Modèles de Flot - Cours 3

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1 Modèles de Flot - Cours 3 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Université de Bordeaux Bât A33 - Bur 265 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 1 / 34

2 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 2 / 34

3 Problème du Flot Maximum Dans un réseau, quelle est la quantité maximale de flot que l on peut envoyer d un sommet source vers un sommet destination sans dépasser les capacités? P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 3 / 34

4 Hypothèses Le réseau est dirigé. Les capacités sont entières et positives. Il n existe pas de chemin de capacité infinie de la source vers le puits. Si l arc (i, j) A alors l arc (j, i) A. pas d arcs parallèles. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 4 / 34

5 Modèle mathématique Max v t.q. j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji = v pour i = s, 0 pour tout i N \ {s, t}, v pour i = t, 0 x ij u ij pour tout (i, j) A. Max x ts t.q. x ij x ji = 0 pour tout i N, j:(i,j) A j:(j,i) A 0 x ij u ij pour tout (i, j) A. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 5 / 34

6 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 6 / 34

7 Les algorithmes de résolution du problème de flot maximum s appuient sur le concept de graphe (ou réseau) résiduel. Etant donné un flot x, le graphe résiduel G[ x] est un réseau au sein duquel tout flot réalisable va représenter une modification valide du flot initial x. Le graphe résiduel est construit sur le réseau initial G = (N, A) en affectant aux arcs les capacités résiduelles données par r ij = u ij x ij + x ji u ij x ij : quantité de flot pouvant encore ajouter sur l arc. x ji : quantité de flot qu on peut diminuer sur l arc inverse. Diminuer le flot sur l arc inverse revient à augmenter le flot sur l arc. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 7 / 34

8 Exemple de graphe résiduel Voir au tableau P. Pesneau Modèles de Flot - Cours 3 8 / 34

9 Chemin augmentant Soit x un flot de s vers t dans un réseau G. Un chemin augmentant est un chemin de s vers t dans le graphe résiduel G[ x]. En augmentant le flot le long de ce chemin, on augmente d autant le flot entre s et t dans le réseau. Soient P un chemin augmentant de G[ x] et δ = min (i,j) P r ij. Définir le nouveau flot x en posant : pour tout arc (i, j) tel que (i, j), (j, i) P, x ij = x ij, pour tout (i, j) P, Si x ij x ji + δ 0, alors x ij = x ij x ji + δ et x ji = 0 Sinon x ij = 0 et x ji = ( x ij x ji + δ). Voir exemple au tableau. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 9 / 34

10 Algorithme générique des chemins augmentants L algorithme générique des chemins augmentants est le suivant : x = 0 tant que G[x] contient un chemin de s à t faire Identifier le chemin P de s à t δ = min (i,j) P r ij Augmenter de δ le flot sur le chemin P et mettre à jour G[x] fin tant que La question est de savoir comment détecter efficacement des chemins augmentants. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 10 / 34

11 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 11 / 34

12 s t Coupe dans un graphe Soit S N un sous ensemble de nœuds. La coupe associée à S, notée δ(s), est l ensemble des arcs ayant une extrémité dans S et l autre extrémité dans S = N \ S. Si s S et t S, alors δ(s) est une s t coupe. On note par δ + (S) ou δ(s, S) l ensemble des arcs de la coupe sortants de S (ayant leur queue dans S et leur tête dans S). On note par δ (S) ou δ( S, S) l ensemble des arcs de la coupe entrants dans S (ayant leur queue dans S et leur tête dans S). Schéma au tableau On peut noter que si on retire du réseau les arcs de δ + (S) alors il n existe plus de chemin allant de s à t. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 12 / 34

13 Capacité d un coupe La capacité d une coupe correspond à la somme des capacités maximales des arcs de le coupe sortante : u(s, S) = (i,j) δ(s, S) La capacité d une coupe donne une borne supérieure sur la quantité de flot pouvant aller de S à S. La coupe minimum séparant s et t est la s t coupe de capacité minimum. La capacité résiduelle d une coupe est donnée par r(s, S) = (i,j) δ(s, S) u ij r ij P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 13 / 34

14 Relation entre flot et coupe Propriété 1 Tout flot de s vers t a une valeur inférieure ou égale à toute s t coupe du réseau. Preuve. Soient S une s t coupe et x un flot. Sommons les contraintes de conservation de flot pour les sommets de S : v = i S ( j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji ) = (i,j) δ(s, S) x ij (j,i) δ( S,S) x ji (i,j) δ(s, S) u ij u(s, S). P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 14 / 34

15 Augmentation de flot Propriété 2 Soit x un flot entre s et t dans un réseau G. Le flot additionel pouvant être envoyé entre s et t est plus petit ou égale à la capacité résiduelle de toute s t coupe de G. Preuve. Soient S une s t coupe et x un flot de valeur v. Sommons les contraintes de conservation de flot pour les sommets de S : v = i S ( j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji ) = (i,j) δ(s, S) x ij (j,i) δ( S,S) x ji Soit x un flot de valeur v + v entre s et t. Par la propriété 1 on a v + v u ij (i,j) δ(s, S) En combinant les deux dernières équations, on obtient v (i,j) δ(s, S) (u ij x ij ) + (j,i) δ( S,S) x ji ) = (i,j) δ(s, S) r ij. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 15 / 34

16 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 16 / 34

17 Algorithme de marquage L algorithme de marquage est le suivant : x = 0, Marquer le nœud t tant que t est marqué faire Démarquer tous les nœuds. pred(j) = 1 pour tout j N Marquer le nœud s, List = {s} tant que List n est pas vide et t n est pas marqué faire Prendre et retirer un nœud i de List pour chaque arc (i, j) A avec r ij > 0 faire si j n est pas marqué alors marquer j, pred(j) = i Ajouter j à List fin si fin pour fin tant que si t est marqué alors Identifier le chemin P à l aide de pred δ = min (i,j) P r ij Augmenter de δ le flot sur le chemin P et mettre à jour G[x] fin si fin tant que List FIFO : parcours en largeur List LIFO : parcours en profondeur Complexité en O(nmU) P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 17 / 34

18 Correction de l algorithme de marquage A chaque itération principale de l algorithme de marquage : soit le graphe résiduel contient un chemin de s à t et on augmente le flot, soit le graphe résiduel ne contient pas de chemin de s à t et on s arrête. Que peut-on dire du second cas? Les nœuds sont partitionnés en deux sous-ensembles : Un ensemble S de nœuds marqués (atteignables depuis s dans le graphe résiduel). L ensemble S des autres nœuds qui sont non marqués. Tous les arcs de δ(s, S) ont une capacité résiduelle nulle. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 18 / 34

19 Correction de l algorithme de marquage Pour tout arc (i, j) δ(s, S) on a r ij = u ij x ij + x ji = 0. Comme x ij u ij et x ji 0, on a nécessairement x ij = u ij et x ji = 0 On a : v = i S ( j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji) = (i,j) δ(s, S) x ij (j,i) δ( S,S) x ji = (i,j) δ(s, S) u ij = u(s, S) On a touvé une coupe telle que le flot entre s et t est égal à la capacité de cette coupe. Par la propriété 1, le flot est maximum et la coupe est minimum. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 19 / 34

20 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 20 / 34

21 Quelques conséquences Théorème 3 (Flot Max / Coupe Min) La valeur maximum d un flot entre s et t dans un réseau est égal à la valeur minimum d une coupe séparant s et t dans ce réseau. Théorème 4 (Chemins augmentants) Un flot x est un flot maximum si et seulement si le graphe résiduel G[x ] ne contient pas de chemin augmentant. Théorème 5 (Flot entiers) Si toutes les capcités sur les arcs sont entières, alors le problème du flot maximum possède un flot maximum entier. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 21 / 34

22 Flot maximum et dualité Max v t.q. j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji = v pour i = s, (π s ) 0 i N \ {s, t}, (π i ) v pour i = t, (π t ) 0 x ij u ij pour tout (i, j) A. (σ ij ) Dual : Min u ij σ ij (i,j) A t.q. π t π s = 1, π i π j + σ ij 0 (i, j) A, σ ij 0 (i, j) A. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 22 / 34

23 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 23 / 34

24 Connexité du réseau Soient G = (N, A) un réseau et s et t deux nœuds de N. Deux chemins entre s et t sont dits arête-disjoints s ils n ont pas d arcs en commun. Théorème 6 Le nombre maximum de chemins arête-disjoints entre s et t égale le nombre minimum d arcs qu il faut supprimer pour déconnecter s de t. Preuve. Affecter de capacités de 1 aux arcs du réseau. Soit x le flot maximum de valeur v entre s et t. le flot x se décompose en v chemins arête-disjoints entre s et t. la valeur v est également la valeur de la coupe minimum séparant s de t. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 24 / 34

25 Connexité du réseau Soient G = (N, A) un réseau et s et t deux nœuds de N. Deux chemins entre s et t sont dits nœud-disjoints s ils n ont pas de nœuds en commun exceptés s et t. Théorème 7 Le nombre maximum de chemins nœud-disjoints entre s et t égale le nombre minimum de nœuds qu il faut supprimer pour déconnecter s de t. Preuve. Décomposer chaque nœud i en deux nœuds i et i + comme cela a été vue au cours 1. les nœuds i représentent les points d entrée de chaque nœud i tandis que i + représentent les points de sortie. Mettre une capacité de 1 sur les arcs (i, i + ) et une capacité infinie sur les autres arcs. S il n y a pas d arc direct entre s et t, le flot maximum a une valeur finie et n utilise que des arcs associés à des nœuds. La suite est similaire à la preuve du théorème précédent. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 25 / 34

26 Couplages et couvertures Un graphe G = (N, A) est dit biparti si l ensemble N de ces nœuds peut être partitionner en deux sous-ensembles N 1 et N 2 tel que tous les arcs de A appartiennent à δ(n 1, N 2 ). Un couplage (matching) est un sous-ensemble M d arcs de A tel que pour toute paire d arcs, ils n ont pas d extrémité commune. Une couverture (cover) des arcs par des nœuds est un sous-ensemble C de nœuds de N tel que tout arc a au moins une de ces extrémités dans C. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 26 / 34

27 Couplages et couvertures Théorème 8 Dans un graphe biparti, la cardinalité maximum d un couplage égale la cardinalité minimum d une couverture par les nœuds. Preuve. Ajouter au graphe un nœud source s relié à tous les sommets i N 1 par un arc (s, i). Ajouter au graphe un nœud destination t auquel sont reliés tous les sommets j N 2 par un arc (j, t). Mettre une capacité de 1 sur les arcs (s, i), i N 1 et (j, t), j N 2, et une capacité infinie sur les arcs originaux de A. Montrer l équivalence entre un flot de s à t et un couplage. Montrer l équivalence entre une s t coupe finie et une couverture par les nœuds. Le résultat suit par le théorème de flot max / coupe min. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 27 / 34

28 Sommaire 1 Problème du flot maximum - premiers éléments 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 28 / 34

29 Flot réalisable Revenons au problème général de flot où on associe à chaque nœud i N, une valeur b(i) correspondant à la quantité produite (si b(i) > 0) ou à la quantité consommée (si b(i) < 0) du nœud. On suppose que l on a une capacité maximum u ij associée à chaque arc (i, j) A. Trouver, s il existe, un flot réalisable pour ce réseau. C est-à-dire, trouver un flot x satisfaisant les contraintes j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji = b(i) i N, 0 x ij u ij (i, j) A. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 29 / 34

30 Flot réalisable Ajouter un nœud source s et un nœud puits t au réseau. Ajouter, pour chaque sommet i N tel que b(i) > 0, un arc (s, i) de capacité b(i). Ajouter, pour chaque sommet i N tel que b(i) < 0, un arc (i, t) de capacité b(i). Trouver le flot maximum entre les sommets s et t. Si le flot maximum sature tous les arcs (s, i) et tous les arcs (j, t), alors le flot maximum réduit aux arcs originaux est réalisable. Sinon, il n existe pas de flot réalisable. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 30 / 34

31 Flot maximum avec capacités inférieures Considérons maintenant le problème de flot maximum lorsqu on a des capacités inférieures pouvant être strictement positives. Modèle mathématique : Max v t.q. j:(i,j) A x ij j:(j,i) A x ji = v pour i = s, 0 pour tout i N \ {s, t}, v pour i = t, l ij x ij u ij pour tout (i, j) A. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 31 / 34

32 Problème de réalisabilité Il n existe plus nécessairement de flot réalisable. Exemple au tableau On va décomposer le problème en deux phases : Trouver un flot réalisable satisfaisant aux capacités inférieures. Trouver le flot maximum. Les deux phases se feront par la résolution d un flot maximum. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 32 / 34

33 Il suffira ensuite de rajouter à x les capacités inférieures de chaque arc pour obtenir un flot réalisable satisfaisant les capacités inférieures. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 33 / 34 Problème du flot maximum - premiers éléments Trouver un flot réalisable avec capacités inférieures On applique d abord la technique vue au cours 1 pour supprimer les bornes inférieures : Effectuer le changement de variable x ij = x ij l ij x ij = x ij + l ij. Cela revient à augmenter la demande (diminuer b(i)) du nœud i de l ij. augmenter la production (augmenter b(j)) du nœud j de l ij. diminuer la capacité u ij de l arc (i, j) de l ij. On cherche ensuite un flot x réalisable en appliquant l algorithme vu précédemment.

34 Trouver le flot maximum Il suffit d appliquer un algorithme de flot maximum sur le réseau original en prenant en compte les capacités inférieures. Les capacités résiduelles seront calculées par la formule : r ij = u ij x ij + x ji l ji u ij x ij : quantité de flot pouvant encore ajouter sur l arc. x ji l ji : quantité de flot qu on peut diminuer sur l arc inverse. P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux.fr Modèles de Flot - Cours 3 34 / 34