupés dans le vecteur Π(D) =(0,9 ; 3 ; 4) On recherche le prix d équilibre d une option de vente (un put), de prix d exercice (strike) K = 5 ayant comme support le titre D 2

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