ENSE3 - API/CSPI et Master Automatique /2009

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1 ENSE3 - API/CSPI et Master Automatique - 28/29 DS Commande robuste janvier 29 Nom Prénom Signature ATTENTION: Mettre votre nom et répondre directement sur les feuilles de l énoncé. Justifiez vos résultats. Aucune feuille complémentaire ne sera examinée. Exercice 1 : questions de cours 1. Que représente la marge de module et comment la caractérise - t -on? (What is and how is characterized the module margin?) 2. Lorsqu un système possède un zéro instable en boucle ouverte, quelles limitations peut-on en déduire sur la fonction de sensibilité du système bouclé? (When an open-loop system has an unstable zero, what are the corresponding limitations on the sensitivity function of the closed-loop system?)

2 3. Un système est considéré soumis à des incertitudes additives, i.e. G = G + G, où G est le modèle nominal et G les incertitudes telles que G < 1. Quel théorème peut garantir la Robustesse en Stabilité d une commande en boucle fermée de ce système? Exprimer le critère à utiliser. (A system is modelled as G = G + G, where G is the nominal model and G the uncertainties such that G < 1. What is the theorem that can ensure the Robust Stability of a closed-loop control of this system? Give the corresponding criterion.) 4. Pour ce dernier cas G = G + G, on désire évaluer la Robustesse en Performance, la performance nominale étant caractérisée par une pondérations W e sur l erreur de poursuite. Donner un critère sous la forme d une condition suffisante de Robustesse en Performance. (In the latter case G = G + G, give a sufficient condition for Robust Performance when the nominal performances are characterized by a weight W e on the tracking error only.)

3 Exercice 2 On considère un système de régulation de débit dans une rivière à l aide d un barrage. Un modèle est donné sous la forme : (We consider here a dam river model given as:) avec τ 1 = 5, τ 2 = 1, et h = 3 sec. G(s) = e sh (1 + τ 1 s)(1 + τ 2 s) Pour la synthèse du régulateur K, on considère que ce système est soumis à une référence et à une perturbation en entrée d i, avec le cahier des charges suivant: (For control design the considered external inputs are the reference and an input disturbance with the performance specifications): bande passante de S à environ.1rad/s (bandwidth of S.1rad/s) écart statique en asservissement de 1/1 (tracking steady-state error of 1/1) bonne marge de module (good module margin) gain du contrôleur limité à 3 vis à vis de la référence (gain of the transfer from the reference to the control input limited to 3) Les sorties à contrôlées sont l écart de poursuite et la commande, pondérées respectivement par W e et W u. (The controlled outputs are the tracking error and the control input, respectively weighted by W e and W u ) 1. Donner le schéma-bloc correspondant et le problème H à résoudre (Give the block scheme and the H problem to be solved).

4 2. Choisir convenablement les fonctions de transfert W e et W u (Give a suitable choice for W e and W u ) Dans la suite on considère deux cas : Cas1: retard non pris en compte Dans ce premier cas, la synthèse est effectuée sans prendre en compte le retard pur, c est-à-dire avec le 1 système (1+τ 1 s)(1+τ 2 s) et les fonctions de sensibilité sont ensuite calculées pour le système G incluant le retard (In this first case, the time-delay is not taken into account in the design step and then, the sensitivity functions are calculated for the plant including the delay). Sur la figure suivante on observe les fonctions de sensibilité obtenues en résolvant un problème H selon les spécifications requises. (In the figure are plotted the obtained sensitivity functions of the H control problem). cas1: synthèse sans prendre en compte le retard Sensitivity function Complementary sensitivity function Sensitivity*Plant Controller*Sensitivity Interpréter ces résultats, en mettant en évidence le compromis performance/robustesse/sollicitation de l actionneur, c est-à-dire prévoir le comportement de la sortie du système et de la commande vis à vis de diverses sollicitations extérieures (référence, perturbations, bruits) Donner les différentes bandes passantes du système selon les définitions vues en cours. Evaluer de plus le temps de montée du système en asservissement, ainsi que les écarts statiques en asservissement et en régulation. Evaluer les marges de robustesse (cf cours) et conclure.

5 We ask you to analyse the obtained result, as well as the trade-off performance/robustness/actuator constraints, i.e. predict the behavior of the output and of the control input w.r.t different external inputs (reference, disturbance, noise) Give all the bandwidth of the sensitivity functions (cf cours). Evaluate the rise time in tracking and regulation. Evaluate the robustness margins given in the course and conclude

6 Cas2: retard pris en compte lors de la synthèse Dans ce second cas, la synthèse est effectuée en considérant le retard pur, qui est alors représenté dans G(s) par l approximation de Padé donnée par la fonction de transfert suivante. (In this second case, the time-delay is represented by the Padé approximation given by the following transfer function, and then considered in the design step): e sh s4.6667s 3 + 2e 5s e 8s e 11 s s 3 + 2e 5s e 8s e 11 Sur la figure suivante on observe les fonctions de sensibilité obtenues en résolvant un problème H selon les spécifications requises. (In the figure are plotted the obtained sensitivity functions of the H control problem). Sensitivity function cas2: synthèse effectuée en prenant en compte le retard Complementary sensitivity function Sensitivity*Plant Controller*Sensitivity Singular Values 15 1 Cas 1: retard négligé pour la synthèse Cas 2: retard considéré Fig. 1 Transfert en boucle fermée pour les deux cas Interpréter ces résultats, avec la même méthode que dans le cas précédent (analyse des comportements prévus, bandes passantes et marges de robustesse), et comparer les deux méthodes. (Give, as in the previous case, the whole interpretation of the results and provide a full comparison of both methods).

7 Step Response Cas System: T2 Settling Time (sec): 1.2e+4 System: Td Settling Time (sec): 5.38e+4 Amplitude.8.6 Cas Time (sec) x 1 4 Fig. 2 Résponses temporelles en boucle fermée pour les deux cas.

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