MÉCANIQUE QUANTIQUE QUIZZ MOMENT MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE RÉSUMÉ. ~ Se e ' 2 q e 2m e. 2 q p. m p m e p e µ pz µ ez

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1 MÉCANIQUE QUANTIQUE QUIZZ On considère une particule de spin 1/2 (comme l électron) dont l état de spin est décrit par le ket i. On appelle hs z i = h Ŝz ila valeur moyenne de Sz dans l état i et P + la probabilité que la mesure de Sz donne le résultat +h/2. Quelles sont les 2 expressions correctes? A. A B. d COURS 1 RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE QUENTIN GLORIEUX 3P1 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE C. dsa D. vxc E. wq RÉSUMÉ MOMENT MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE On a vu que l électron porte un moment magnétique intrinsèque ~µ e = e ~ Se e ' 2 q e 2m e = 2 q p 2m e Qu en est il pour le noyau? Le proton porte un spin : S pz = ± ~ 2 Mais ce spin est négligeable devant celui de l électron : m p m e p e µ pz µ ez On a : p ' 5.59 q p et n ' 3.83 q p 2m p 2m p 3 4

2 RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE SYSTEME A DEUX ETATS ET SUPERPOSITION 1. Sphère de Bloch 2. Opérateur rotation En dimension deux, on a de façon générale : i = cos 2 i + ei sin 2 1i 3. Principe de la RMN 4. Applications de la RMN Pour décrire cet état, on utilise une représentation géométrique : la sphère de Bloch : 5 6 SPIN 1/2 Dans la base { +i z, i z } les matrices de Pauli sont : Ŝ x = ~ 1 Ŝ 2 1 y = ~ i Ŝ 2 i z = ~ UTILITÉ DE LA SPHERE DE BLOCH On peut toujours décrire l état quantique d un spin 1/2 par un point sur la sphère de Bloch : Quelle est la projection de ˆ~S sur le vecteur ~u? ˆ~S.~u = ~ cos e i' sin 2 e i' sin cos +i ~u, i ~u sont vecteurs propres de ˆ~S.~u de valeurs propres ±~/2 A une phase globale pres, on peut ecrire : On a et L état est entierement déterminé par (à une phase globale près) par la connaissance de 7 8

3 RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE SPHERE DE BLOCH 1. Sphère de Bloch On considère deux vecteurs unitaires diamétralement opposés sur la sphère de Bloch ( ~ u = ~u ). On appelle respectivement i = +i~u et i = i~u, les vecteurs d états associés. Quelle est la valeur du produit scalaire hermitien entre les deux vecteurs d état? 2. Opérateur rotation 3. Principe de la RMN A. h B. h i= 1 4. Applications de la RMN i= p C. h i = 1/ (2) D. h i = 1 OPÉRATEUR ROTATION ROTATION D UN SPIN 1/2 On applique une rotation d un angle 2pi à un spin 1/2 intialement dans l état i avec hsi = h S i. On appelle iet hs i l état du systeme et sa valeur moyenne après la rotation de 2pi. Quelles sont les 2 propositions correctes? A. i= i B. i = i On en déduit la forme matricielle : R = e i /2 ei /2 On peut vérifier l unitarité de R. = exp C. hs i = hs i i S z ~ D.hS i = 11 hs i 1

4 RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE 1. Sphère de Bloch 2. Opérateur rotation 3. Principe de la RMN SPIN ½ DANS UN CHAMP UNIFORME On a vu l effet de précession de Larmor. Le Hamiltonien s écrit : Ĥ = B ˆµ z = B Ŝ z =! Ŝ z Pour le proton : B Ŝ z =! < Ĥ = ~! L effet d un champ magnétique sur un proton est de lever la dégénerescence des états + et 4. Applications de la RMN DISPOSITIF EXPERIMENTAL HAMILTONIEN DU PROBLEME Création d un champ magnétique B Ajout d une petite composante oscillante B1(t) l aide de bobines en configuration de Helmholtz 15 16

5 RÉFÉRENTIEL TOURNANT On se place dans un référentiel tournant autour de l axe z à la fréquence! Dans ce référentiel, le champ B1 tournant sera fixe. Quelle est la rotation que l on doit faire subir à l état (t)i pour faire cette transformation? EQUATION DE SCHRODINGER DANS LE REFERENTIEL TOURNANT On a : (t)i = ˆR(t) (t)i d (t)i On cherche une équation de la forme : i~ = dt Ĥeff (t) (t)i avec un Hamiltonien effectif indépendant du temps. Ĥ eff (t) = ˆR(t)Ĥ(t) ˆR (t)+i~ d ˆR(t) ˆR (t) dt Ĥ eff == ~ 2!!! 1 =(!! 1 (!!)!)Ŝz +! 1 Ŝ x INTERPRETATION DU HAMILTONIEN EFFECTIF ANIMATION On aurait pu trouver ce résultat immédiatement à l aide d un raisonement géométrique : Ĥ eff == ~!!! 1 =(! 2! 1 (!!)!)Ŝz +! 1 Ŝ x Dans le référentiel tournant la fréquence de précession de Larmor autour de B n est plus! mais!! Dans le référentiel tournant, le champ B1 est fixe et reste aligné selon l axe x Le Hamiltonien effectif donne naissance à un champ magnétique effectif Ĥ eff = ˆ~S. B ~ B ~ eff = / q eff = (!!) 2 +! 1 2 Précession de Larmor autour de Beff à la fréquence (fréquence de Rabi) 19 2

6 PROBABILITÉ DE TRANSITION On cherche à résoudre i~ avec H ef f ~ = 2 d i = H i dt!!!1!1 (!!) On pose i = b+ (t) +i + b (t) i On a alors GÉOMÉTRIE DANS LA SPHERE DE BLOCH puis On en déduit (t)i : Proba de mesurer h/2 sur Sz : OSCILLATIONS DE RABI SPECTROSCOPIE PAR RMN On a vu : On a vu : P (t) = = Or (cf quizz) : On a donc P (t) =!)2 +!12 En moyenne temporelle : P = P (t) = = 1 2 (! q (!!)2 +!12!12!)2 +!12!12 sin2 t/2 2! 6=! q (!!12 sin2 t/2 2! =! 23 24