wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] Exercice [ 8 points ] Le coût total C en euros pour une production de q objets est donnée par 1) Calculer l

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1 wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] Mathématiques 1ES Devoir en commun Samedi Janvier 010 Calculatrice autorisée Durée h0 A RENDRE AVEC LA COPIE NOM : Classe : otal sur 0 points Le barème est donné à titre indicatif Exercice1 [ 6 points ] Après des années de recherche, un parfumeur vient de mettre au point la formule de son dernier parfum Une étude approfondie montre que le bénéfice algébrique en milliers d euros pour la vente de q hectolitres de ce parfum est donné par : B( q) q² 140q 400 On rappel qu un hectolitre vaut 100 litres 1) On estime que la recette est proportionnelle au nombre de litres vendus, donc qu il existe une constante a telle que R( q) aq Montrer que l on a C B(0), puis déterminer les coûts pour la production de ce parfum ) On suppose dans cette question que le parfumeur fabrique 500 litres de parfum seulement Quelle quantité d argent va-t-il gagner ou perdre? ) Déterminer la plage des productions permettant au parfumeur de réaliser un bénéfice 4) a) Calculer B( q) b) Dresser le tableau de variations de B sur [0; [ c) Pour quelle production le bénéfice sera-t-il maximal? Préciser la valeur de ce dernier Exercice [ 6 points ] x² 9x 4 Soit f la fonction définie par f ( x) x 4 On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, et d la droite d équation y x 5 dans ce même repère 1) Quel est l ensemble de définition de f? ) Résoudre l équation f ( x) 0 Que peut-on en déduire pour C f? ) Calculer f ( x) Vérifier que la fonction dérivée a le même signe que x² 8x 1, puis dresser le tableau de variations de f 4) Etudier les positions relatives de C f et d 5) A la calculatrice, calculer les images par f de -1, 0,,, 5, 6 et 8 ; résumer les résultats obtenues dans un tableau de valeurs ( arrondir à 0,1 ) racer soigneusement d et C f en admettant que la droite d est asymptote à C f SVP

2 wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] Exercice [ 8 points ] Le coût total C en euros pour une production de q objets est donnée par 1) Calculer les coûts ) Calculer le coût moyen par objet pour une production de 0 objets ) On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction C : C q q ( ) 0,1( 10) 1000 A l aide de ce graphique, répondre aux questions a) b) et c) suivantes Aucune justification n est demandée, mais on laissera tous les traits de construction apparents sur la figure ci-dessus a) Combien d objets peut-on produire au maximum? b) La production de 0 objets permet d obtenir une certaine valeur du coût moyen, que l on ne demande pas de préciser Y a-t-il une autre production qui permettrait d obtenir la même valeur ou quasiment la même valeur du coût moyen? Dans l affirmative, en donner une estimation c) A quel intervalle appartient la production permettant d obtenir le coût moyen le plus bas possible : I = [ 15 ; 0 ], J = [ 0 ; 5 ] ou bien K = [ 5 ; 0 ]? Répondre sur la copie 4) A l aide d un tableau de valeurs du coût moyen sur l intervalle identifié à la question )c), déterminer la production qui permet d atteindre le coût moyen minimal Que vaut ce dernier, arrondi à 0,1? 5) a) Calculer C ( q) b) En utilisant la formule approximative C ( q) C ( q), calculer le coût marginal pour une marginal production de 5 objets c) En utilisant la définition rigoureuse du coût marginal, C arg ( q) C ( q 1) C ( q), calculer la m inal otal otal valeur exacte du coût marginal pour une production de 5 objet d) Les résultats obtenus aux questions 5)b) et 5)c) sont sensiblement différents Comment expliquez-vous l importance de cette différence?

3 wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] Corrigé Exercice1 1) On sait que : Bénéfice(q) = Recette(q) Coûts(q) Pour une production nulle, on obtient : B(0) = R(0) C (0) Or R(q) = aq donc R(0) = a(0) = 0, et par définition des coûts : C (0) = Coûts, donc : B(0) = 0 C, d où : C = - B(0) On sait que B( q) q² 140q 400, donc B(0) = - (0)² + 140(0) 400 = Les coûts sont de 400 milliers d, ou encore de,4 millions d ) Remarquons d abord que 500 litres = 5 hectolitres Le bénéfice correspondant à cette production est B(5) = - (5)² + 140(5) 400 = Si le parfumeur ne fabrique que 500 litres de ce parfum, il va perdre 1,75 million d ) La plage de production permettant au parfumeur de réaliser un bénéfice est l ensemble des productions q telles que B(q) > 0 [ Non rédigé ] Les racines de q² 140q 400 sont 0 et 10 De plus, q² 140q 400 est «du signe de a à l extérieur de ses racines», donc négatif pour q < 0 et pour q > 10, et positif pour q ] 0 ; 10 [ Le parfumeur doit donc fabriquer entre 0 et 10 hectolitres de parfum 4) a) On a B( q) q² 140q 400, donc : B( q) q 140 b) Remarquons que q s écrit aussi q 140, soit q 70 On obtient le tableau de variations : c) Le bénéfice est maximal pour une production de 70 hectolitres, et vaut 500 milliers d, ou encore,5 millions d Exercice 1) [ Non rédigé ] D 4 f ) L équation f ( x) 0 s écrit aussi x² 9x 4 0, qui donne x² 9x 4 0 Le discriminant de cette x 4 équation est -15, et comme il est négatif, cette équation n a pas de solution Conséquence : C f ne coupe jamais l axe des abscisses x² 9x 4 u uv vu x² 8x 1 ) On a f ( x) Rappel : [ Non rédigé ] f ( x) x 4 v v² ( x 4) Un carré est toujours positif ou nul, donc f ( x) a le même signe que son numérateur x² 8x 1 Les racines de x² 8x 1 sont ( non rédigé ) : et 6 De plus, x² 8x 1 est «du signe de a à l extérieur de ses racines»

4 wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] On obtient le tableau de variations suivant : 4) Pour étudier les positions relatives de C f et de la droite d équation y x 5, il faut étudier le signe de la différence f ( x) ( x 5) x² 9x 4 ( x 5)( x 4) x² 9x 4 ( x² 4x 5x 0) 4 On a : f ( x) ( x 5) x 4 x 4 x 4 x 4 Conclusion : Sur ;4, C f est située au-dessus ( strictement ) de d, Sur 4;, C f est située en dessous ( strictement ) de d 5) x f(x) 6,

5 wwwmathsenclaircom [ ous droits réservés ] Exercice C ( q) 0,1( q 10) ) Par définition des coûts : C C (0), donc : C 0,1(0 10) ,1 ( 1000) Les coûts sont donc de 900 ) Par définition, C moyen C ( q) C (0) 1100 ( q), donc pour la production de 0 objets : Cmoyen (0) 55 q 0 0 Le coût moyen par objet pour une production de 0 objets est de 55 ) a) On peut produire au plus 40 objets ( abscisse du point le plus à droite, point B ) b) Le coût moyen correspondant à la production de 0 objets est égal au coefficient directeur de la droite passant par le point O et par le point A de la courbe du coût total d abscisse 0 : cette droite coupe la courbe du coût total en un autre point, d abscisse environ 17, donc il y a une autre production qui permet d obtenir un coût moyen quasiment identique, la production de 17 objets c) Le coût moyen est minimal pour une production située dans l intervalle J = [0 ; 5] ( droite verte ) 4) Examinons le tableau de valeurs du coût moyen sur l intervalle J : Q C moyen (q) , 5 5,1 5,5 On constate que le minimum du coût moyen est de 5 ( arrondi à 0,1 ), et qu il est atteint pour une production de objets 5) a) C q q ( ) 0,1( 10) 1000 Rappel : soit finalement : C ( q) 0,( q 10) Donc : C ( q) 0,1 ( q 10) 1 0, u u u b) C (5) 0,(5 10) 0, ( 5) 7,5 Le coût marginal pour 5 objets produits est d environ 7,5 c) C (5) C (6) C (5) 6,1 Le coût marginal pour 5 objets produits est de 6,1 marginal d) L erreur commise en utilisant 7,5 comme valeur approchée de 6,1 est de plus de 0% ce qui est loin d être négligeable L explication est la suivante : l approximation C ( q) C ( q) est valable pour les marginal productions d un nombre important d objets, pas pour 5 objets seulement